安徽省滁州市定远县民族中学学年高一数学下学期期中试题06140115.docx
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安徽省滁州市定远县民族中学学年高一数学下学期期中试题06140115
定远民族中学2017-2018学年度下学期期中考试卷
高一数学
(本卷满分150分,考试时间120分钟)
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题60分)
一、选择题(本题有12小题,每小题5分,共60分。
)
1.已知
均为实数,则“
”是“
构成等比数列”的()
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.在
中
,则
等于()
A.
B.
C.
D.
3.已知等比数列的前
项和公式
,则其首项
和公比
分别为()
A.
B.
C.
D.
4.已知等差数列
的前
项和为
,若
,则
()
A.18B.36C.54D.72
5.等比数列
,若
,则
()
A.
B.
C.
D.
6.已知
,则
的最大值是()
A.B.C.D.
7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:
“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:
有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了()
A.192里B.96里C.48里D.24里
8.设
是
内一点,且
的面积为2,定义
,其中
分别是
,
,
的面积,若
内一动点
满足
,则
的最小值是()
A.1B.4C.9D.12
9.在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC的形状是()
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.不能确定
10.若
,
满足条件
,则
的最大值为()
A.5B.1C.
D.-1
11.在△ABC中,若a2-b2=
bc且
,则A=()
A.
B.
C.
D.
12.在
中,
分别是角
的对边,且
,若
,
,则
的面积为()
A.
B.
C.
D.
第II卷(非选择题90分)
二、填空题(本题有4小题,每小题5分,共20分。
)
13.设函数
,则满足
的
的取值范围是 .
14.在△ABC中,若
。
15.在
中,
,
,面积是
,则
等于 .
16.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,若a1,a2,a4成等比数列,则
的值为 .
三、解答题(本题有6小题,共70分。
)
17.(10分)在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且
(1)求角C的大小;
(2)若
,且三角形ABC的面积为
,求
的值.
18.(12分)设数列
的前
项和为
,且
,数列
为等差数列,且
.
(1)求
;
(2)求数列
的前
项和
.
19.(12分)如图,某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树,已知角A为120°,AB,AC的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.
(1)若围墙AP,AQ总长度为200米,如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?
(2)已知AP段围墙高1米,AQ段围墙高1.5米,AP段围墙造价为每平方米150元,AQ段围墙造价为每平方米100元.若围围墙用了30000元,问如何围可使竹篱笆用料最省?
20.(12分)如图,在
中,
,角
的平分线
交
于点
,设
其中
是直线
的倾斜角。
(1)求
;
(2)若
,求
的长
21.(12分)已知不等式组
求此不等式组表示的平面区域的面积;
求
的最大值;
求
的取值范围.
22.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=(n+2)an﹣1(n∈N*).
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设Tn=
,求证:
Tn<
.
参考答案
1.A
【解析】若
构成等比数列,则
,即是必要条件;但
时,不一定有
成等比数列,如
,即是不充分条件。
应选答案A。
等比数列的概念。
2.A
【解析】∵在△ABC中,A=45∘,B=60∘,a=2,
∴由正弦定理
得:
.
本题选择A选项.
3.B
【解析】由题设令
,令
,求出
,则公比
,应选答案B。
4.D
【解析】
,
.
5.A
【解析】由题意得等比数列
,
,所以
,选A.
6.B
【解析】由均值不等式的结论可得:
,
即
,
当且仅当
时等号成立.
本题选择B选项.
7.B
【解析】记每天走的路程里数为
,易知
是公比为
的等比数列,由题意知
,故答案为:
B.
由题意可得{an}是公等比数列,由等比数列求和公式
代入数值求出结果即可。
8.C
【解析】由已知得
,故选C.
9.C
【解析】:
由余弦定理:
a2+b2﹣2abcosC=c2,因为a2+b2<c2,所以2abcosC<0,所以C为钝角,钝角三角形.
故答案为:
C.
10.A
【解析】不等式对应的可行域为直线
围成的三角形及其内部,三角形三个顶点为
,
变形为
,当直线
过点
时
取得最大值为5,故答案为:
A.
11.D
【解析】∵在△ABC中,sin(A+B)sinB=sinCsinB=
由正弦定理可得:
=
=
即:
c=
b,
∵a2−b2=
bc,
∴a2−b2=
b×2
b,解得:
a2=7b2,∴由余弦定理可得:
cosA=
=
∵A∈(0,π),∴A=
.故答案为:
D.
12.C
【解析】由正弦定理
得:
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
将上式代入已知
得
,
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0,即2sinAcosB+sin(B+C)=0,
∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,
∴2sinAcosB+sinA=0,即sinA(2cosB+1)=0,
∵sinA≠0,∴cosB=−
,
∵B为三角形的内角,∴B=
;
将
,
,B=
代入余弦定理b2=a2+c2−2accosB得:
b2=(a+c)2−2ac−2accosB,即13=16−2ac(1−
),
∴ac=3,∴S△ABC=
acsinB=
.
故答案为:
C
13.
【解析】当
时,
的可变形为
当
时,
可变形为
,
故答案为
14.
【解析】.由
得:
,由余弦定理得:
,
则
,
故答案为:
.
15.
【解析】
所以
因此
16.
【解析】设等差数列{an}的公差d≠0,∵a1,a2,a4成等比数列,∴
,可得
=a1(a1+3d),d≠0.
化为:
d=a1≠0,
∴
=
=
.
故答案为:
.
17.
(1)
;
(2)5.
【解析】
(1)由
a=2csinA及正弦定理得,
sinA=2sinCsinA.
∵sinA≠0,∴sinC=
.∵△ABC是锐角三角形,∴C=
.
(2)∵C=
,△ABC面积为
,∴
absin
=
,即ab=6.①
∵c=
,∴由余弦定理得a2+b2-2abcos
=7,即a2+b2-ab=7.②
由②变形得(a+b)2=3ab+7.③③得(a+b)2=25,故a+b=5.
18.
(1)
;
(2)
.
【解析】
(1)因为
所以当n=1时,得
=
当
时,因为
,代入
得
所以
又
-1=-
,
即
为以-为首项,为公比的等比数列
所以
所以
(2)因为
所以
,
因为数列
为等差数列,且
所以
,即公差为1
所以
19.
(1)解:
∵AP+AQ=200,
∴S=
≤
=2500
.
当且仅当x=y=100时取“=”.
∴当x=y=100时,可使得三角形地块APQ的面积最大.
(2)解:
设AP=x,AQ=y,则1•x•150+1.5•y•100=30000,
化为:
x+y=200≥2
,可得xy≤10000.
∴PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy=(x+y)2﹣xy=40000﹣xy≥30000.
当且仅当x=y=100时取“=”.
即PQ≥100
.
∴当且仅当x=y=100时,可使PQ取得最小值,即使用竹篱笆用料最省.
20.
(1)
;
(2)5.
【解析】
(1)∵
是直线
的倾斜角,
,又
,故
,
,则
,
∴
,
.
(2)由正弦定理,得
,即
,∴
,又
,∴
,由上两式解得
,
又由
,得
,∴
.
21.
(1)36;
(2)15;(3)
.
【解析】
作出平面区域如图.
交点
,
(1)
.
(2)由
得
由图可知当直线
过点
时,截距最小,即
最大,此时
.
(3)
可以看作
和
两点间的斜率,故其范围是
.
22.
(1)解:
数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=(n+2)an﹣1(n∈N*).
令n=1时,2S1=3a1﹣1,解得:
a1=1
(2)解:
由于:
2Sn=(n+2)an﹣1①
所以:
2Sn+1=(n+3)an+1﹣1②
②﹣①得:
2an+1=(n+3)an+1﹣(n+2)an,
整理得:
,则
,即
.
∵
,
∴
,…,
,
利用叠乘法把上面的(n﹣1)个式子相乘得:
=
,
∴
,当n=1时,a1=1符合上式,
∴数列的通项公式是
(3)证明:
∵
,∴
,
∴
=2(
),
∴Tn=
=2(
…+
)
=2(
)<2(
)=
.
故Tn<
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