第八章 矩阵的广义逆资料.docx

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第八章矩阵的广义逆资料

第八章矩阵的广义逆

近几十年来，广义逆理论及其应用研究得到了迅速发展，成为矩阵理论的重要内容之一。

本章只介绍广义逆矩阵中的

、

、

、

和

的基本内容及其在解线性方程组中的简单应用。

§8.1Moore-Penrose逆（M-P逆）

当

且可逆时，线性方程组

有唯一解

。

若

，

，我们知道线性方程组

一定有解，是否存在

，使得线性方程组

的解

？

若有这样的

存在，显然

是逆矩阵概念的推广。

一、M-P逆

定义1设

，称满足下列4个条件（称为Moore-Penrose条件）的

为

的M-P逆，记为

。

（1）

；

（2）

；

（3）

；（4）

。

显然，若

为可逆方阵，则

。

定理1设

，则

存在且唯一。

证明由矩阵的奇异值分解知

，

使得

，其中

，

为满秩

阶对角阵。

记

，下证

满足Moore-Penrose的4个条件，即

为

的M-P逆

。

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）与（3）同理

。

下面证明

的唯一性。

设

都满足

的M-P逆的4个条件，则

故

的M-P逆

存在且唯一。

定理2设

有满秩分解

，其中

，

，则

（由此容易理解§4.2的推论2）。

证明因为

，故

可逆，同理

可逆。

令

不难验证Moore-Penrose的4个条件成立，所以

推论1若

，则

；若

，则

。

M-P逆与通常的逆阵有相似的性质。

定理3设

，则

（1）

；

（2）

；

（3）

，

；

（4）

，

；

（5）

，其中

，

；

（6）当

，

，当

，

；

证明由定理1证明，设

有奇异值分解

，其中

，其中

为满秩

阶对角阵，则

，

，易证

（1）–（６）成立。

二、

的

逆

定义２设

，称满足Moore-Penrose的条件（

）、（

）、（

）的

为

的

逆，记为

。

因为

的M-P逆存在，故

的{1}逆

存在性显然，但不唯一，例如

，则

，

。

故记

为

的

逆的全体构成的集合。

定理4设

，则对所有

方程组

有解

充分必要条件是

。

证明必要性设

，则

，

，故

，即

。

充分性设

，则

，所以

，有

，所以

是方程

的解。

推论2设

，则

。

证明

。

定理5设

且有等价分解

，其中

，则

且

均可写成上述形式。

证明

，故

。

而

，令

，则由

得

。

定理6若

，则

。

证明

，

故

。

定理7设

，

，则

的充分必要条件是

。

证明必要性因为

，故有

所以

。

充分性由

，

，得

即

因为

，故

。

设

，则

，故存在

，使得

，所以

，即

，

，所以

。

§8.2具有指定的值域和零空间的{1，2}逆

定义1设

，则

，

可唯一分解为

，其中

，称

为

沿

在

上的投影。

取

的基为自然基，则

沿

在

上的投影变换可用矩阵

表示，即

，有

。

显然

为线性变换且矩阵

为线性变换

在

自然基下的矩阵，称

为沿

在

上的投影算子。

由于

，故由

的任意性知

，即投影算子

为幂等阵。

定理1设幂等阵

，则

，且

为沿

到

的投影算子，即

。

反之，若

，则存在唯一的幂等阵

，使得

。

证明设

为幂等阵，由于

，有

，

，

，所以

，

。

反之，若

，设

是

的基，

是

的基，因为

与

的和为直和，故

是

的基。

令

则

即

记

，

，则

故

为幂等阵，又由所设知

，即

，下证唯一性。

若有幂等阵

使得

，则

由

得

，故

。

上述定理1实际上给出了幂等阵与投影算子之间的一一对应关系。

引理1

（1）若

为

的{1}逆，则

，

。

（2）若

为

的{2}逆，则

，

。

证明

（1）由

，得

即得

又因为

，

，故有

，

（2）证明与

（1）类似，故略。

推论1若

为

的{1，2}逆，则

。

定理2设

为

的{1，2}逆，则

，

。

证明因为

，

故

与

为幂等阵，所以由引理1得

引理2设

，则

（1）

充分必要条件是

；

（2）

充分必要条件是

。

证明

（1）设

，

，

。

必要性因为

，故

，所以

，

，故

。

充分性由

且

为投影算子，故

，

，故

。

（2）必要性显然。

充分性设

，记

由于

，有

，所以

因为

，故

，所以

，由

的任意性知

。

定理3设

，

，

，

，

，则

为

的使

，

的{1}逆充要条件是

。

证明必要性因为

，由引理1得

，

，由于

、

为幂等阵，故

，

充分性因为

，故由引理2得

，所以

。

由

知

，

。

引理3满足矩阵方程

的解至多有一个。

证明设

为其两个解，

，则

，

，

，

所以

即满足矩阵方程的解至多有一个。

定理4设

，

，

，

，

，则矩阵方程

有唯一解

，且解

为

的{1，2}逆，

，

（称满足上述条件的

为

的具有指定值域与零空间的{1，2}逆，记为

）。

证明因为

，由定理3知

，又因为

，所以

，故

。

由引理1知

，

由引理3知满足矩阵方程

的解至多有一个，令

，则有

所以

是方程

的唯一解，故

。

引理4秩

秩

，则一定存在

，使得

成立。

证明由

故

，所以存在

使得

。

同理，存在

使得

。

下面的定理5给出了

的一个刻画。

定理5设

存在，则

具有幂等解

且

的充要条件是

。

证明充分性取

，

，显然

幂等且

，由此

=

=

=

=

=

=

=

必要性由于

存在，所以

，

（1）

由引理4得，存在

使得

。

由

=

得

，所以

，又显然有

再由

（1）可得

，故

，所以由

及定理4得

。

§8.3群逆

若

可逆，则

，但是在§8.1、§8.2中讨论的

的M-P逆和

逆不具有与

的交换性，下面介绍的群逆具有这种交换性。

定义1设

，称使得

成立的最小非负整数

为

的指标，记为

。

定义2设

，如果

满足

，

，

则称

为

的群逆，记为

。

定理1设

，若

存在，则

唯一。

证明设

为

的群逆，则

故若

存在，则

唯一。

定理2设

，不可逆，则

存在的充分必要条件是

。

证明若

，则命题显然，以下假定

不可逆且

。

充分性由

的若当分解得

，

因为

，所以

，

。

故

的零特征值对应的若当块都是1阶的，故存在可逆阵

使得

，不难验证

。

必要性设

存在，则

，

，

，故

所以

，即

。

推论1设

，则

存在的充分必要条件是存在可逆阵

，使得

（此时

）。

证明由定理2的证明易得。

§8.4广义逆与线性方程组

§8.1定理4给出了线性方程组

解的广义逆的表示形式，下面继续简单介绍广义逆在线性方程组中的应用。

一、线性方程组

的通解

定义1设

，

，若线性方程组

有解（无解），则称

为相容（不相容）线性方程组。

显然

为相容线性方程组当且仅当

。

定理1设

，

，则

的通解

，

任意。

证明因为

，

，所以

，即

是

的解。

下证

为

的通解。

因为

为投影算子，所以

，由§8.2的引理1知

，故

的通解为

。

所以

的通解

，

任意。

例1求

的通解，其中

，

。

解

，所以

为相容线性方程组。

所以

，

由§8.1的定理5得

，取

，则

推论1设

，则

的通解

，

任意。

二、极小范数最小二乘解

定义2设

，

，如果

均有

，则称

为线性方程组

的最小二乘解（本节所涉及的范数均指2-范数）。

定义3设

，

，

为线性方程组

的最小二乘解，如果对

的任意一个最小二乘解

均有

，则称

为

的极小范数最小二乘解。

由定义2、定义3知相容线性方程组的任一个解都是其最小二乘解，故也称相容线性方程组的极小范数最小二乘解为极小范数解。

定理2设

，则对一切

，

的极小范数解

的充分必要条件是

。

证明充分性因为

，由定理1的

的通解

，

任意。

而内积

所以

，故

即

为

的极小范数解。

必要性设

的极小范数解

，则

，且

的通解

因为

是极小范数解，即

故

，由

得

因为

，

所以

，故有

，又由于

所以

，故

为正交投影算子，所以

即得

。

定理3设

，

，则

为不相容线性方程组

的极小范数最小二乘解。

证明显然

，故

，所以

所以

为不相容线性方程组

的最小二乘解。

由以上可知

的最小二乘解（通解）

，

任意，与定理2证明相似，易得

在

的最小二乘解中范数最小。

习题八

1．设

，

，

，

为

阶可逆阵，证明

。

2．设

，

，

，证明

。

3．设

，求

。

4．求

：

（1）

；

（2）

；

（3）

。

5．证明

。

6．设

，求

7．设

，证明

且

。

8．设

，求不相容线性方程组

的极小范数最小二乘解。