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传输矩阵法
传输矩阵法
一、传输矩阵法概述
1.传输矩阵
在介绍传输矩阵的模型之前,首先引入一个简单的电路模型。
如图1(a)所示,
在(a)中若已知A点电压及电路电流,则我们只需要知道电阻R,便可求出B点电压。
传输矩阵具有与电阻相同的模型特性。
(a)
(b)
图1传输矩阵模型及电路模拟模型
如图1(b)所示,有这样的关系式存在:
E0=M(z)E1。
M(z)即为传输矩阵,它将介质前后空间的电磁场联系起来,这与电阻将A、B两点的电势联系起来的实质是相似的。
图2多层周期性交替排列介质
传输矩阵法多应用于多层周期性交替排列介质(如图2所示),M(z)反映的介质前后空间电磁场之间的关系,而其实质是每层薄膜特征矩阵的乘积,若用表示第j层的特征矩阵,则有:
(1)
其中,
(2)
为相位厚度,有(3)
如公式
(2)所示,的表示为一个2×2的矩阵形式,其中每个矩阵元都没有任何实际物理意义,它只是一个计算结果,其推导过程将在第二部分给出。
2.传输矩阵法
在了解了传输矩阵的基础上,下面将介绍传输矩阵法的定义:
传输矩阵法是将磁场在实空间的格点位置展开,将麦克斯韦方程组化成传输矩阵形式,变成本征值求解问题。
从其定义可以看出,传输矩阵法的实质就是将麦克斯韦方程转化为传输矩阵,也就是传输矩阵法的建模过程,具体如下:
利用麦克斯韦方程组求解两个紧邻层面上的电场与磁场,从而可以得到传输矩阵,然后将单层结论推广到整个介质空间,由此即可计算出整个多层介质的透射系数与反射系数。
传输矩阵法的特点:
矩阵元少(4个),运算量小,速度快;关键:
求解矩阵元;适用介质:
多层周期性交替排列介质。
二、传输矩阵的基础理论——薄膜光学理论
1.麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组由四个场量:
D、E、B、H,两个源量:
J、以及反映它们之间关系的方程组成。
而且由媒质方程中的参数、、反映介质对电磁场的影响。
方程组的实质是描述电磁场的传播,即:
一个变化的磁场引起邻近区域的电场变化,而此电场的变化又引起邻近磁场的变化,如此进行下去,便可抽象出电磁场的传播。
如图3所示。
图3电磁场传播的模拟图
将媒质方程带入麦克斯韦方程组,并对方程组求解可得以下两个重要结论:
1)(4)
式(4)中,N即为介质的光学导纳,单位为西门子特别说明:
光波段时,约等于1,N数值上等于折射率。
自由空间导纳。
2)(5)
(6)
式(5)为电场的波动方程,与经典波导方程(6)相比可得,通常把光速c与电磁波在介质中速度之比定义为折射率,即得折射率公式:
(7)
2.边界条件及反射折射
电磁波在介质交界处满足切向分量连续的边界条件。
垂直入射时,电场与磁场均与入射面垂直,则它们的切向分量既是本身。
根据边界条件可得:
(8)
式(8)中,上标为+的代表入射波,-表示反射波。
又由导纳定义式(4)可得:
(9)
(10)
将式(9)、(10)代入(8)中,整理可得反射系数定义式:
(11)
r为反射系数,R为反射率。
透射系数原理相同,在此不再推导。
上面讨论的是垂直入射的情况,斜入射时情况类似,只是用修正导纳、代替(11)中的、。
其实,无论电磁波入射情况如何,电磁波只有两种情况:
一种是电场E平行入射面即TM波(P分量),此时电场的切向分量(为入射角),而磁场的切向分量是其本身,因此由(4)式可得:
(12)
将(12)式与(4)式对比可得到P分量的修正导纳,同理可得TE波(S分量)的修正导纳:
(13)
可得一般情况下的反射、透射系数表达式:
(14)
介质的传光特性可以由反射、透射系数所表征,而由以上讨论可知,这两个参数与导纳紧紧联系。
因此,求解介质的传光特性就可以转换为求解导纳问题,
这也是传输矩阵法所解决的核心问题之一。
其实,传输矩阵法就是通过求得介质的导纳,从而得到介质的反射透射系数。
3.传输矩阵
这一部分将应用薄膜光学理论详细推导介质的传输矩阵,以及如何求得介质导纳,根据第一部分传输矩阵的介绍可以知道,它其实是每层特征矩阵的乘积,所以,这一部分的推导就从单层薄膜的特殊矩阵入手,进而推广到整个介质空间推导出介质的传输矩阵。
下面就详细介绍单层薄膜的特殊矩阵。
电磁波通过厚度为d的单层薄膜过程如图4所示。
图4电磁波通过单层薄膜
图5单层薄膜等效为介质面的示意图
薄膜是存在一定厚度的,电磁波从透过薄膜变为的过程,与简单的穿过介质面相比多了个的中间变换,如果可以将与通过导纳直接联系起来,那么薄膜就可以等效为一个介质面(如图5所示),前面所介绍的反射透射公式便可用。
因此,我们第一步完成从薄膜到介质面的等效推导。
令薄膜导纳(介质面1与介质面2的组合导纳)为Y,则可得到薄膜的透射反射系数:
(15)
由式(15)可知,求得Y便可求得r、t。
由导纳定义并对薄膜的第一介质面应用边界连续条件可得:
(16)
(17)
图4中的、表示刚刚穿过介质面一的瞬时状态。
、表示即将穿过介质面二的瞬时状态。
这两个瞬时状态的唯一不同只是因为薄膜厚度引入的相位因子,即有:
(18)
将式(18)代入式(17)中可得式(19),并将其转为矩阵形式(20):
(19)
(20)
同理,薄膜的第二介质面有如下关系式:
(21)
(22)
(23)
式(20)、(23)分别表示介质面一、二两侧空间电磁场之间的联系,若将式(23)代入式(20)中相乘,则所得到的结果就表示整个薄膜两侧空间电磁场之间的联系,即:
(24)
从式(24)中得到了第一层的特征矩阵:
(25)
(26)
考虑到导纳定义有如式(26)的关系,则可对式(24)进一步化简:
(27)
令为为膜系的特征方程,则有关系式:
(28)
对比式(24)等号左边的形式,由导纳定义可得整个单层薄膜的组合导纳:
(29)
从而由式(15)可求得单层薄膜的反射、透射系数。
至此完成了第一步,即从薄膜到介质面的等效推导。
将将单层得到的结论推广到整个介质空间可得:
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
式(30)为介质第j层的特征矩阵,需要注意的是特征矩阵的行列式值为1。
由式(32)即可得到整个介质的传输矩阵。
至此,完成了多层介质传输矩阵的建模过程。
值得一提的是,在讨论单层薄膜时,得到单层薄膜的反射率后,若对薄膜的光学厚度H(H=nd,n为薄膜折射率,d为薄膜实际厚度)求导,可得如图6的结果。
从结果中我们可以看出,在厚度为时,反射率根据折射率的不同可达到最大或最小值。
图6反射率与光学厚度的关系
三、传输矩阵法的应用举例
传输矩阵法的典型应用是对多层周期性交替排列介质的分析,具有这样结构的器件实例有:
光子晶体、光栅、量子阱结构、DBR结构器件等。
具体应用过程请参见文献《传输矩阵法分析一维光子晶体的传光特性》。
四、小结
(1)传输矩阵法概念:
将麦克斯韦方程组转换为传输矩阵的形式,应用传输矩阵分析的计算方法。
(2)传输矩阵:
形式为每层特征矩阵的乘积。
(3)典型应用:
多层周期性交替排列介质。
(4)解决问题:
传光特性(R、T)、场强度(E、H)。
注意:
(3)、(4)共同决定传输矩阵法对所研究问题的适用性。
(5)重要结论:
导纳N、折射率定义,光波段下,导纳无意义,它就是折射率。
(6)传输矩阵的推导(薄膜光学理论)是繁琐的,但实际应用中可忽略推导,直接应用结论式(30)—(35)。
(7)用传输矩阵法求解问题过程:
1)应用已有结论式(30)—(35)建立介质模型并求解:
2)建立实际问题的模型。
3)模型整合。
(8)额外的结论:
薄膜厚度选为的原因。
参考文献
[1]唐晋发,郑权.应用薄膜光学.上海科学技术出版社.1984:
1-51.
[2]贾习坤.基于传偷矩阵法对垂直腔半导体光放大器小信号增益特性的研究.西南交通大学.2002:
6-13
[3]匡萃方,张志峰.传输矩阵法分析一维光子晶体的传光特性.激光杂志.2003,(24)4:
38-39.
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