随机过程习题答案doc.docx
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随机过程习题答案doc
随机过程部分习题答案
习题2
2.1设随机过程X(t)Vtb,t(0,),b为常数,V~N(0,1),求X(t)的一维概率密
度、均值和相关函数。
解因V~
N(0,1)
,所以EV
0,DV
1,X(t)
Vt
b也服从正态分布,
E[X(t)]
E[Vt
b]
tEV
b
b
D[X(t)]
D[Vt
b]
t2DV
t2
所以X(t)~N(b,t2),X(t)的一维概率密度为
1
(xb)2
f(x;t)
2
(
),t
(0,
)
e
2t
x
2t
均值函数
mX(t)
E[X(t)]
b
相关函数
RX(s,t)
E[X(s)X(t)]
E[(Vs
b)(Vt
b)]
E[stV2
bsV
btV
b2]
stb2
2.2设随机变量Y具有概率密度
f(y),令X(t)
eYt,t
0,Y0,求随机过程
X(t)的
一维概率密度及EX(t),RX(t1,t2)。
解对于任意t
0,X(t)
eYt是随机变量Y的函数是随机变量,根据随机变量函数的分
布的求法,F(x;t)
P{X(t)
x}P{eYt
x}
P{
Yt
lnx}
P{Y
lnx}1P{Y
lnx}1FY(lnx)
t
t
t
对x求导得X(t)的一维概率密度
f(x;t)
lnx
1
0
fY(
)
,t
t
xt
均值函数
mX(t)
E[X(t)]
E[eYt]
eyt
f(y)dy
0
相关函数
RX(t1,t2)
E[X(t1)X(t2)]
E[eYt1eYt2]
E[eY(t1
t2)]
ey(t1t2)f(y)dy
0
2.3若从t0开始每隔1秒抛掷一枚均匀的硬币做实验,定义随机过程
2
X(t)
cos(
t),
t时刻抛得正面
2t,
t时刻抛得反面
试求:
(1)X(t)的一维分布函数
1
F(
x
)和
F
(1,
);
2
x
(2)X(t)的二维分布函数
F(
1,1;x1,x2);
2
(3)X(t)的均值mX(t),mX
(1),方差
X2(t),
X2
(1)。
解
(1)t
1
时,X
(1)的分布列为
2
2
1
0
1
X()
2
1
1
P
2
2
0,
x
0
一维分布函数
F(
1
1
0
x
1
x)
2
2
1,
x
1
t1时,X
(1)的分布列为
X
(1)
-1
2
P
1
1
2
2
0,
x
1
一维分布函数
F(1,x)
1
1
x
2
2
1,
x
2
(2)由于X
(1)与X
(1)相互独立,所以
(X
(1),X
(1))的分布列为
2
2
X
(1)
-1
2
X(1/2)
0
1
1
4
4
1
1
1
4
4
二维分布函数
(3)mX(t)
mX
(1)
2X(t)
0,
x1
0或x2
1
1
1,
0
x1
1,
1
x22
1;x1,x2)
4
F(
1,
2
0x1
1,x2
2或x11,1x22
2
1,
x1
1,x2
2
1cos(
t)
12t
1cos(
t)
t
2
2
2
1
2
1cos2(
1(2t)2
[1cos(t)t]2
E[X2(t)]
[EX(t)]2
t)
1
1
2
2
2
cos2(
t)
2t2
cos2(
t)
t2
tcos(
t)
2
4
1cos2(
t)
t2
tcos(t)
4
[1cos(
t)t]2
2
X2
(1)
9
4
2.4设有随机过程X(t)
Acos(t)Bsin(t),其中
为常数,A,B是相互独立且服从
正态分布N(0,2)的随机变量,求随机过程的均值和相关函数。
解因A,B独立,A~N(0,
2),B~N(0,
2)
所以,E[A]
E[B]
0,D[A]
D[B]
2
均值
mX(t)
E[X(t)]
E[Acos(
t)
Bsin(t)]
cos(
t)E[A]
sin(
t)E[B]
0
相关函数
RX(t1,t2)
E[X(t1)X(t2)]
E(Acos(
t1)
Bsin(
t1))(Acos(
t2)Bsin(t2))
EA2cos
t1cos
t2
B2sin
t1sin
t2
ABcos
t1sint2
ABcost2sint1
cos
t1cos
t2E[A2]
sin
t1sin
t2E[B2]
2(cos
t1cost2
sin
t1sin
t2)
2cos(t1t2)
2.5
已知随机过程X(t)的均值函数mX(t)和协方差函数BX(t1,t2),
(t)为普通函数,令
Y(t)
X(t)
(t),求随机过程Y(t)均值和协方差函数。
解
均值mY(t)
E[Y(t)]
E[X(t)
(t)]
E[X(t)]
(t)
mX(t)
(t)
协方差CY(t1,t2)
RY(t1,t2)
mY(t1)mY(t2)
E[Y(t1)Y(t2)]
mY(t1)mY(t2)
E(X(t1)
(t1)(X(t2)
(t2)
[mX(t1)
(t1)][mX(t2)
(t2)]
E[X(t1)X(t2)]
mX(t1)mX(t2)
其它项都约掉了
RX(t1,t2)mX(t1)mX(t2)
CX(t1,t2)
2.6
设随机过程X(t)
Asin(
t
),其中A,
是常数,
在(
)上服从均匀分布,
令
Y(t)
X2(t),求RY(t,t
)和RXY(t,t
)。
解
RY(t,t
)
E[Y(t)Y(t
)]
E[X2(t)X2(t
)]
EA2sin2(
t
)A2sin2(
t
)
A2
E(1
cos(2
t
2
))(1
cos(2t
2
2
))
4
A2
E1
cos(2
t
2
)cos(2t
2
2
)cos(2
t
2
)
cos(2
t2
2)
4
而E[cos(2t
2
)]
1
cos(2t
2
)d
1sin(2
t
2
)
0
2
4
同理Ecos(2
t
2
2
)
0
利用三角积化和差公式
Ecos(2t
2
)cos(2
t
2
2
)
1Ecos(2
)
cos(4
t
2
4
)
2
1
cos2
2
所以,RY(t,t
)
A2
[1
1cos2
]
4
2
RXY(t,t
)
E[X(t)Y(t
)]
E[X(t)X2(t
)]
E[Asin(
t
)A2sin2(
t
)]
A3
E[sin(
t
)(1
cos(2
t
2
2
))]
2
A3
E[sin(
t
)
sin(
t
)cos(2
t
2
2
)]
2
A3
E[2sin(t
)
sin(
t
2
)
sin(3t
2
3)]
4
而E[2sin(
t
)]
1
sin(
t
)d
0
同理E[sin(
t
2
)]
0,
E[sin(3t
2
3
)]
0
所以,RXY(t,t
)
0
2.7设随机过程X(t)
X
Yt
Zt2,其中X,Y,Z是相互独立的随机变量,且具有均值为
零,方差为
1,求随机过程
X(t)的协方差函数。
解根据题意,EX
EY
EZ
0,DX
EX2
DY
EY2
DZEZ2
1
mX(t)E[X(t)]
E[X
Yt
Zt2]
EX
tEY
t2EZ
0
CX(t1,t2)
E[X(t1)
mX(t1)][X(t2)
mX(t2)]
E[X(t1)X(t2)]
E[(X
Yt1
Zt12)(X
Yt2
Zt22)]
因X,Y,Z相互独立,均值为零,所以上面交叉乘积项数学期望为零
EX2
t1t2EY2
t12t22EZ2
1t1t2t12t22
2.8设X(t)为实随机过程,
x为任意实数,令
1,
X(t)
x
Y(t)
X(t)
x
0,
证明随机过程
Y(t)的均值函数和相关函数分别为
X(t)的一维和二维分布函数。
证明
mY(t)
E[Y(t)]
1
P{X(t)
x}
0
P{X(t)x}
P{X(t)
x}
FX(x;t)
(Y(t1),Y(t2))的取值为(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)
RY(t1,t2)
E[Y(t1)Y(t2)]11P{X(t1)
x1,X(t2)
x2}
10P{X(t1)
x1,X(t2)
x2}
01P{X(t1)
x1,X(t2)
x2}
00P{X(t1)
x1,X(t2)
x2}
P{X(t1)
x1,X(t2)
x2}
FX(x1,x2;t1,t2)
2.9设f(t)是一个周期为
T
的周期函数,随机变量
Y在(0,T)上均匀分布,令
X(t)
f(t
Y),求证随机过程
X(t)满足
E[X(t)X(t
)]
1
T
f(t)f(t
)dt
T
0
fY(y)
1,
y(0,T)
证明Y的密度函数为
T
0,
其它
E[X(t)X(t
)]
E[f(t
Y)f(t
Y)]
f(t
y)f(t
y)fY(y)dy
1
T
f(ty)f(t
y)dy
T
0
t
yu
1
t
T
f(u)f(u)du
T
t
1
t
f(u)f(u
)du
T
t
T
1
T
f(u)f(u
)du
T
0
2.13
设{X(t),t
0}是正交增量过程,
X(0)
0,
V是标准正态随机变量,若对任意的
t0,X(t)与V相互独立,令Y(t)X(t)V,求随机过程{Y(t),t0}的协方差函数。
解因X(t)是正交增量过程,
V~N(0,1),所以E[X(t)]0,E[V]0,D[V]
1,
有mY
E[Y(t)]
E[X(t)
V]
E[X(t)]E[V]0
CY(t1,t2)
E[Y(t1)mY(t1)][Y(t2)mY(t2)]
E[Y(t1)Y(t2)]
E[(X(t1)
V)(X(t2)
V)]
E[X(t1)X(t2)]
E[V2]
E[X(t1)V]
E[X(t2)V]
(因X(t)与V独立,E[X(t)]
0,E[V]
0)
E[X(t1)X(t2)]
E[V2]
X2[min(t1,t2)]1(利用正交增量过程的结论)
习题4
4.1设质点在区间[0,4]的整数点做随机游动,到达0点或4点后以概率1停留在原处,在其它整数点分别以概率1向左、向右移动一格或停留在原处,求质点随机游动的一步和二步
3
转移概率矩阵。
解转移概率如图
一步概率转移矩阵为
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
3
3
3
1
P0
1
1
0
3
3
3
1
0
0
1
1
3
3
3
0
0
0
0
1
二步转移概率矩阵为
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
4
2
2
1
0
3
3
3
3
3
3
9
9
9
9
P
(2)
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
2
3
2
1
3
3
3
1
3
3
3
1
9
9
9
9
9
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
2
2
4
3
3
3
3
3
3
9
9
9
9
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
4.2独立地重复抛掷一枚硬币,每次抛掷出现正面的概率为p,对于n
2,令
Xn
0,1,2或3,这些值分别对应于第
n-1次和第n次抛掷的结果为(正,正)
,(正,反),
(反,正),(反,反),求马尔可夫链
{Xn,n0,1,2,
}的一步和二步转移概率矩阵。
解对应状态为0
(正,正),1
(正,反),2
(反,正),3
(反,反)
正,正)(正,正)
,
p
P{(正,反)(正,正)}
q
p00
P{(
}
p
01
p02
P{(反,正)(正,正)}
0(不可能事件)
p03
P{(反,反)(正,正)}
0(不可能事件)
同理可得下面概率
p10
P{(正,正)(正,反)}
0,p11
P{(正,反)(正,反)}
0
反,正)(正,反)
,
p
P{(反,反)(正,反)}
q
p12
P{(
}
p
13
p20
P{(
正,正)(反,正)
p
,p
21
P{(正,反)(反,正)}
q
}
p22
P{(反,正)(反,正)}
0,p23
P{(反,反)(反,正)}
0
p30
P{(正,正)(反,反)}
0,p31
P{(正,反)(反,反)}
0
反,正)(反,反)
,
p
P{(反,反)(反,反)}
q
p32
P{(
}
p
33
一步转移概率矩阵为
pq00
00pq
P
pq00
00pq
二步
- 配套讲稿:
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