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二次函数讲义
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
1.设一个正方形的边长为x,则该正方形的面积y=_______,其中变量是____,____是____的函数.
2.一般地,形如y=ax2+bx+c(_________________)的函数,叫做二次函数,其中x是自变量,a,b,c分别为二次项系数、一次项系数、常数项.
知识点1:
二次函数的定义
1.下列函数是二次函数的是()
A.y=2x+1 B.y=-2x+1C.y=x2+2D.y=0.5x-2
2.下列说法中,正确的是()
A.二次函数中,自变量的取值范围是非零实数
B.在圆的面积公式S=πr2中,S是r的二次函数
C.y=(x-1)(x+4)不是二次函数
D.在y=1-x2中,一次项系数为1
3.若y=(a+3)x2-3x+2是二次函数,则a的取值范围是_________.
4.已知二次函数y=1-3x+2x2,则二次项系数a=_____,一次项系数b=_____,常数项c=_______.
5.已知两个变量x,y之间的关系式为y=(a-2)x2+(b+2)x-3.
(1)当_________时,x,y之间是二次函数关系;
(2)当_______________时,x,y之间是一次函数关系.
6.已知两个变量x,y之间的关系为y=(m-2)xm2-2+x-1,若x,y之间是二次函数关系,求m的值.
知识点2:
实际问题中的二次函数的解析式
7.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价.若每件商品售价为x元,则可卖出(350-10x)件商品,那么商品所赚钱数y元与售价x元的函数关系式为()
A.y=-10x2-560x+7350B.y=-10x2+560x-7350
C.y=-10x2+350x+7350D.y=-10x2+350x-7350
8.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y=x2(x>0),若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为()
A.40m/sB.20m/sC.10m/sD.5m/s
9.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=_________.
10.多边形的对角线条数d与边数n之间的关系式为____________,自变量n的取值范围是_______________;当d=35时,多边形的边数n=__________.
11.如图,有一个长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米.
(1)求S与x的函数关系式;
(2)如果要围成面积为45平方米的花圃,AB的长为多少米?
12.已知二次函数y=x2-2x-2,当x=2时,y=________;当x=_______时,函数值为1.
13.边长为4m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x<4)的小正方形,剩余的四方框的面积为y(m2),则y与x之间的函数关系式为________________,它是_________函数.
14.设y=y1-y2,y1与x成正比例,y2与x2成正比例,则y与x的函数关系是()
A.正比例函数B.一次函数C.二次函数D.以上都不正确
15.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比,设边长为x厘米,当x=3时,y=18,那么当成本为72元时,边长为()
A.6厘米B.12厘米C.24厘米D.36厘米
16.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形,抽屉底面周长为180cm,高为20cm.设底面的宽为x,抽屉的体积为y时,求y与x之间的函数关系式.(材质及其厚度等暂忽略不计)
17.某商店经营一种小商品,进价为2.5元,据市场调查,销售单价是13.5元时,平均每天销售量是500件,而销售单价每降低1元,平均每天就可以多售出100件.假定每件商品降价x元,商店每天销售这种小商品的利润是y元,请写出y与x之间的函数关系式,并注明x的取值范围.
18.一块矩形的草坪,长为8m,宽为6m,若将长和宽都增加xm,设增加的面积为ym2.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)若使草坪的面积增加32m2,求长和宽都增加多少米?
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
1.由解析式画函数图象的步骤是________、________、_________.
2.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是__________.
3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条_______,其对称轴为_____轴,顶点坐标为_______.
4.抛物线y=ax2与y=-ax2关于_____轴对称.抛物线y=ax2,当a>0时,开口向____,顶点是它的最______点;当a<0时,开口向_______,顶点是它的最______点,随着|a|的增大,开口越来越______.
知识点1:
二次函数y=ax2的图象及表达式的确定
1.已知二次函数y=x2,则其图象经过下列点中的()
A.(-2,4) B.(-2,-4)C.(2,-4)D.(4,2)
2.某同学在画某二次函数y=ax2的图象时,列出了如下的表格:
x
-3
-2.5
-1
0
1
2.5
3
y
36
4
0
25
(1)根据表格可知这个二次函数的关系式是_______________;
(2)将表格中的空格补全.
3.已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1,-).
(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象;
(2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴.
知识点2:
二次函数y=ax2的图象和性质
4.对于函数y=4x2,下列说法正确的是()
A.当x>0时,y随x的增大而减小
B.当x<0时,y随x的增大而减小
C.y随x的增大而减小
D.y随x的增大而增大
5.已知点(-1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=x2的图象上,则()
A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2
C.y3<y2<y1D.y2<y1<y3
6.已知二次函数y=(m-2)x2的图象开口向下,则m的取值范围是_________.
7.二次函数y=-x2的图象是一条开口向_______的抛物线,对称轴是________,顶点坐标是_________;当x______时,y随x的增大而减小;当x=0时,函数y有_______(填“最大”或“最小”)值是_______.
8.如图是一个二次函数的图象,则它的解析式为_________,当x=_____时,函数图象的最低点为__________.
9.已知二次函数y=mxm2-2.
(1)求m的值;
(2)当m为何值时,二次函数有最小值?
求出这个最小值,并指出x取何值时,y随x的增大而减小;
(3)当m为何值时,二次函数的图象有最高点?
求出这个最高点,并指出x取何值时,y随x的增大而增大.
10.二次函数y=x2和y=5x2,以下说法:
①它们的图象都是开口向上;②它们的对称轴都是y轴,顶点坐标都是原点(0,0);③当x>0时,它们的函数值y都是随着x的增大而增大;④它们开口的大小是一样的.其中正确的说法有()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.已知a≠0,同一坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图象有可能是()
12.如图是下列二次函数的图象:
①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2.比较a,b,c,d的大小,用“>”连接为_______________.
(第12题图)(第14题图)
13.当a=________时,抛物线y=ax2与抛物线y=-4x2关于x轴对称;抛物线y=-7x2关于x轴对称所得抛物线的解析式为___________;当a=_______时,抛物线y=ax2与抛物线y=-2x2的形状相同.
14.已知二次函数y=2x2的图象如图所示,将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A,B两点,则△AOB的面积为________.
15.已知正方形的周长为C(cm),面积为S(cm2).
(1)求S与C之间的函数关系式;
(2)画出所示函数的图象;
(3)根据函数图象,求出S=1cm2时正方形的周长;
(4)根据列表或图象的性质,求出C取何值时S≥4cm2?
16.二次函数y=ax2与直线y=2x-1的图象交于点P(1,m).
(1)求a,m的值;
(2)写出二次函数的表达式,并指出x取何值时,y随x的增大而增大;
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴.
17.如图,抛物线y=x2与直线y=2x在第一象限内有一个交点A.
(1)你能求出A点坐标吗?
(2)在x轴上是否存在一点P,使△AOP为等腰三角形?
若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
22.1.3.1 二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.二次函数y=ax2+k的图象是一条_________.它与抛物线y=ax2的________相同,只是________不同,它的对称轴为________轴,顶点坐标为________.
2.二次函数y=ax2+k的图象可由抛物线y=ax2_____得到,当k>0时,抛物线y=ax2向上平移_______个单位得y=ax2+k;当k<0时,抛物线y=ax2向________平移|k|个单位得y=ax2+k.
知识点1:
二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.抛物线y=2x2+2的对称轴是___,顶点坐标是_____,它与抛物线y=2x2的形状_____.
2.抛物线y=-3x2-2的开口向______,对称轴是_______,顶点坐标是_________.
3.若点(x1,y1)和(x2,y2)在二次函数y=-x2+1的图象上,且x1<x2<0,则y1与y2的大小关系为_________.
4.对于二次函数y=x2+1,当x=______时,y最______=____;当x______时,y随x的增大而减小;当x______时,y随x的增大而增大.
5.已知二次函数y=-x2+4.
(1)当x为何值时,y随x的增大而减小?
(2)当x为何值时,y随x的增大而增大?
(3)当x为何值时,y有最大值?
最大值是多少?
(4)求图象与x轴、y轴的交点坐标.
知识点2:
二次函数y=ax2+k与y=ax2之间的平移
6.将二次函数y=x2的图象向上平移1个单位,则平移后的抛物线的解析式是_______.
7.抛物线y=ax2+c向下平移2个单位得到抛物线y=-3x2+2,则a=_____,c=_____.
8.在同一个直角坐标系中作出y=x2,y=x2-1的图象.
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标;
(2)抛物线y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系?
知识点3:
抛物线y=ax2+k的应用
9.如图,小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-x2+3.5的一部分.若命中篮圈中心,则她与篮底的距离l是(B)
A.3.5m B.4mC.4.5mD.4.6m
10.如果抛物线y=x2+2向下平移1个单位,那么所得新抛物线的解析式是()
A.y=(x-1)2+2B.y=(x+1)2+2
C.y=x2+1D.y=x2+3
11.已知y=ax2+k的图象上有三点A(-3,y1),B(1,y2),C(2,y3),且y2<y3<y1,则a的取值范围是()
A.a>0 B.a<0 C.a≥0 D.a≤0
12.已知抛物线y=-x2+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,则△ABC的面积为_______.
13.若抛物线y=ax2+c与抛物线y=-4x2+3关于x轴对称,则a=_____,c=_______.
14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3与y轴交于A,过点A作与x轴平行的直线交抛物线y=x2于点B,C,则BC的长度为_______.
15.直接写出符合下列条件的抛物线y=ax2-1的函数关系式:
(1)经过点(-3,2);
(2)与y=x2的开口大小相同,方向相反;
(3)当x的值由0增加到2时,函数值减少4.
16.把y=-x2的图象向上平移2个单位.
(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴;
(2)画出平移后的函数图象;
(3)求平移后的函数的最大值或最小值,并求对应的x的值.
17.已知抛物线的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,2),且经过(1,3),求此抛物线的解析式.
18.若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为()
A.a+c B.a-c C.-c D.c
19.廊桥是我国古老的文化遗产,如图所示是一座抛物线形廊桥的示意图.已知抛物线对应的函数关系式为y=-x2+10,为保护廊桥的安全,在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处要安装两盏警示灯,求这两盏灯的水平距离.(≈2.24,结果精确到1米)
22.1.3.2 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1.二次函数y=a(x-h)2的图象是______,它与抛物线y=ax2的_____相同,只是____不同;它的对称轴为直线_______,顶点坐标为________.
2.二次函数y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2________得到,当h>0时,抛物线y=ax向______平移h个单位得y=a(x-h)2;当h<0时,抛物线y=ax2向_________平移|h|个单位得y=a(x-h)2.
知识点1:
二次函数y=a(x-h)2的图象
1.将抛物线y=-x2向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是()
A.y=-(x+2)2 B.y=-x2+2
C.y=-(x-2)2D.y=-x2-2
2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是()
A.第一、二象限B.第二、四象限
C.第三、四象限D.第二、三象限
3.已知二次函数y=a(x-h)2的图象是由抛物线y=-2x2向左平移3个单位长度得到的,则a=_________,h=________.
4.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=x2,y=(x+2)2,y=(x-2)2的图象,并写出对称轴及顶点坐标.
知识点2:
二次函数y=a(x-h)2的性质
5.二次函数y=15(x-1)2的最小值是()
A.-1B.1C.0D.没有最小值
6.如果二次函数y=a(x+3)2有最大值,那么a___0,当x=___时,函数的最大值是___.
7.对于抛物线y=-(x-5)2,开口方向____,顶点坐标为______,对称轴为________.
8.二次函数y=-5(x+m)2中,当x<-5时,y随x的增大而增大,当x>-5时,y随x的增大而减小,则m=_______,此时,二次函数的图象的顶点坐标为________,当x=____时,y取最_____值,为_____.
9.已知A(-4,y1),B(-3,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y=-2(x+2)2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为_____________.
10.已知抛物线y=a(x-h)2,当x=2时,有最大值,此抛物线过点(1,-3),求抛物线的解析式,并指出当x为何值时,y随x的增大而减小.
11.顶点为(-6,0),开口向下,形状与函数y=x2的图象相同的抛物线的解析式是()
A.y=(x-6)2B.y=(x+6)2C.y=-(x-6)2D.y=-(x+6)2
12.平行于x轴的直线与y=a(x-2)2的一个交点坐标为(-1,2),则另一个交点坐标为()
A.(1,2)B.(1,-2)C.(5,2)D.(-1,4)
13.在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x+c)2的图象大致为()
14.已知二次函数y=3(x-a)2的图象上,当x>2时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是_________.
15.已知一条抛物线与抛物线y=-x2+3形状相同,开口方向相反,顶点坐标是(-5,0),则该抛物线的解析式是____________.
16.已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2,且过点(1,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)画出函数的图象;
(3)从图象上观察,当x取何值时,y随x的增大而增大?
当x取何值时,函数有最大值(或最小值)?
17.已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线y=-8x2都相同,并且它的顶点在抛物线y=2(x+)2的顶点上.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)求将
(1)中的抛物线向左平移5个单位后得到的抛物线的解析式;
(3)将
(2)中所求抛物线关于x轴对称,求所得抛物线的解析式.
18.如图,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,O为坐标原点,边OA在x轴上,OA=AB=1个单位长度,把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得△AA1B1.
(1)求以A为顶点,且经过点B1的抛物线的解析式;
(2)若
(1)中的抛物线与OB交于点C,与y轴交于点D,求点D,C的坐标.
22.1.3.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状_____,位置_____,把抛物线y=ax2向上(下)和向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k,平移的方向、距离要根据________,_________的值来决定.
2.抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
①当a>0时,开口向________;当a<0时,开口向________;②对称轴是直线_______;③顶点坐标是_________.
知识点1:
二次函数y=a(x-h)2+k的图象
1.抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是()
A.y轴 B.直线x=-1C.直线x=1D.直线x=-3
2.抛物线y=(x+2)2+1的顶点坐标是()
A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(2,1)D.(2,-1)
3.把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为()
A.y=-2(x+1)2+2B.y=-2(x+1)2-2
C.y=-2(x-1)2+2D.y=-2(x-1)2-2
4.写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标:
(1)y=3(x-1)2+2
(2)y=-(x+1)2-5.
知识点2:
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
5.在函数y=(x+1)2+3中,y随x的增大而减小,则x的取值范围为()
A.x>-1B.x>3C.x<-1D.x<3
6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线的解析式为y=-2(x-h)2+k,则下列结论正确的是()
A.h>0,k>0B.h<0,k>0C.h<0,k<0D.h>0,k<0
(第6题图) (第9题图)
7.一小球被抛出后,距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式h=-5(t-1)2+6,则小球距离地面的最大高度是()
A.1米B.5米C.6米D.7米
8.用长度一定的绳子围成一个矩形,如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数关系式y=-(x-12)2+144(0<x<24),则该矩形面积的最大值为_____.
9.如图是二次函数y=a(x+1)2+2图象的一部分,该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标是_____.
10.已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2).
(1)求a的值;
(2)若点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小.
11.将抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位,再向上平移2个单位后所得到的抛物线为()
A.y=-2(x+1)2-1B.y=-2(x+1)2+3
C.y=-2(x-1)2+1D.y=-2(x-1)2+3
12.已知二次函数y=3(x-2)2+1.下列说法:
①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=-2;③其图象顶点坐标为(2,-1);④当x<2时,y随x的增大而减小.则其中说法正确的有()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象经过()
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限
14.设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+a上三点,则y1,y2,y3的大小关系为()
A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y2>y1D.y3>y1>y2
15.二次函数y=a(x+k)2+k,无论k为何实数,其图象的顶点都在()
A.直线y=x上B.直线y=-x上C.x轴上D.y轴上
16.把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到二次函数y=(x+1)2-1的图象.
(1)试确定a,h,k的值;
(2)指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.
17.某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米,此时距喷水管的水平距离为米,求在如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式.(不要求写出自变量的取值范围)
18.已知抛物线y=-(x-m)2+1与x轴的交点为A,B(B在A的右边),与y轴的交点为C.
(1)写出m=1时与抛物线有关的三个正确结论;
(2)当点B在原点的右边,点C在原点的下方时,是否存在△BOC为等腰三角形的情形?
若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
22.1.4.1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方可化为y=a(x+)2+的形式,它的对称轴是_______,顶点坐标是_______.如果a>0,当x<-时,y随x的增大而_______,当x>-时,y随x的增大而_______;如果a<0,当x<-时,y随x的增大而______,当x>-时,y随x的增大而_______.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y=ax2的图象_________,只是______不同;y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看成是y=ax2的图象平移得到的,对于抛物线的平移,要先化成顶点式,再利用“_____________________”
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