广东省惠州市届高三第一次调研考试数学理.docx
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广东省惠州市届高三第一次调研考试数学理
广东省惠州市2019届高三第一次调研考试
数学(理)试题
(本试卷共4页,21小题,满分150分。
考试用时120分钟)
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效.
参考公式:
如果在事件发生的条件下,事件发生的条件概率记为,
那么.
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.已知集合,集合,则( )
A.B.C.D.
2.若是真命题,是假命题,则( )
A.是真命题B.是假命题C.是真命题D.是真命题
3.的展开式中的系数是()
A.6B.12C.24D.48
4.在中,分别为角所对边,若,则此三角形一定是()
A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形
5.已知实数构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为()
6.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是( ).
A.B.
C. D.
7.已知、的取值如下表所示:
若与线性相关,
且,则( )
0
1
3
4
2.2
4.3
4.8
6.7
A.B.C.D.
8.对实数和,定义运算“”:
.设函数,.若函数的图象与轴恰有两个公共点,则实数的取值范围是().
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分.每小题5分,满分30分)
(一)必做题:
第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答.
9.复数Z=(i是虚数单位)则复数Z的虚部等于.
10.若向量,,则与夹角余弦值等于_____________.
11.已知函数则=.
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱锥
4
4
6
三棱柱
5
6
…
正方体
…
…
…
…
…
…
…
12.计算:
.
13.18世纪的时候,欧拉通过研究,发现凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足一个等式关系.请你研究你熟悉的一些几何体(如三棱锥、三棱柱、正方体……),归纳出F、V、E之间的关系等式:
.
(二)选做题:
第14、15题为选做题,考生只能选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分。
14.(坐标系与参数方程选做题)设点的极坐标为,直线过点且与极轴垂直,则直线的极坐标方程为.
15.(几何证明选讲选做题)如图,从圆外一点引圆的切线和割线,已知,,圆的半径为,则圆心到的距离为 .
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、
证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数为偶函数,其图象上相邻的两个最高点之间的距离为.
(1)求的解析式 ;
(2)若 ,求的值.
17.(本小题满分12分)
某班从6名干部中(其中男生4人,女生2人)选3人参加学校的义务劳动.
(1)设所选3人中女生人数为,求的分布列及;
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率;
(3)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.
18.(本小题满分14分)
如图,已知平面,,△是
正三角形,,且是的中点.
(1)求证:
平面;
(2)求证:
平面平面;
(3)求平面与平面所成锐二面角的大小。
19.(本小题满分14分)
等差数列中,,前项和为,等比数列各项均为正数,,且,.
(1)求与;
(2)设,求证:
.
20.(本小题满分14分)
已知椭圆(>>0)的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
(1)求椭圆的方程:
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点。
已知点的坐标为(-,0),点(0,)在线段的垂直平分线上,且=4。
求的值。
21.(本小题满分14分)
已知三次函数.
(1)若函数过点且在点处的切线方程为,求函数的解析式;
(2)当时,若,试求的取值范围;
(3)对,都有,试求实数的最大值,并求取得最大值时的表达式.
参考答案
一.选择题:
共8小题,每小题5分,满分40分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
C
C
C
B
D
B
1.【解析】由交集的定义选A.
2.【解析】或()一真必真,且()一假必假,非()真假相反,故选D
3.【解析】,令
的系数为.故选.
4.【解析】在中,若,则即
.故选.
5.【解析】因成等比,则当时圆锥曲线为椭圆其离心率为;当时圆锥曲线为双曲线其离心率为故选
6.【解析】第一步:
,第二步:
,输出.故选B
7.【解析】,线性回归直线过样本中心点
.故选D.
8.【解析】由题设
画出函数的图象,函数图象的四个端点(如图)为,,,,.从图象中可以看出,直线穿过点,点之间时,直线与图象有且只有两个公共点,同时,直线穿过点,点时,直线与图象有且只有两个公共点,所以实数的取值范围是.故选B
二.填空题:
共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.
9.110.11.12.13.
14.15.
9.【解析】.虚部为1.
10.【解析】
11.【解析】因函数所有
12.【解析】由该定积分的几何意义可知为半圆:
的面积。
.
13.【解析】
三、解答题:
16.(本小题满分12分)
解:
(1)图象上相邻的两个最高点之间的距离为,
则..………2分
是偶函数,,又,.
则 .………5分
(2)由已知得,.
则.………8分
…12分
17.(本小题满分12分)
解:
(1)的所有可能取值为0,1,2,依题意得:
--------3分
的分布列为
0
1
2
----------------5分
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件,则
所求概率为-------------8分
(3)记“男生甲被选中”为事件,“女生乙被选中”为事件,
------------10分
(或直接得 ------------12分
18.(本小题满分14分)
解:
(1)解:
取CE中点P,连结FP、BP,
∵F为CD的中点,∴FP//DE,且FP=
又AB//DE,且AB=∴AB//FP,且AB=FP,
∴ABPF为平行四边形,∴AF//BP。
-------------------2分
又∵AF平面BCE,BP平面BCE,
∴AF//平面BCE。
-------------------4分
(2)∵△ACD为正三角形,∴AF⊥CD。
∵AB⊥平面ACD,DE//AB,
∴DE⊥平面ACD,又AF平面ACD,
∴DE⊥AF。
又AF⊥CD,CD∩DE=D,
∴AF⊥平面CDE。
--------------------------------6分
又BP//AF,∴BP⊥平面CDE。
又∵BP平面BCE,
∴平面BCE⊥平面CDE。
------------------------8分
(3)法一、由
(2),以F为坐标原点,
FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴(如图),
建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2,
则C(0,—1,0),----------------------------9分
------11分
显然,为平面ACD的法向量。
设面BCE与面ACD所成锐二面角为
则.
即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°.-----14分
法二、延长EB、DA,设EB、DA交于一点O,连结CO.
则.
由AB是的中位线,则.
在,.
,又.
.----------------------------12分
即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°.-------------------------14分
19.(本小题满分14分)
解:
(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
由题知:
,,
解直得,q=2或q=-8(舍去),d=1;----------------------5分
;------------------------7分
(2)证明:
,.
法一、 下面用数学归纳法证明对一切正整数成立.
(1),命题成立.------------------8分
(2)
则当=
=,这就是说当时命题成立。
--12分
综上所述原命题成立.-----------------------------------14分
法二、
--------------------------14分
法三、设数列,,则---------------9分
--------12分
数列单调递增,于是,而
------------------------------14分
20.(本小题满分14分)
(1)解:
由,得,再由,得----2分
由题意可知,解方程组得---5分
所以椭圆的方程为--------6分
(2)解:
由
(1)可知A(-2,0)。
设B点的坐标为(x1,,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为,--------7分
于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理,
得--------8分
由得--------9分
设线段AB是中点为M,则M的坐标为以下分两种情况:
(1)当k=0时,点B的坐标为(2,0)。
线段AB的垂直平分线为y轴,于是
------11分
②当k时,线段AB的垂直平分线方程为
令x=0,解得由
整理得---13分
综上。
--------14分
21.(本小题满分14分)
解:
(1)∵函数过点,∴,①
又,函数点处的切线方程为,
∴,∴,②
由①和②解得,,,故;-------------4分
(2)法一、
可得:
----------------------6分
----------------7分
。
.--------------------9分
法二、又
(★)
作出(★)不等式表示的平面区域如图:
目标函数:
----------7分
如图示当直线过点时,
取最大值16.
当直线过点时,
取最小值1.
综上所得:
--9分
(3)∵,
则,可得.-------10分
∵当时,,∴,,,
∴,----12分
∴,故的最大值为,
当时,,解得,,
∴取得最大值时.------------------------------14分
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- 广东省 惠州市 届高三 第一次 调研 考试 学理