直观图与表面积体积.docx
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直观图与表面积体积.docx
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直观图与表面积体积
一.选择题(共24小题)
1、己知△ABC的直观图是边长为a的等边AAiBiCi(如图),那么原三角形的面积为()
Ki图
血晚图
A、
返2
B、返2
2
4
C、
D、V6a2
2、如图所示的直观图的平面图形ABCD是()
A、任意梯形B.直角梯形
C、任意四边形D、平行四边形
3、如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的,其中正确的是()
4、己知三棱锥的正视图与俯视图如图,俯视图是边长为2的正三角形,则该三棱锥的侧视图可能为()
俯视图
正视图
5、己知水平放置的AABC是按〃斜二测画法〃得到如图所示的直观图,其中BV=CO=1,AO爭那么原△ABC的面积是(>
A、V3B、2^2
C、V3/2d、^3/4
6、用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图,正确的是()
/
C、上D、亠
7、下列几种说法正确的个数是()
1相等的角在直观图中对应的角仍然相等;
2相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等;
3平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行;
4线段的中点在直观图中仍然是线段的中点.
A.1B、2
C、3D、4
8、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45。
,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面
积是()
01
A、2+^2B、
c、zWD、I+V2
2
9、棱长都是1的三棱锥的表面积为()
A、V3B、2V3
C、3^3D、4a/3
10、将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面),所得几何体的表面积
为()
A、7^3B、6^3
C、3^3D、9^3
11、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是()
A、1+2兀
2兀
C、1+勿
7T
B、1+灯4兀
D、1+灯
2兀
12、圆台的上、卞底面半径和高的比为1:
4:
4,母线长为10,则圆台的侧面积为()
A、81R
B、100n
C、14兀D、169r
13、(2010*北京)如图,正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为2,动点E、F在棱A】Bi上,动点P,Q分别在棱AD,CD上,若EF=1,AiE=x,DQ二y,DP=z(x,y,z大于零),则四面体PEFQ的体积()
A、与x,y,z都有关B、与x有关,与y,z无关
C、与y有关,与x,z无关D、与z有关,与x,y无关
14、如图,已知正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为3,点E,F在线段AB上,点M在线段BiCi上,点N在线段CiDi上,且EF=1,DiN=x,AE=y,M是亦5的中点,则四面体MNEF的体积()
A、与x有关,与y无关B、与x无关,与y无关
C、与X无关,与y有关D、与X有关,与y有关
15、(2005>广东)已知高为3的直棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图),则三棱锥Bi-ABC
c、二D、2V
2
二、填空题(共2小题)
25、(2006-江西)如图,已知正三棱柱ABC・AiBiCi的底面边长为1,高为8,—质点自A点出发,沿着三棱柱的
侧面绕行两周到达Ai点的最短路线的长为•
26、(2005>江西)如图,在直三棱柱ABC-AiBiCi中,AB=BC=V2,BBi=2,ZABC=90%E、F分别为AA“C^Bi的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为・
答案与评分标准
一、选择题(共24小题)
1、己知△ABC的直观图是边长为a的等边AAiBiCi(如图),那么原三角形的面积为()
2
考点:
平面图形的直观图。
专题:
计算题;作图题。
分析:
由斜二测画法还原出原图,关键看三角形高的变化,利用面枳公式直接求解即可.
解答:
解:
在原图与直观图中有OB=O1B1,BC=B1C1.
在直观图中,过Ai作AiDi丄BiCi,因为AAiBiCi是等边三角形,所以AiDi二』3乳在RtAA1O1D1中,
2
•/ZAiOiDi=45%・・・OiAi=^a,
2
根据直观图画法规则知:
OA=2OiAi=2x^a=A/6a,
2
△ABC的面枳为AxV6axa=^a2,
22
故选C.
点评:
本题考查水平放置的平面图形的直观图的画法、直观图与原图面枳的联系,考查对斜二测画法的理解.
2、如图所示的直观图的平面图形ABCD是()
A、任意梯形B、直角梯形
C、任意四边形D、平行四边形
考点:
平面图形的直观图。
专题:
常规题型。
分析:
由直观图可知,BC,AD两条边与横轴平行且不等,边AB与纵轴平行,得到AB与两条相邻的边之间是垂直关系,而另外一条边CD不和上下两条边垂直,得到平面图形是一个直角梯形.
解答:
解:
根据直观图可知,BC,AD两条边与横轴平行且不等,
边AB与纵轴平行,
•••AB丄AD,AB±BC
•••平面图形ABCD是一个直角梯形,
故选B.
点评:
本题考查平面图形的直观图,考查有直观图得到平面图形,考查画直观图要注意到两条坐标轴之间的关系,本题是一个基础题.
3、如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的,其中正确的是()
考点:
空间几何体的直观图。
专题:
作图题。
分析:
根据把模型放在水平视线的左上角绘制的特点,并且由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用,得到结果.
解答:
解:
根据把模型放在水平视线的左上角绘制的特点,
并且由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用,知A正确.
故选A
点评:
本题考查空间几何体的直观图,考查直观图的画法,要弄清楚正方形模型所放置的位置,本题是一个最基础的题目.
4、已知三棱锥的正视图与俯视图如图,俯视图是边长为2的正三角形,则该三棱锥的侧视图可能为()
俯视图正视图
考点:
空间几何体的直观图。
分析:
利用俯视图与正视图,由三视图的画法可判断三棱锥的侧视图.
解答:
解:
由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形,
由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面,且其长度为2故其侧视图为直角边长为2和换的直角三角形,故选B.
点评:
本题主要考查空间几何体的直观图,以及学生的空间想象能力,是个基础题.
5、已知水平放置的AABC是按“斜二测画法"得到如图所示的直观图,其中B9丄C9丄1,
专题:
计算题。
分析:
由直观图和原图的面积之间的关系孚堕二湮直接求解即可.涤图4
解答:
解:
因为学坐二卑,
涤图4
且若△A8C,的面枳为Zx2x蘋x坐卫I
2224
那么△ABC的面积为如
故选A.
点评:
本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系,属基本概念、基本运算的考查.
6、用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图,正确的是()
C、上D、亠
考点:
斜二测法画直观图。
专题:
作图题。
分析:
直接由斜二画法画出直观图,与答案选项对照即可.
解答:
解:
可以以直角顶点为坐标原点建立坐标系,由斜二测画法规则知,在直观图中此角变为钝角,排除C和D,又圆三角形的高在y轴上,在直观图中在y'轴上,长度减半,故为B
故选B
点评:
本题考查水平放置的平面图形的直观图的画法,考查作图、识图能力.
7、下列几种说法正确的个数是()
1相等的角在直观图中对应的角仍然相等;
2相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等;
3平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行;
4线段的中点在直观图中仍然是线段的中点.
A.1B、2
C、3D、4
考点:
斜二测法画直观图。
分析:
通过举反例得到①错;通过斜二测画法的法则:
平行性不变:
平行于X轴的长度也不变,但平行于y轴的线
段长度变味原来的一半.,判断出②错③④对.
解答:
解:
对于①,例如一个等腰直角三角形,画出直观图后不是等腰直角三角形,故①错
对于②③④,由于斜二测画法的法则是平行于X的轴的线平行性与长度都不变;但平行于y轴的线平行性不变,但长度变为原长度的一半,故②错③④对
故选B
点评:
本题考查画直观图的方法:
斜二测画法,其法则是平行性不变;平行于x轴的长度也不变,但平行于y轴的线段长度变味原来的一半.
2
&如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45。
,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面
A、2+^2B、
C、*2D、1+V2
2
考点:
斜二测法画直观图。
专题:
计算题;作图题。
分析:
原图为直角梯形,上底为1,高为2,卜底为1+近,利用梯形面枳公式求解即町.也可利用原图和直观图的面积关系求解.
解答:
解:
恢复后的原图形为一直角梯形,上底为1,高为2,卞底为1皿,S=2(i+近+1)x2=2血.
故选A点评:
本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法,属基础知识的考查.
9、棱长都是1的三棱锥的表面积为()
A、V3B、2^3
C、Sa/sD、4如
考点:
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积。
专题:
计算题。
分析:
棱长都是1的三棱锥,四个面是全等的正三角形,求出一个面积即可求得结果.
解答:
解:
因为四个面是全等的正三角形S底面稅4XIX也出,
a224
则錢面沪4S庭面矿4X#二盗.
故选A
点评:
本题考查棱锥的面积,是基础题.
10、将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面),所得几何体的表面积为()
A、7^3B、6逅
C、3^3D、9^3
考点:
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积。
专题:
计算题。
分析:
先计算出原正四面体的表面积,再计算每截去一个小正四面体时,减少的表面积,然后求得结果.
解答:
解:
原正四面体的表面积为4x色空=9逅,每截去一个小正四面体,
4
表面减小三个小正三角形,增加一个小正三角形,
故表面积减少4x2x至2血,故所得几何体的表面积为7妬.
4
故选A.
点评:
本题考查棱锥的结构特征,棱锥的表面积,是基础题.
11、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面枳与侧面积的比是()
1+2冗B1+4冗
271、4兀
c、1±22LD、兀271
考点:
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台)。
专题:
计算题。
分析:
设圆柱底面积半径为r,求出圆柱的高,然后求圆柱的全面积与侧面枳的比.
解答:
解:
设圆柱底面积半径为r,则高为2tk,
全面积:
侧面积=[(2nr)2+2nr2]:
(2nr)2
2K+1
2K
故选A.
点评:
本题考查圆柱的侧面积、表面积,考查计算能力,是基础题.
12、圆台的上、卞底面半径和高的比为1:
4:
4,母线长为10,则圆台的侧面枳为()
A、81nB、100n
C.14rD、169r
考点:
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积。
专题:
计算题。
分析:
利用圆台的两底面的半径、高、母线构成一个直角梯形,构造直角三角形利用勾股定理求出底面半径,代入圆台的面积
公式进行运算.
解答:
解:
•••圆台的上、下底面半径和高的比为1:
4:
4,母线长为10,设圆台上底面的半径为r,
则下底面半径和高分别为4r和4r,由100=(4r)2+(4r-r)2得,r=2,
故圆台的侧面积等于Ji(r+4r)l=n(2+8)xl0=100n,
故选B.
点评:
本题考查圆台的侧面枳的求法,利用圆台的两底面的半径、高、母线构成一个直角梯形.
13、(2010*北京)如图,正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为2,动点E、F在棱AiBi±,动点P,Q分别在棱AD,CD
上,若EF=1,AiE=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零),则四面体PEFQ的体积()
A、与x,y,z都有关B、与x有关,与y,z无关
C、与y有关,与x,z无关D、与z有关,与x,y无关
考点:
棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题:
动点型;运动思想。
分析:
四面体PEFQ的体积,找出三角形AEFQ面积是不变量,P到平面的距离是变化的,从而确定选项.
解答:
解:
从图中可以分析出,AEFQ的面积永远不变,为面AiBiCD面积的2,
4
而当P点变化时,它到面AiBiCD的距离是变化的,因此会导致四面体体积的变化.
故选D.
点评:
本题考查棱锥的体积,在变化中寻找不变量,是中档题.
14、如图,已知正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为3,点E,F在线段AB上,点M在线段BiCi±,点N在线段C1D1上,且EF=1,DiN=x,AE=y,M是亦®的中点,则四面体MNEF的体积()
A、与x有关,与y无关B、与x无关,与y无关
C、与x无关,与y有关D、与x有关,与y有关
考点:
组合几何体的面枳、体积问题;棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题:
计算题。
分析:
分析:
由棱长为3的正方体ABCD-AiBiCiDi中,EF是棱AB±的一条线段,且EF=1,M是BiCi的中点,点N是棱CiDi±动点,由于M点到EF的距离固定,故底面枳SAMef的人小于EF点的位置没有关系,又根据CQillEF得到CiDi与面MEF平行,则点N的位置对四面体MNEF的体积的没有影响,进而我们易判断四面体MNEF的体积所具有的性质.
解答:
解:
连接MA,则MA到为M点到AB的距离,
又•/EF=1,故Samef为定值,
又VCiDillAB,则由线面平行的判定定理易得
CiDill面MEF,
又由N是棱CiDi上动点,故N点到平面MEF的距离也为定值,
即四面体MNEF的底面积和高均为定值
故四面体MNEF的体积为定值,与x无关,与y无关.
故选B.
点评:
点评:
本题考查的知识点是棱锥的体枳,其中根据空间中点、线、面之间的位置关系及其性质,判断出四面体PQEF的底面积和高均为定值,是解答本题的关键.
15、(2005・广东)已知高为3的直棱柱ABC-AiBiCi的底面是边长为1的正二角形(如图),则二棱锥Bi-ABC
Cl
/I
C
的体积为()
B
A、AB、
1
4
2
C、並D、
品
6
4
考点:
棱柱、棱锥、棱台的体枳。
专题:
计算题。
分析:
由直棱柱推知三棱锥Bi-ABC与直棱柱同高,同底,再由体枳公式求解.解答:
解:
根据题意:
•••棱柱ABC-AiBiCi为直棱柱
•••高为B1B2的长度,底为冷时出
故选D.
点评:
本题主要考查直棱柱的基本特征及从中截取的几何体与原几何体的关系.
16、(2003-天津)棱长为a的正方体中,连接相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为()
33
A.—B.—
34
33
C.—D.—
612
考点:
棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题:
计算题。
分析:
画出图形,根据题意求出八面体的中间平面面积,然后求出其体枳.
解答:
解:
画出图就可以了,这个八面体是有两个四棱锥底面合在一起组成的.
一个四棱锥的底面面积是正方体的一个面的一半,就是丄盘2,高为丄少
22
所以八面体的体积为:
2X丄X丄界只丄护卫_.
点评:
本题考查学生空间想象能力,逻辑思维能力,体积的计算公式,考查转化思想,是基础题.
17、一个几何体的三视图如图所示,它的一条对角线的两个端点为A、B,则经过这个几何体的面,A、B间的最短
路程是()
3
5
3O4
5
正视團
侧視图
A、5^2
B、
C、
D、3Vl0
考点:
多面体和旋转体表面上的最短距离问题:
简单空间图形的三视图。
专题:
计算题;作图题。
分析:
画出解答几何体的部分侧面展开图,容易解得AB的最小值.
解答:
解:
三视图复原几何体是长方体,AB侧面展开图以及数据如图,所以|AB|的最小值为:
届故选B.
点评:
本题考查空集几何体的三视图,及其侧面展开图,是基础题.
18、连接球面上两点的线段称为球的弦,半径为4的球的两条弦AB,CD的长度分别等于2听,4鹿,M,N分别
为AB,CD的中点,每条弦的两端都在球面上运动,则MN最大值为()
A、5B、6
C、7D、8
考点:
多面体和旋转体表面上的最短距离问题。
专题:
计算题。
分析:
据题意,由球的弦与直径的关系,可以求出两条弦AB,CD到球心的距离,进而得到MN最人值.
解答:
解:
•••球的半径为4,两条弦AB,CD的长度分别等于2听,4品,
则AB弦到球心的距离为百2一听厶3,CD弦到球心的距离为閥-(2需)芷2
当M,0,N三点共线,且M,N分别在0点两侧时
MN最大值为5
故选A.
点评:
本题考查球面距离及其计算,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是基础题.其中根据己知条件确定MN取最大值时的情况是解答本题的关键.
19、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为4站兀,则该正方体的表面积为()
A、20B、22
C、24D、26
考点:
棱柱、棱锥、棱台的体积;球的体积和表面积。
专题:
计算题。
分析:
由球的体积求出正方体的对角线,然后求出正方体的棱长,再求它的表面积.
解答:
解:
设球的半径为R,正方体棱长为a,则晋,R二屈2R=C^a,a=2,
所以S=6x4=24
故选C
点评:
本题考查棱柱、棱锥、棱台的体枳,球的体枳和表面积,考查空间想彖能力,计算能力,是基础题.
20、(2000*北京)一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等,那么圆锥与球的体枳之比是()
A、1:
3B、2:
3
C、1:
2D、2:
9
考点:
棱柱、棱锥、棱台的体积;球的体枳和表面枳。
专题:
计算题。
分析:
设出球的半径,根据条件求出圆锥的体积,球的体积,求出体枳之比.
解答:
解:
设球的半径为r,所以圆锥的体枳为:
丄x兀xFx2r二2兀厂彳
33
球的体枳:
总兀丫3
3
圆锥与球的体积之比是:
1:
2
故选C.
点评:
本题考查圆锥的体积,球的体积,考查计算能力,是基础题.
21、(2005>湖北)木星的体枳约是地球体积的尽倍,则它的表面积约是地球表面积的()
A、60倍B、倍
C、120倍D、12(h/30倍
考点:
球的体积和表面积。
专题:
计算题。
分析:
通过木星的体积约是地球体积的尽倍,求出它们的半径之比,然后求出表面积之比,即可.
解答:
解:
木星的体积约是地球体积的何倍,
则它的半径约是地球半径的2负倍(体积比是半径比的立方)
故表面枳约是地球表面积的120倍(面积比是半径比的平方).
故选C.
点评:
本题考查球的体枳和表面积的问题,考查相似比的问题,是基础题.
22、(2005>安徽)一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为71,则球的表面积为()
A、趴传兀B、8r
C、4\传兀D、4兀
考点:
球的体积和表面枳;球面距离及相关计算。
专题:
计算题。
分析:
求出截面圆的半径,利用勾股定理求球的半径,然后求出球的表面枳.
解答:
解:
球的截面圆的半径为:
n=nr2,r=l
球的半径为:
R=V2
所以球的表面积:
4jiR2=4hx(、叵)2=8h
故选B.
点评:
本题考查球的体积和表面积,考查计算能力,逻辑思维能力,是基础题.
23、球面上有三点A、B、C,任意两点之间的球面距离都等于球人圆周长的四分之一,且过这三点的截面圆的面积
为4兀,则此球的体积为()
A、砸兀B、4归兀
C、依兀D、趴胚兀
考点:
球的体积和表面积。
专题:
计算题。
分析:
因为正三角形ABC的外径戶2,故可以得到高,D是BC的中点.在AOBC中,又可以得到角以及边与R的关系,在RtAABD中,再利用直角三角形的勾股定理,即可解出R,最后利用体枳公式求出球的体积即可.
解答:
解:
因为正三角形ABC的外径尸2,故高AD旦T,D是BC的中点.
2
在AOBC中,BO=CO=R,ZBOC=—,所以BC=B0=V2R,BD^BC=^R.
222
在RtAABD中,AB=BC=V2R,所以由AB2=BD2+AD2,得2R2=-R2+9,所以R=V&.
2
.••V爷仏)j師
故选D.
点评:
本题考查学生的空间想象能力,以及对球的性质认识及利用,球的体积和表面积是常考的题型,是基础题.
24、圆柱的高等于球的直径,圆柱的侧面积等于球的表面枳,设圆柱的体枳为V,则球的体积为()
D、2V
考点:
球的体积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题:
计算题。
分析:
设出球的半径,圆柱的底面半径,求出圆柱的侧面积,然后求出球的表面积,求出球的半径,求出球的体积.解答:
解:
设球的半径为R,所以圆柱的高为2R,圆柱的底面半径为r:
V=nr2.2R,所以圆柱的侧面积为:
4兀石,所以
4兀R^EX=4rR2,所以R3J-,所以球的体枳:
竺R兀里
V27TR几2兀33
故选B.
点评:
本题是基础题,考查圆柱、球的表面枳、体积的计算,考查空间想彖能力,计算能力.
二、填空题(共2小题)
25、(2006-江西)如图,已知正三棱柱ABC・AiBiCi的底面边长为1,高为8,—质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达Ai点的最短路线的长为10・
考点:
多面体和旋转体表面上的最短距离问题。
分析:
将三棱柱展开两次如图,不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线,正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径.
解答:
解:
将正三棱柱ABC-AiBiCi沿侧棱CCi展开,在拼接一次,
其侧面展开图如图所示,由图中路线可得结论・
故答案为:
10
点评:
本题考查棱柱的结构特征,空间想象能力,几何体的展开与折叠,是基础题.
26、(2005・江西)如图,在直三棱柱ABC-AiBiCi中,AB=BC=V2,BBi=2,ZABC=90%E、F分别为AAi、C1B1的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为_寻迁_•
考点:
多面体和旋转体表面上的最短距离问题。
专题:
分类讨论。
分析:
分类讨论,若把面ABAiBi和面BiCiBC展开在同一个平面内,构造直角三角形,由勾股定理得EF的长度.若把把面ABAiBi和面AiBiC展开在同一个平面内,构造直角三角形,由勾股定理得EF的长度.
若把把面ACCiAi和面AiBiCi展开在同一个面内,构造直角三角形,由勾股定理得EF的长度.
以上求出的EF的长度的最小值即为所求.
解答:
解:
直三棱柱底面为等腰直角三角形,若把面ABAxBi和面BiCiBC展开在同一个平面内,
若把把面ABAiBi和面AiBiC展开在同一个平面内,设BBi的中点为G,则线段EF就在直角三角形EFG中,
若把把面ACCiAi和面AxBiCi展开在同一个面内,过F作与CCi行的直线,过E作与AC平行的直线,所作的两线交与综上,从E到F两点的
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- 关 键 词:
- 直观图 表面积 体积
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