数学题集.docx
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数学题集.docx
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数学题集
1、从1~8这8个自然数中,任取2个奇数,2个偶数,可组成N个不同的四位数,求N
答:
C(42)*C(42)*A(44)=6*6*4!
=864个
2、从1~8这8个自然数中,任取2个奇数作千位和百位数字,2个偶数作十位和个位数字,可组成N个不同的四位数,求N
答:
C(42)*A(22)*C(42)*A(22)=6*2*6*2=144
3、充分性判断:
P=1/9,
(1)将骰子先后抛郑2次,抛出的骰子向上的点数之和为5的概率为P
(2)将骰子先后抛郑2次,抛出的骰子向上的点数之和为9的概率为P
答:
和为5有1,4;2,3;3,2;4,1四种情况故4*1/6*1/6=1/9
和为9有3,6;4,5;5,4;6,3四种情况故4*1/6*1/6=1/9
总共有6*6=36种情况,而得9的只有4种情况,得5的只有4种情况,所以概率P=4/36=1/9
4、
(1)在5本不同的书,从中选出3本送给3名同学,每人一本,共有几种不同的送法
(2)书店有5种不同的书,买3本送给3名同学,每人一本,共有几种不同的送法
答:
第一个问题:
相当于五本书中拿出三本来全排列A53(5×4×3=60)或从5本书选3本,C53=10送给3个人:
A33=6
第二个问题:
因为是五种书而不是五本书,所以应该是5的三次方,即125种(每个人都有五种书可以选择)
5、今有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需1人承担,现从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选派方法有
答:
首先分析题目求不同的选法种数,故可先从10人中选出4个人,再在这4个人中选两个从事甲任务,剩下的两个人从事乙或丙任务,即可列出式子,求解得到答案解:
分析题目先从10人中选出4个人,再在这4个人中选两个从事甲任务,剩下的两个人从事乙丙任务.故可列出:
C104•C42•A22=2520.故选C
6、由数字012345组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的情况有多少种?
答:
方法1:
没有重复数字的6位数一共有:
5×5!
=5×120=600个,其中个位数字大于十位数字的和个位小于十位的各占一半。
所以符合条件的一共是600/2=300
方法2:
若个位是0,则十位可以是任意数,一共有:
5!
=120
若各个不是0,则十位大于个位的一共有:
4+3+2+1=10种情况。
对每种情况,首位的选择有5-2=3种,其它三位还有3!
,一共有:
10×3×3!
=180
总和是:
120+180=300个。
或
当个位是0时:
1*2*3*4*5=120
当个位是1时:
4*3*2*1*3=72
当个位是2时:
3*3*2*1*3=54
当个位是3时2*3*2*1*3=36
当个位是4时1*3*2*1*3=18
S=120+72+54+36+18=300
7、3名毕业生分配到4个部门,其中有一个部门分2个人,一共有多少种分法?
答:
三名毕业生被分成两部分进入两个部门,既有C32=3种分法;这两部分被分到四个部门中的两个部门即为:
A42=4*3=12;
所有共有:
3*12=36种
8、.设有编号为1,2,3,4,5的五个小球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个球投放到五个盒子内,要求每个盒内放1个球,并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同,则这样的投放方法总数为20种
先选出两个箱子正好与球号相同,有10种,那么看其余的三个箱子:
注意:
它们中不能有号相符合的,因为题目说了是恰有所以只有2种选择,再相乘
9、(n个实数x1,x2,……,xn的方差为D,他们的平均数为x拔,设S=1/n*[(X1^2+X2^2+X3^2+……+Xn^2)-n(x拔)^2],则有(A)
(A)D=S(B)D>S(C)D
2014/11/26几何与平面分析第24题、若实数x,y满足x^2+y^2-2x+4y=0求x-2y的最大值
应该是用几何的方法做更好些
x^2+y^2-2x+4y=0
(x-1)^2+(y+2)^2=5
表示圆心在(1,-2),半径为根号5的圆。
设x-2y=b,它表示一个直线系,随b取值不同而不同。
满足x^2+y^2-2x+4y=0的x-2y的最大值,就是说圆和直线系有交集时b的最大值。
你可以画下图,很容易看出,直线和圆相切时有最大值(上面的是最大值,下面的那个是最小值)。
这时圆心(1,-2)到直线x-2y=b的距离等于圆的半径根号5:
|5-b|/根号5=根号5
|5-b|=5
b=10或b=0
b=10是所求的最大值,b=0为最小值,b的取值范围是0<=b<=10。
2014/11/3034、条件充份性判断,动点p的轨迹是两个圆。
(E)
1)|x|+1=√[1-(y-1)^2]
2)(|x|+|y|)^2=1
(1)轨迹方程是|x|+1=√[1-(y-1)^2],由题意知:
1-(y-1)^2≥0,(y-1)^2≤1,-1≤y-1≤1,所以有,0≤y≤2.
当x≥0时,两边平方得(x+1)^2+(y-1)^2=1.
在无限制条件的情况下,方程表示圆心在(-1,1)半径为1的圆。
但由于x≥0,0≤y≤2.所以只能有圆上的一个点(0,1)满足条件,
因此轨迹表示一个点。
当x≤0时,两边平方得(x-1)^2+(y-1)^2=1.
在无限制条件的情况下,方程表示圆心在(1,1)半径为1的圆。
但由于x≤0,0≤y≤2.所以只能有圆上的一个点(0,1)满足条件,
因此轨迹表示一个点。
综上所述,动点的轨迹表示点(0,1)。
(2)动点P的轨迹方程是(|x|+|y|)^2=1,因此有|x|+|y|=1或
|x|+|y|=-1.
当x≥0,y≥0时有:
x+y=1;
当x≤0,y≥0时有:
-x+y=1;
当x≤0,y≤0时有:
-x-y=1;
当x≥0,y≤0时有:
x-y=1,
轨迹是一个正方形,四个顶点在坐标轴上,依次为(1,0),
(0,1),(-1,0),(0,-1).
35、(y+1)/(x+2)的最大值为4/3的充分条件是(C)
1、圆O的方程是x^2+y^2=1
2、动点P(x,y)在圆O上运动
证明:
(3)圆O的方程是x^2+y^2=1
k=(y+1)/(x+2)即为圆上的点与点(-2,-1)连线的斜率
由图形可知当直线y+1=k(x+2)与圆相切时,k取得最大或最小值
y+1=k(x+2)即kx-y+2k-1=0
直线与圆相切,即点(0,0)到y+1=k(x+2)的距离为1,亦即
|2k-1|/√(k^2+1)=1
解得k1=0,k2=4/3,故[y+1]/[x+2]的最大值为4/3。
2、三个质数之积恰好等于它们和的5倍,则这三个质数之和为
(a+b+c)*5=abc
由于均为质数,
不妨设a=5,则(b+c+5)=bc,因式分解得(b-1)(c-1)=6
(1)b=3,c=4舍
(2)b=7,c=2
故(2,5,7)
26、若y与x-1成正比,比例系数为K1;y又与x+1成反比,比例系数为K2,且K1:
K2=2:
3,若两函数图像交点为(x0,y0),则x0值
由K1:
K2=2:
3可设k1=2k,k2=3k
(1)、y=2k(x-1)
(2)、y=3k/(x+1)
联立
(1)
(2)得
2k(x-1)=3k/(x+1)
即
2(x-1)=3/(x+1)
解得x0=±√10/2
25、已知|x+y|/(x-Y)=2,求x/y
|x+y|=2x-2y≥0
x≥y
则当x≥0,y≥0时
x+y=2x-2y
x=3y
x/y=3
当x≥0,y≤0时
若x+y≥0
|x+y|=x+y=2x-2y,得x/y=3
若x+y≤0
|x+y|=-x-y=2x-2y,得x/y=1/3
当x≤0,y≤0时
|x+y|=-x-y=2x-2y
x/y=1/3
不存在当x≤0,y≥0的情况,此种情况,结果会为负。
则x/y=3或x/y=1/3
27题,m除10^k的余数为1,充分性判断:
m除以10的k次方的余数为一。
条件一,既约分数n/m满足0 条件二,分数n/m可以化为小数部分的一个循环节有k位数字的纯循环小数。 该题答案是条件一和条件二联合起来题干成立,求详细推理过程。 (1)好证明,随便举个最简分数的例子,就能推翻这个说法。 比如2/5,m=5,5除10^k余数不为1。 (2)根据叙述,假设循环节这段数字(整数)为P。 比如,3/7=0.428571428571428571...P=428571,k=6 P=10^k*n/m-n/m P=(10^k-1)*n/m 到这步,需要把条件 (1)放进来 (10^k-1)肯定是整数,其值=P*m/n,n/m为既约分数,所以P必然是n的倍数。 10^k=m*(p/n)+1,即10^k除以m的余数为1,两个条件合起来成立。 2014/12/1第六题: 若4x^4-ax^3+bx^2-40x+16是完全平方式,则a,b的值为 1设这个式子是2x^2+cx+d则(2x^2+cx+d)^2=4x^2+4x^2(cx+d)+c^2x^2+2cdx+d^2=4x^2+4cx^3+4dx^2+c^2x^2+2cdx+d^2=4x^4-ax^3+bx^2-40x+16所以d^2=16,2cd=-40得到d=4,c=-5或d=-4,c=5因此b=(4d+c^2)=(16+25)=41或b=(-16+25)=9a=-4c=20或a=-20因此a=20b=41或a=-20b=9 提问者评价 高人! 我也作出来了 用(a+b+c)^2和(a-b+c)^2 7、设ax^3+bx^2+cx+d都被x^2+h^2(h不等于零)整除,则a,b,c,d间的关系为 答案: ad=bc 用待定系数法。 解: 令ax³+bx²+cx+d=(x²+h²)(ax+m) ax³+bx²+cx+d=ax³+mx²+ah²x+mh² (b-m)x²+(c-ah²)x+(d-mh²)=0 b-m=0 c-ah²=0 d-mh²=0 解得b=mc=ah²d=mh²=bh² h²=c/ah²=d/b c/a=d/b ad=bc 8、已知a,b,c,d为不等于零的实数,且a不等于b,c不等于d,ad+bc不等于0,,设m1=a+b/a-b,m2=c+d/c-d,m3=ac-bd/ad+bc,则有 (A)m1+m2+m3>m1m2m3 (B)m1+m2+m3=m1m2m3 (C)m1+m2+m3<m1m2m3 (D)m1+m2+m3=1/m1m2m3 m1+m2+m3=(a+b)/(a-b)+(c+d)/(c-d)+(ac-bd)/(ad+bc) =(2ac-2bd)/(a-b)(c-d)+(ac-bd)/(ad+bc) =(ac-bd)*(2ad+2bc+ac-ad-bc+ad)/(a-b)(c-d)(ad+bc) =(ac-bd)(a+b)(c+d)/(a-b)(c-d)(ad+bc) =m1m2m3 因此选择B 10、已知x^2-1=3x,则多项式3x^3-11x^2+3x+2的值为() 本题答案: 0 x²=3x+1 则x²用3x+1代替 x³=x×x² =x(3x+1) =3x²+x =3(3x+1)+x =10x+3 原式=3(10x+3)-11(3x+1)+3x+2 =30x+9-33x-11+3x+2 =0 11、已知多项式f(x)除以x+2所得余数为1;除以x+3所得余数为-1,则多项式f(x)除以(x+2)(x+3)所得的余式为? 解一: 因为f(x)除以x+2所得的余数为1, 所以令f(x)=p(x)*(x+2)+1,其中p(x)是多项式函数。 由此得f(-2)=1,同理f(-3)=-1, 因此,设f(x)=q(x)*(x+2)(x+3)+(ax+b), 则f(-2)=-2a+b=1且f(-3)=-3a+b=-1, 解得a=2,b=5, 所以f(x)除以(x+2)(x+3)所得的余式为2x+5。 解二: 12、对于任意实数X属于(1/8,1/7),代数式|1-2X|+|1-3X|+|1-4X|+...+|1-10X|的值为() 解: x∈(1/8,1/7) 1/8 7/8<7x<1 1<8x<8/7 即1-7x>0,1-8x<0 |1-2x|+|1-3x|+|1-4x|+...+|1-7x|+|1-8x|+|1-9x|+|1-10x| =(1-2x)+(1-3x)+(1-4x)+...+(1-7x)+(8x-1)+(9x-1)+(10x-1) =(1+1+1+1+1+1-1-1-1)+(8x+9x+10x-2x-3x-4x-5x-6x-7x) =6-3+0 =3 13、多项式2x^4-x^3-6x^2-x+2的因式分解为(2x-1)q(x),则q(x)等于? 2x^4-x³-6x²+3x-4x+2 =x³(2x-1)-3x(2x-1)-2(2x-1) =(2x-1)(x³-3x-2) ∴q(x)=x³-3x-2 =x^3-8-3x+6=(x-2)(x^2+2x+4)-3(x-2)=(x-2)(x^2+2x+1)=(x-2)(x+1)^2 14、若(√x+1/x)n次方的展开式中无常数,则N为 通项T =c(n,r)x^[(n-r)/2-r] =c(n,r)x^[(n-3r)/2], (n-3r)/2≠0, n不是3的倍数,选C. (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3a^2c+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc 1204 39.用若干个大小相同的小球,一个挨一个可摆成一个正方形面或正三角形面(注: 小球全用完) 证明: (1)正方形一边上摆5个小球=/=>小球的总数确定 (2)摆成正三角形时比摆成正方形时每边多2个小球==>小球的总数确定 先计算一下正方形和正三角形的需求: 假设每边放n个小球,那么 正方形需求: n^2; 正三角形需求: 1+2+3+...+n=n(n+1)/2; 所以有 (1)当正方形一边上摆5个小球,若要摆成正三角形小球全用完,即要求n(n+1)/2=25有正整数解,不成立,故得证 (2)当摆成正三角形时比摆成正方形时每边多2个小球,假设正三角形每边放n个,即要求(n-2)^2=n(n+1)/2有正整数解,解之得n=6,小球总数为36个确定,故得证 自然数N满足条件4N-N^2-3>0 条件1自然数N加上2后是一个完全平方数 条件2自然数N减去1后是一个完全平方数 问条件1和2分别是否充分,联合起来是否充分? n+2为完全平方数设为a^2,同样n-1设为b^2,于是a^2-b^2=(a+b)*(a-b)=n+2-(n-1)=3,由于a,b均为自然数,所以有a+b=3,a-b=1,解得a=2,b=1,于是n=2,代入可知4n-n^2-3=4*2-2*2-3=1>0,成立 32.数列{a 证明: (2)数列{a 证明: 因为a 所以有a 两式相除得 (a 所以a 所以当n是偶数时,令n=2k,则a<2k+2>)/a<2k>=1/2,即 a<2(k+1)>)/a<2k>=1/2 此时数列an中的偶数项是以1/2为公比的等比数列; 同理可知当n是奇数时,令n=2k-1,则a<2k-1+2>)/a<2k-1>=1/2,即 a<2(k+1)-1>)/a<2k-1>=1/2 此时数列an中的奇数项是以1/2为公比的等比数列; 故数列{a 其它解法: 数列{an}的奇数项与偶数项依原顺序分别组成公比不为1的等比数列 (1){an}是等比数列 (2){an}中,an*an+1=(1/2)^n,对任意n∈N均成立 条件1不充分,因为1,1,1,1,1这个等比数列不满足题设 an*(an+1)=(1/2)^n,那么(an-1)*an=(1/2)^(n-1),相除得an+1/an-1=1/2 最简单的例子 1,1/2,1/2,1/4,1/4,1/8,1/8,1/16....... 答案是B。 35.a+b+c=26 证明: (1)a、b、c成等比数列,且a,b+4,c成等差数列=/=>结论 (2)a、b、c成等比数列,且a,b,c+32成等比数列=/=>结论 (3)a、b、c成等比数列,且a,b+4,c成等差数列,a,b,c+32成等比数列=/=>结论 ∙解: (1)设公比为q则a+aq+aq^2=26 ∙又a+aq^2=2(aq+4)-->a-2aq+aq^2=8 ∙所以aq=6-->a=6/q ∙所以6/q+6+6q=26-->6-20q+6q^2=0 ∙解得q=3或q=1/3-->a=2或a=18 ∙所以a=2,b=6,c=18或a=18,b=6,c=2 ∙无解 36-2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知1/3S3与1/4S4的等比中项为1/5S5,1/3S3与1/4S4的等差中项为1,求等差数列{an}的通项an Sn=na1+[n(n-1)d]/2 1/3S3=1/3{3a1+[3×(3-1)]d/2}=1/3(3a1+3d)=a1+d 1/4S4=1/4{4a1+[4×(4-1)]d/2}=1/4(4a1+6d)=a1+3d/2 1/5S5=1/5{5a1+[5×(5-1)]d/2}=1/5(5a1+10d)=a1+2d 1/3S3与1/4S4的等比中项为1/5S5, (a1+2d)^2=(a1+d)×(a1+3d/2) 3a1d/2+5d^2/2=0...... (1) 1/3S3与1/4S4的等差中项为1, (a1+d)+(a1+3d/2)=2×1 a1+5d/4=1...... (2) (1), (2)两式联立,解得: d=0或d=-12/5 当d=0时,代入 (2)中,a1=1,an=1 当d=-12/5时,代入 (2)中,a1=4,an=32/5-12n/5 23.式子a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)有意义且值为-3 条件1: abc≠0 2: a+b+c=0 若A,B,C其中一个是0,则a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)不成立或无意义,所以abc≠0 ∵a+b+c=0 ∴a+b=-c,或a+c=-b,或b+c=-a a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b) =a/b+a/c+b/c+b/a+c/a+c/b =(a/b+c/b)+(a/c+b/c)+(b/a+c/a) =(a+c)/b+(a+b)/c+(b+c)/a =-b/b+(-c/c)+(-a/a) =-1-1-1 =-3。 19.4x^2+7xy-2y^2是9的倍数, (1)x,y是整数 (2)4x-y是3的倍数 (1)设x=1,y=-1,则4x^2+7xy-2y^2=4-7-2=-5不是9的倍数. (2)设x=1/4,y=-2,则4x^2+7xy-2y^2=-45/4不是9的倍数. (3)4x^2+7xy-2y^2=(x+2y)(4x-y) 4x^2+7xy-2y^2=4x^2+8xy-(xy+2y^2) =4x(x+2y)-y(x+2y) =(x+2y)(4x-y) (x+2y)(4x-y)是9的倍数,则需要满足x+2y、4x-y至少为9的倍数或者同时为3的倍数 (1)x、y同时为整数则x+2y、4x-y不一定能满足上述条件,所以不能推导出结论 (2)4x-y是3的倍数,如果x+2y不是3的倍数,不能推导出结论 (3)又当4x-y是3的倍数时,可以写成4x-y=3a(a为整数),则x+2y=9x-6N=3(3x-2a)当x,y为整数时x+2y也是3的倍数,所以可以推导出结论 令4x-y=3a(a为整数) 则y=4x-3ax+2y=x+8x-6a=9x-6a=3(3x-2a) 因此: 4x^2+7xy-2y^2=9a(3x-2a) 因为a和x都是整数,所以9a(3x-2a)是整数,且是9的倍数. 20.x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1成立 条件1: x/a+y/b+z/c=1 2: a/x+b/y+c/z=0 因为(x/a+y/b+z/c)^2=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2+2[xy/(ab)+xz/(ac)+yz/(bc)] 因为等式左边=1,要证明x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1,即要证明xy/(ab)+xz/(ac)+yz/(bc)=0{标记为1式} 1式*abc,原题即要证明 xyc+xbz+ayz=0 上式除以xyz,原题即要证明 c/z+b/y+a/x=0(已知) 21.当n为自然数时,有x^6n+1/x^6n=2 证明: (1)x+1/x=-1==>x^6n+1/x^6n=2 (2)x+1/x=1==>x^6n+1/x^6n=2 证明: (1)x+1/x=-1==>x^2+x+1=0==>x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0==>x^3=1==>x^6=1 ==>x^6n=1==>x^6n+1/x^6n=2 (2)x+1/x=1==>x^2-x+1=0==>x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)=0==>x^3=-1==>x^6=1 ==>x^6n=1==>x^6n+1/x^6n=2 22.有a=b=c=d成立 条件1: 2a²+2b²+2c²+2d²-2ab-2bc-2cd-2da=0 2: a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd 解1、原式两边乘以二得 2a²+2b²+2c²+2d²-2ab-2bc-2cd-2da=0 =2a²+2b²+2c²+2d²-2ab-2bc-2cd-2da=0 =(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²+2cd+d²)+(d²-2da+a²)=0 =(a-b)²+(b-c)²+(c-d)²+(d-a)²=0 2、原式整理得 a^4-2a²b²+b^4+c^4-2c²d²+d^4-4abcd+2a²b²+2c²d²=0 (a²-b²)²+(c²-d²)²+2(ab-cd)²=0 条件1充分。 2不充分。 24.a+b/c+d=√a2+b2/√c2+d2 充分性判断 1.a/b=c/d且b.d均为正数 2.a/b=c/d且b.d均为负数 1.令a/b=c/d=t,则a=btc=dt (a+b)/(c+d)=(bt+b)/(dt+d)=b(t+1)/d(t+
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