26应用一元二次方程教学设计.docx

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26应用一元二次方程教学设计

2、6应用一元二次方程

（一）

马关县小坝子中学杨静

一、学情分析

学生已经掌握了一元二次方程的相关概念及其各种解法，对于解一元二次方程的过程和解题技巧有了基本的思维方式。

而实际问题的应用，虽然在七、八年级对学生已经进行了有关的训练，但还有很大的难度。

本节内容主要针对九年级上学期的学生，通过引导分析让学生能够与同伴合作交流完成。

二、教学目标

本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。

但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。

因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力:

（一）能力目标：

1、培养学生在具体情境中的应用意识和能力，实现学以致用的学习目的。

2、通过对情景题意的分析，能结合所学知识列方程解决问题。

（二）过程目标：

1、引导学生分析题意中各已知量的位置关系，建立图形模式。

2、根据所建图形的特殊性，依据图形特有的性质定理，列一元二次方程解决问题。

3、根据情景问题的实际意义，检验一元二次方程跟的合理性，培养学生学习知识的灵活性和分辨能力。

（三）情感目标：

体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；

三、教学重难点

重点：

培养学生在具体情境中的应用意识和能力，能通过对情景题意的分析，结合所学知识列方程解决问题。

难点：

分析题意中各已知量的关系，建立图形模式，根据图形特有的性质定理，列一元二次方程解决问题。

四、教学过程

本课时共分为七个教学环节：

第一环节：

复习导入；

第二环节：

应用体验；

第三环节：

变式学习；

第四环节：

探究解析；

第五环节：

巩固训练；

第六环节：

归纳收获。

第七环节：

作业布置。

第一环节复习导入；

1、解下列方程

活动：

随意叫三个同学到黑板上演示解题过程，判断学生是否能根据不同类型的题，选择不同的解题方法。

目的:

让学生复习一元二次方程的不同解法，考察学生对所学知识的掌握程度,做题思维的灵活性。

2、回忆：

在直角三角形中我们学过哪些性质定理？

（1）勾股定理；

（2）两个锐角之和等于

（3）斜边上的中线等于斜边的一半；

（4）所对的直角边等于斜边的一半；

……

活动：

（学生大合唱）复习所学过的直角三角形的相关性质定理，目的是复习旧知识的同时引出新知的学习，强调学习这些性质定理重要性。

目的:

复习直角三角形的相关性质定理,为后面运用勾股定理解决问题做准备.

思考：

通过前面的学习大家掌握了不少东西,那么我们掌握这些知识有何作用呢？

它能为我们的生活解决什么问题呢？

今天我们就来看看掌握直角三角形中的“勾股定理”有何作用？

我们学会解一元二次方程又有何作用？

现在大家来看下面的问题:

第二环节：

应用体验；

活动内容：

（提问）还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？

现在我们就来分析这个问：

（一）引导学生看题目：

梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？

（二）引导分析，解答:

（1）在图中各相关点标上字母（如图）则AB=8m,AC=10m,AB⊥BE，AC=DE=10m

（2）在RtABC中，根据勾股定理：

解得BA=6（m）

（3）由题意,当A点下滑至D点时，C点滑至E点，设A点下滑xm至D点

则AD=xm,CE=xm,DB=（8-X）m,BE=（6+X）m.

（4）在Rt△DBE中,据勾股定理：

整理得

解得

所以梯子顶端下滑0米或2米时，梯子底端滑动的距离和它相等

活动目的：

以学生所熟悉的梯子下滑问题为素材，以前面所学的勾股定理中边长的关系为切入点，用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望，用学生已有的知识为支点，让学生体会数形结合的思想。

第三环节：

变式学习

活动内容：

（一）自读题目，理解题意：

如果梯子长度是13米，梯子顶端与地面的垂直距离为12m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？

如果相等，那么这个距离是多少？

（二）引导分析：

（1）作图理解，由题意：

AB=12m,AC=13m,AB⊥BE,AC=DE=13m.

（2）根据勾股定理:

解得BC=5

（3）由题意：

设AD的长为xm,AD=CE=xm

DB=（12-x）m,BE=（5+x）m

（4）在Rt△DBE中,根据勾股定理：

整理得

解得

所以梯子顶端下滑0米或7米时，梯子底端滑动的距离和它相等.

活动目的：

让学生应用所学知识分析解决现实生活中存在的客观问题，体验学以致用的真正意义。

第四环节：

探究解析

活动内容：

（一）结合图形分析题意:

如图：

某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。

小岛F位于BC中点。

一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。

已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？

（结果精确到0.1海里）

（二）引导分析：

（1）B位于A的正南方向200nmile处

C位于B的东南方向200nmile处

∴AB⊥BC,AB=BC=200nmile.

（2）D位于AC的中点

F位于BC的中点连接DF，则DF是△ABC的中位线

∴DF//AB,DF=

=100nmile,BF=

=100nmile

（3）∵AB⊥BC,DF‖AB

∴DF⊥BC,那么△DEF为直角三角形

根据勾股定理：

（4）军舰从A地出发的同时补给船从D地出发，且军舰的速度是补给船速度的2倍，

∴军舰所走的路程是补给船所走路程的2倍，即AB+BE=2DE

（5）由题意，

设相遇时补给船走了xnmile,即DE=xnmile,则AB+BE=2x,

∵AB+BF-（AB+BE）=EF,

200+100-2x=EF，

∴300-2x=EF

（6）根据勾股定理列方程：

整理得

解方程得

（不合题意，舍去）

所以相遇时补给船大约行了118.4nmile.

（三）整理解题步骤

（1）审题，分析每一句话的含义，并结合图形用数学符号表示出来；

（2）追寻已知量之间的关系，并用代数式表示出来；

（3）根据问题设未知数，列方程；

（4）解方程，检验跟的合理性：

（5）总结回答所问的问题。

活动目的：

本环节是难点，在教学中要给学生充足的时间去分析题意，分析各量之间的关系，不能粗线条解决。

在讲解过程中逐步分解难点：

引导学生逐句分析，逐一解决。

第五环节：

巩固练习

1、《九章算术》“勾股”章有一题：

“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何。

”大意是说：

已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3。

乙一直向东走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。

那么相遇时，甲、乙各走了多远？

解析：

（1）分析题意作图理解：

甲先向南10步∴AB=10,后又斜向北偏东走与乙相遇，∴甲所走的路程为10+BC，乙所走的路程为AC,

（2）设甲乙相遇时走了x分钟，则甲走了7x步，BC=7x-10步；乙走了3x步。

（3）据勾股定理：

解方程得

（不合题意，舍去）

甲:

7x=7x3.5=24.5（步）

乙：

3x=3x3.5=10.5（步）

所以甲:

走了24.5步，乙:

走了10.5步

1、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°,AC=30cm，BC=25cm,动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2m/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1m/s，几秒后P、Q相距25cm?

解析：

由题意，设xs后P、Q相距25cm，PQ=25m，动点P从点C出发，速度是2m/s，∴PC=2xm;

动点Q从点B出发,速度是1m/s，∴BQ=Xm

则QC=（25-x）m

在Rt△ACB为直角三角形中，

解方程得

（不合题意，舍去）

所以10s后P、Q两点相距25cm.

活动目的：

通过两个问题的解决，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度,根据情况查缺补漏。

第六环节：

归纳收获。

1、分析题意，弄懂每一句话的含义，用数学语言表示出来。

2、结合题目分析图中各个点、各条线段所代表的对象。

3、分析题目中所给数据之间的关系，从而推导出所隐含的性质定

4、根据勾股定理列一元二次方程解决问题。

5、检验所解一元二次方程根的合理性。

第七环节：

作业布置

1、如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，问道路应为多宽？

2、如图：

在Rt△ACB中∠C=90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？