届一轮复习配套讲义第8篇 第3讲 圆的方程.docx
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届一轮复习配套讲义第8篇第3讲圆的方程
第3讲 圆的方程
[最新考纲]
1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.
2.初步了解用代数方法处理几何问题.
知识梳理
1.圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方
程
标准
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心C(a,b)
半径为r
一般
x2+y2+Dx+Ey+F=0
充要条件:
D2+E2-4F>0
圆心坐标:
半径r=
2.点与圆的位置关系
(1)确定方法:
比较点与圆心的距离与半径的大小关系.
(2)三种关系:
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0).
①(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点在圆上;
②(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点在圆外;
③(x0-a)2+(y0-b)2 辨析感悟 1.对圆的方程的理解 (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(√) (2)方程x2+y2=a2表示半径为a的圆.(×) (3)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆.(×) (4)(2013·江西卷改编)若圆C经过坐标原点和点(4,0)且与直线y=1相切,则圆C的方程是(x-2)2+2=.(√) 2.对点与圆的位置关系的认识 (5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x+y+Dx0+Ey0+F>0.(√) (6)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.(×) [感悟·提升] 1.一个性质 圆心在任一弦的中垂线上,如(4)中可设圆心为(2,b). 2.三个防范 一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号,如 (2)中半径应为|a|; 二是注意一个二元二次方程表示圆时的充要条件,如(3); 三是过一定点,求圆的切线时,首先判断点与圆的位置关系.若点在圆外,有两个结果,若只求出一个,应该考虑切线斜率不存在的情况,如(6). 考点一 求圆的方程 【例1】根据下列条件,求圆的方程. (1)求过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4的圆的方程. (2)已知圆的半径为,圆心在直线y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长为4. 解 (1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).① 将P,Q点的坐标分别代入①得 令x=0,由①得y2+Ey+F=0.④ 由已知|y1-y2|=4,其中y1,y2是方程④的两根, 所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48.⑤ 解②、③、⑤组成的方程组得或 故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0. (2)法一 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=10. 由圆心在直线y=2x上,得b=2a.① 由圆在直线x-y=0上截得的弦长为4, 将y=x代入(x-a)2+(y-b)2=10, 整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0. 由弦长公式得=4, 化简得a-b=±2.② 解①、②得a=2,b=4或a=-2,b=-4. 故所求圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10. 法二 根据图形的几何性质: 半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形.如图, 由勾股定理,可得弦心距 d===. 又弦心距等于圆心(a,b)到直线x-y=0的距离, 所以d=,即=.③ 又已知b=2a.④ 解③、④得a=2,b=4或a=-2,b=-4. 故所求圆的方程是(x-2)2+(y-4)2=10 或(x+2)2+(y+4)2=10. 规律方法求圆的方程,主要有两种方法: (1)几何法: 具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如: ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任意弦的中垂线上;③两圆相切时,切点与两圆心三点共线. (2)待定系数法: 根据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式,求出相关量.一般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都要确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式. 【训练1】 (1)(2014·济南模拟)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是( ). A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1 (2)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则C的方程为________. 解析 (1)由于圆心在第一象限且与x轴相切,故设圆心为(a,1),又由圆与直线4x-3y=0相切,得=1,解得a=2或-(舍去).故圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.故选A. (2)依题意设所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2,将A,B点坐标分别代入方程得 解得所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=10. 答案 (1)A (2)(x-2)2+y2=10 考点二 与圆有关的最值问题 【例2】已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求的最大值和最小值; (2)求y-x的最大值和最小值; (3)求x2+y2的最大值和最小值. 解 原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆. (1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 所以设=k,即y=kx. 当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=,解得k=±(如图1). 所以的最大值为,最小值为-. (2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时, 纵截距b取得最大值或最小值,此时=,解得b=-2±(如图2). 所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-. (3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知, 在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3). 又圆心到原点的距离为=2, 所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4. 规律方法与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型: (1)形如μ=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; (2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题; (3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 【训练2】(2014·金华十校联考)已知P是直线l: 3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是( ). A.B.2C.D.2 解析 圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为C(1,1),半径为r=1,根据对称性可知,四边形PACB的面积为2S△APC=2×|PA|r=|PA|=,要使四边形PACB的面积最小,则只需|PC|最小,最小时为圆心到直线l: 3x-4y+11=0的距离d===2.所以四边形PACB面积的最小值为==. 答案 C 考点三 与圆有关的轨迹问题 【例3】在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2. (1)求圆心P的轨迹方程; (2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程. 审题路线 (1)设圆心P为(x,y),半径为r⇒由圆的几何性质得方程组⇒消去r可得点P的轨迹方程. (2)设点P(x0,y0)⇒由点到直线的距离公式可得一方程⇒点P在第 (1)问所求曲线上可得一方程⇒以上两方程联立可解得P点坐标与圆P的半径⇒得到圆P的方程. 解 (1)设P(x,y),圆P的半径为r. 由题设y2+2=r2,x2+3=r2.从而y2+2=x2+3. 故P点的轨迹方程为y2-x2=1. (2)设P(x0,y0),由已知得=. 又P在双曲线y2-x2=1上,从而得 由得此时,圆P半径r=. 由得此时,圆P的半径r=. 故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3. 规律方法求与圆有关的轨迹方程时,常用以下方法: (1)直接法: 根据题设条件直接列出方程; (2)定义法: 根据圆的定义写出方程;(3)几何法: 利用圆的性质列方程;(4)代入法: 找出要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式. 【训练3】已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求: (1)直角顶点C的轨迹方程; (2)直角边BC中点M的轨迹方程. 解 (1)法一 设顶点C(x,y),因为AC⊥BC,且A,B,C三点不共线,所以x≠3且x≠-1. 又kAC=,kBC=,且kAC·kBC=-1, 所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0. 因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1). 法二 设AB中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知,|CD|=|AB|=2,由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径长的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1). (2)设点M(x,y),点C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=(x≠3且x≠1),y=,于是有x0=2x-3,y0=2y. 由 (1)知,点C在圆(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1)上运动,将x0,y0代入该方程得(2x-4)2+(2y)2=4, 即(x-2)2+y2=1. 因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1). 1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式,定参数”是求圆的方程的基本方法,即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确定其中的三个参数,同时注意利用几何法求圆的方程时,要充分利用圆的性质. 2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算. 3.求圆的方程时,一般考虑待定系数法,但如果能借助圆的一些几何性质进行解题,不仅能使解题思路简化,而且还能减少计算 量.如弦长问题,可借助垂径定理构造直角三角形,利用勾股定理解题. 方法优化7——利用几何性质巧设方程求半径 【典例】在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上,求圆C的方程. [一般解法](代数法)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴交点是(3+2,0),(3-2,0), 设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则有解得 故圆的方程是x2+y2-6x-2y+1=0. [优美解法](几何法)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0). 故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2= (2)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为=3, 所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9. [反思感悟]一般解法(代数法): 可以求出曲线y=x2-6x+1与坐标轴的三个交点,设圆的方程为一般式,代入点的坐标求解析式. 优美解法(几何法): 利用圆的性质,知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上,从而设圆的方程为标准式,简化计算.显然几何法比代数法的计算量小,因此平时训练多采用几何法解题. 【自主体验】 1.圆C的半径为1,圆心在第一象限,与y轴相切,与x轴相交于点A,B,若|AB|=,则该圆的标准方程是________
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