初二数学经典难题带答案及解析.docx

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初二数学经典难题带答案及解析

初二数学经典难题

一、解答题（共10小题，满分100分）

1．（10分）已知：

如图，P是正方形内点，∠∠15°．求证：

△是正三角形．（初二）

2．（10分）已知：

如图，在四边形中，，M、N分别是、的中点，、的延长线交于E、F．

求证：

∠∠F．

3．（10分）如图，分别以△的边、为一边，在△外作正方形和，点P是的中点，求证：

点P到的距离是的一半．

4．（10分）设P是平行四边形内部的一点，且∠∠．

求证：

∠∠．

5．（10分）P为正方形内的一点，并且，2a，3a，求正方形的边长．

6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．

7．（10分）（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，垂直于x轴，垂直于y轴，垂足分别是A、B．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线上运动时，直线上是否存在这样的点Q，使得△与△面积相等？

如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以、为邻边的平行四边形，求平行四边形周长的最小值．

8．（10分）（2008•海南）如图，P是边长为1的正方形对角线上一动点（P与A、C不重合），点E在线段上，且．

（1）求证：

①；②⊥；

（2）设，△的面积为y．

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．

9．（10分）（2010•河南）如图，直线1与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．

（1）求k1、k2的值．

（2）直接写出时x的取值范围；

（3）如图，等腰梯形中，∥，，边在x轴上，过点C作⊥于点E，和反比例函数的图象交于点P，当梯形的面积为12时，请判断和的大小关系，并说明理由．

10．（10分）（2007•福州）如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

（1）求k的值；

（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△的面积；

（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

初二数学经典难题

参考答案与试题解析

一、解答题（共10小题，满分100分）

1．（10分）已知：

如图，P是正方形内点，∠∠15°．求证：

△是正三角形．（初二）

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。

1097743

专题：

证明题。

分析：

在正方形内做△与△全等，根据全等三角形的性质求出△为等边，三角形，根据证出△≌△，推出，推出，根据等边三角形的判定求出即可．

解答：

证明：

∵正方形，

∴，∠∠90°，

∵∠∠15°，

∴，∠∠75°，

在正方形内做△与△全等，

∴，∠∠∠∠15°，

∴∠90°﹣15°﹣15°=60°，

∴△为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形），

∴，

∵∠180°﹣15°﹣15°=150°，

∴∠360°﹣150°﹣60°=150°=∠，

在△和△中

，

∴△≌△，

∴，和∠∠15°，

同理，

∠90°﹣15°﹣15°=60°，

∴△是正三角形．

点评：

本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求．

2．（10分）已知：

如图，在四边形中，，M、N分别是、的中点，、的延长线交于E、F．

求证：

∠∠F．

考点：

三角形中位线定理。

1097743

专题：

证明题。

分析：

连接，作∥交于G，连接，根据中位线定理证明∥，且，根据证明，可得∠∠，根据平行线性质可得：

∠∠F，∠∠从而得出∠∠F．

解答：

证明：

连接，作∥交于G，连接．

∵N是的中点，且∥，

∴，G是的中点，

又∴M是的中点，

∴∥，且．

∵，

∴，

△为等腰三角形，

∴∠∠，

∵∥，

∴∠∠F，

∵∥，

∴∠∠，

∴∠∠F．

点评：

此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明△为等腰三角形．

3．（10分）如图，分别以△的边、为一边，在△外作正方形和，点P是的中点，求证：

点P到的距离是的一半．

考点：

梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质。

1097743

专题：

证明题。

分析：

分别过E，F，C，P作的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则（），易证△≌△，则，，，即可得证．

解答：

解：

分别过E，F，C，P作的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则∥∥，

∵P是的中点，∴Q为的中点，

∴为梯形的中位线，

∴（），

∵（正方形的边长相等），∠∠（同角的余角相等），∠∠90°，

∴△≌△（），

同理△≌△，

∴，，

∴，

∴．

点评：

此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键．

4．（10分）设P是平行四边形内部的一点，且∠∠．

求证：

∠∠．

考点：

四点共圆；平行四边形的性质。

1097743

专题：

证明题。

分析：

根据已知作过P点平行于的直线，并选一点E，使，利用∥，∥，进而得出∠∠∠，

得出共圆，即可得出答案．

解答：

证明：

作过P点平行于的直线，并选一点E，使，

∵∥，∥．

∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，

∴∥，∥，

∴∠∠∠，

∴共圆（一边所对两角相等）．

∴∠∠∠，

∴∠∠．

点评：

此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键．

5．（10分）P为正方形内的一点，并且，2a，3a，求正方形的边长．

考点：

正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质。

1097743

专题：

综合题。

分析：

把△顺时针旋转90°得到△，根据勾股定理得到2a，再根据勾股定理逆定理证明△是直角三角形，从而得到∠135°，过点C作⊥于点F，△是等腰直角三角形，然后再根据勾股定理求出的长度，即可得到正方形的边长．

解答：

解：

如图所示，把△顺时针旋转90°得到△，

∴△≌△，

∴2a，

∴2a，

在△中，222=9a2，

∴△是直角三角形，

∴∠90°，

∴∠45°+90°=135°，

过点C作⊥于点F，

则△是等腰直角三角形，

∴，

在△中，，

即正方形的边长为a．

点评：

本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．

考点：

分式方程的应用。

1097743

分析：

设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x，一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分可列方程求解．

解答：

解：

设小水管进水速度为x立方米/分，则大水管进水速度为4x立方米/分．由题意得：

解之得：

经检验得：

是原方程解．

∴小口径水管速度为立方米/分，大口径水管速度为立方米/分．

点评：

本题考查理解题意的能力，设出速度以时间做为等量关系列方程求解．

7．（10分）（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，垂直于x轴，垂直于y轴，垂足分别是A、B．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线上运动时，直线上是否存在这样的点Q，使得△与△面积相等？

如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以、为邻边的平行四边形，求平行四边形周长的最小值．

考点：

反比例函数综合题。

1097743

专题：

压轴题。

分析：

（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；

（2）因为P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，所以△、△面积为1，依据反比例函数的图象和性质，点Q在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；

（3）因为四边形是平行四边形，所以，，而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以的长也是定长，所以要求平行四边形周长的最小值就只需求的最小值．

解答：

解：

（1）设正比例函数解析式为，

将点M（﹣2，﹣1）坐标代入得，所以正比例函数解析式为，

同样可得，反比例函数解析式为；

（2）当点Q在直线上运动时，

设点Q的坐标为Q（m，m），

于是S△××m×2，

而S△（﹣1）×（﹣2）1，

所以有，m2=1，解得±2，

所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；

（3）因为四边形是平行四边形，所以，，

而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以的长也是定长，

所以要求平行四边形周长的最小值就只需求的最小值，（8分）

因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，），

由勾股定理可得22（n﹣）2+4，

所以当（n﹣）2=0即n﹣=0时，2有最小值4，

又因为为正值，所以与2同时取得最小值，

所以有最小值2，由勾股定理得，

所以平行四边形周长的最小值是2（）=2（+2）=2+4．（10分）

点评：

此题难度稍大，考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质，综合性比较强．要注意对各个知识点的灵活应用．

8．（10分）（2008•海南）如图，P是边长为1的正方形对角线上一动点（P与A、C不重合），点E在线段上，且．

（1）求证：

①；②⊥；

（2）设，△的面积为y．

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．

考点：

二次函数综合题。

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专题：

动点型。

分析：

（1）可通过构建全等三角形来求解．过点P作∥，分别交、于G、F，那么可通过证三角形和全等来求以及⊥．在直角三角形中，由于∠45°，因此三角形是等腰直角三角形，那么，而，⊥，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出，同理可得出两三角形的另一组对应边，相等，因此可得出两直角三角形全等．可得出，∠∠，而∠∠90°，那么可得出∠∠90°，由此可得出⊥．

（2）求三角形的面积，就要知道底边和高的长，

（1）中已得出，那么可用在等腰直角三角形中求出，即，的长，那么就知道了底边的长，而高﹣，也就可求出的长，可根据三角形的面积公式得出x，y的函数关系式．然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最大值以及对应的x的取值．

解答：

（1）证明：

①过点P作∥，分别交、于G、F．如图所示．

∵四边形是正方形，

∴四边形和四边形都是矩形，

△和△都是等腰直角三角形．

∴，，∠∠90度．

又∵，

∴，

∴，

∴△≌