∴sinA=5-12.
1.已知极坐标平面内的点P2,-5π3,则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分
别为( )
A.2,π3,(1,3)B.2,-π3,(1,-3)
C.2,2π3,(-1,3)D.2,-2π3,(-1,-3)
解析:
点P2,-5π3关于极点的对称点为2,-5π3+π,
即2,-2π3,且x=2cos-2π3=-2cosπ3=-1,
y=2sin-2π3=-2sinπ3=-3,所以选D.
答案:
D
2.(2009•珠海模拟)圆ρ=4cosθ的圆心到直线tanθ=1的距离为( )
A.22B.2C.2D.22
解析:
圆ρ=4cosθ的圆心C(2,0),如图,|OC|=2,在Rt△COD中,∠ODC=π2,
∠COD=π4,∴|CD|=2.
即圆ρ=4cosθ的圆心到直线tanθ=1的距离为2.
答案:
B
3.已知直线l的参数方程为x=-1-22ty=2+22t(t为参数),则直线l的斜率为( )
A.1B.-1C.22D.-22
解析:
直线l的参数方程可化为x=-1+tcos3π4y=2+tsin3π4,故直线的斜率为tan3π4=
-1.
答案:
B
4.直线3x-4y-9=0与圆:
x=2cosθy=2sinθ,(θ为参数)的位置关系是( )
A.相切B.相离
C.直线过圆心D.相交但不过圆心
解析:
圆的普通方程为x2+y2=4,∴圆心坐标为(0,0),半径r=2,点(0,0)到直线3x
-4y-9=0的距离为d=|-9|32+42=95<2,∴直线与圆相交,而(0,0)点不在直线上,
故选D.
答案:
D
5.已知极坐标系中,极点为O,0≤θ<2π,M3,π3,在直线OM上与点M的距离为4
的点的极坐标为________.
解析:
如图所示,|OM|=3,∠xOM=π3,在直线OM上取点P、Q,使|OP|=7,|OQ|=1,
∠xOP=π3,∠xOQ=4π3,显然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4,|QM|=|OM|+|OQ|=
3+1=4.
答案:
7,π3或1,4π3
6.已知极坐标系中,极点为O,将点A4,π6绕极点逆时针旋转π4得到点B,且|OA|=|OB|,
则点B的直角坐标为________.
解析:
依题意,点B的极坐标为4,5π12,
∵cos5π12=cosπ4+π6=cosπ4cosπ6-sinπ4sinπ6
=22•32-22•12=6-24,
sin5π12=sinπ4+π6=sinπ4cosπ6+cosπ4sinπ6
=22•32+22•12=6+24,
∴x=ρcosθ=4×6-24=6-2,y=ρsinθ=6+2.
∴点B的直角坐标为(6-2,6+2).
答案:
(6-2,6+2)
7.设y=tx(t为参数),则圆x2+y2-4y=0的参数方程是________.
解析:
把y=tx代入x2+y2-4y=0
得x=4t1+t2,y=4t21+t2,∴参数方程为x=4t1+t2y=4t21+t2.
答案:
x=4t1+t2y=4t21+t2
8.点M(x,y)在椭圆x212+y24=1上,则点M到直线x+y-4=0的距离的最大值为
________,此时点M的坐标是________.
解析:
椭圆的参数方程为x=23cosθy=2sinθ(θ为参数),
则点M(23cosθ,2sinθ)到直线x+y-4=0的距离
d=|23cosθ+2sinθ-4|2=|4sinθ+π3-4|2.
当θ+π3=32π时,dmax=42,此时M(-3,-1).
答案:
42 (-3,-1)
9.(2010•新课标全国高考)已知直线C1:
x=1+tcosα,y=tsinα,(t为参数),圆C2:
x=cosθ,y=sinθ,
(θ为参数).
(1)当α=π3时,求C1与C2的交点坐标;
(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点.当α变化时,求P点轨
迹的参数方程,并指出它是什么曲线.
解:
(1)当α=π3时,C1的普通方程为y=3(x-1),
C2的普通方程为x2+y2=1.
联立方程组y=3(x-1),x2+y2=1,
解得C1与C2的交点为(1,0),12,-32.
(2)C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0.
A点坐标为(sin2α,-cosαsinα),
故当α变化时,P点轨迹的参数方程为
x=12sin2α,y=-12sinαcosα,(α为参数).
P点轨迹的普通方程为x-142+y2=116.
故P点轨迹是圆心为14,0,半径为14的圆.
10.在极坐标系中,已知圆C的圆心C3,π6,半径r=3,
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若Q点在圆C上运动,P在OQ的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2,求动点P的轨迹方程.
解:
(1)设M(ρ,θ)为圆C上任一点,OM的中点为N,
∵O在圆C上,∴△OCM为等腰三角形,
由垂径定理可得|ON|=|OC|cosθ-π6,
∴|OM|=2×3cosθ-π6,
即ρ=6cosθ-π6为所求圆C的极坐标方程.
(2)设点P的极坐标为(ρ,θ),因为P在OQ的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2,所
以点Q的坐标为35ρ,θ,由于点Q在圆上,所以35ρ=6cosθ-π6.
故点P的轨迹方程为ρ=10cosθ-π6.
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共计60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若a>b>1,P=lga•lgb,Q=12(lga+lgb),R=lga+b2,则
A.R<P<Q B.P<Q<R
C.Q<P<RD.P<R<Q
【解析】 取a=100,b=10,
此时P=2,Q=32=lg1000,R=lg55=lg3025,比较可知P<Q<R.
【答案】 B
2.(2010•龙岩模拟)设(3x+1)25=a0+a1x+a2x2+…+a25x25,则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+…-|a25|等于
A.225B.-225
C.425D.-425
【解析】 (3x+1)25=(1+3x)25展开式中项的系数都为正,故|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+…-|a25|=a0-a1+a2-a3+…-a25,所以只须令x=-1即可.
【答案】 B
3.(2010•泉州模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC→=αOA→+βOB→,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为
A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5
C.2x-y=0D.x+2y-5=0
【解析】 通过向量的坐标运算把OC→=αOA→+βOB→转化为
消去α得x+2y-5=0.
【答案】 D
4.如图,△OAB是边长为2的等边三角形,直线x=t截这个三角形位于此直线左方的图形面积(见图中阴影部分)为y,则函数y=f(t)的大致图象为
C.D.
【解析】 当t=1时,面积为32,故排除A、B,当t>1时,随t增大,面积增大越来越慢.
【答案】 D
5.(2010•芜湖质检)4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元,而6枝牡丹花与3枝月季花的价格之和大于24元,则2枝牡丹花和3枝月季花的价格比较结果是
A.2枝牡丹花贵B.3枝月季花贵
C.相同D.不确定
【解析】 由已知设牡丹花一枝x元,月季花一枝y元,则
作出可行域和目标函数t=2x-3y,可求得2x-3y>0,故选A.
体现了实际问题与数学理论的转化.
【答案】 A
6.(2010•聊城模拟)设x∈R,如果a<lg(|x-3|+|x+7|)恒成立,那么
A.a≥1B.a>1
C.0<a≤1D.a<1
【解析】 要使不等式恒成立,只须求lg(|x-3|+|x+7|)的最小值.
∵y=lg(|x-3|+|x+7|)为增函数,且|x-3|+|x+7|的最小值为10,
∴ymin=lg10=1,∴a小于y的最小值.
【答案】 D
7.如果实数x,y满足x2+y2=1,那么(1-xy)(1+xy)有
A.最小值12和最大值1B.最小值34而无最大值
C.最大值1而无最小值D.最大值1和最小值34
【解析】 ∵(1-xy)(1+xy)=1-x2y2,
∴当x=0或y=0时,有最大值1,而x2+y2≥2xy,
∴x2y2≤14,∴当x2=y2=12时,1-x2y2取得最小值34.
【答案】 D
8.(2010•三明模拟)已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时,点P的坐标为
A.14,-1B.14,1
C.(1,2)D.(1,-2)
【解析】 依题意,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),
设P到准线的距离为d,则由抛物线的定义知:
|PF|+|PQ|=d+|PQ|.
如图,当PQ∥x轴时,|PF|+|PQ|最小,此时P14,-1,故选A.
【答案】 A
9.不等式x2-logax<0当x∈0,12时恒成立,则a的取值范围是
A.116≤a<1B.116<a<1
C.0<a≤116D.0<a<116
【解析】 构造函数y=x2与y=logax,x2-logax<0,
当x∈0,12时恒成立,
即当x∈0,12时,y=x2的图象在y=logax图象的下方,
所以首先a<1.
当a<1时,如图,当x=12时,y=14即14=loga12,
∴a=116,当y=logax图象绕点(1,0)顺时针旋转时a增大,∴116≤a<1.
【答案】 A
10.(2010•杭州模拟)若2x+5y≤2-y+5-x,则有
A.x+y≥0B.x+y≤0
C.x-y≤0D.x-y≥0
【解析】 把不等式变形为2x-5-x≤2-y-5y,构造函数y=2x-5-x,其为R上的增函数,所以有x≤-y,故选B.
【答案】 B
11.(2010•信阳模拟)已知函数f(x)=13x,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,则an的最小值为
A.-1B.1
C.23D.-23
【解析】 a1=f
(1)-c=13-c,a2=[f
(2)-c]-[f
(1)-c]=-29,
a3=[f(3)-c]-[f
(2)-c]=-227.又数列{an}成等比数列,
所以a1=a22a3=481-227=-23=13-c,
所以c=1;
又公比q=a2a1=13,
所以an=-2313n-1=-213n,n∈N*,
因此,数列{an}是递增数列,n=1时,an最小,为-23,选D.
【答案】 D
12.(2010•福建质检)已知函数f(x)=1-1-x2,x∈[0,1],对于满足0<x1<x2<1的任意x1,x2,给出下列结论:
①(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0;
②f(x2)-f(x1)>x2-x1;
③f(x1)+f(x2)2>fx1+x22.
其中正确结论的序号是
A.①B.②
C.③D.①③
【解析】 函数f(x)=1-1-x2,x∈[0,1]的图象如图所示