完整版算法分析与设计习题集整理.docx
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完整版算法分析与设计习题集整理
算法分析与设计习题集整理第一章算法引论一、填空题:
1、算法运行所需要的计算机资源的量,称为算法复杂性,主要包括时间复杂度和空间复杂匪.
2、多项式A(n)=amnm+a,n+ao的上界为O(nm).
3、算法的根本特征:
输入、输出、确定性、有限性、可行性.
4、如何从两个方面评价一个算法的优劣:
时间复杂度、空间复杂度.
5、计算下面算法的时间复杂度记为:
O(n3)q
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
{c[i][j]=0;
for(k=1;k<=n;k++)
c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];
}
6、描述算法常用的方法:
自然语言、伪代码、程序设计语言、流程图、盒图、PAD图.
7、算法设计的根本要求:
正确性和可读性.
8、计算下面算法的时间复杂度记为:
O(n2)q
for(i=1;i {y=y+1; for(j=0;j<=2n;j++)x++; } 9、计算机求解问题的步骤: 问题分析、数学模型建立、算法设计与选择、算法表示、算法—分析、算法实现、程序调试、结果整理文档编制. 10、算法是指解决问题的方法或过程. 11、算法由操作、限制结构、数据结构三要素组成. 二、简做题: 1、根据时间复杂度从低到高排列: 0(4n2)、0(logn)、0(3n)、0(20n)、0 (2)、0(n2/3), 0(n! )应该排在哪一位 答: 0 (2),0(logn),0(n2/3),0(20n),0(4n2),0(3n),0(n! ) 2、什么是算法算法的特征有哪些 答: 1)算法: 指在解决问题时,根据某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程.通俗讲,算法: 就是解决问题的方法或过程. 2)特征: 1)算法有零个或多个输入;2)算法有一个或多个输出;3)确定性;4)有穷性 3、给出算法的定义何谓算法的复杂性 计算下例在最坏情况下的时间复杂性 for(j=1;j<=n;j++) (1) for(i=1;i<=n;i++) (2) {c[i][j]=0;(3) for(k=1;k<=n;k++)(4) c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];}(5) 答: 1)定义: 指在解决问题时,根据某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程. 2)算法的复杂性: 指的是算法在运行过程中所需要的资源(时间、空间)多少.所需资源越多,说明算法的复杂性越高 3)该算法的主要元操作是语句5,其执行次数是n3次.故该算法的时间复杂度记 为O(n3). 4、算法A和算法B解同一问题,设算法A的时间复杂性满足递归方程 'T(n)=1,n=1 T(n)=4T(n/2)+n,n>1 算法B的时间复杂性满足递归方程3T")=1,n=1,假设要使得算法A时间复杂 T(n)=aT(n/4)+n,n>1 性的阶高于算法B时间复杂性的阶,a的最大整数值可取多少 答: 分别记算法A和算法B的时间复杂性为TA(n)和TB(n),解相应的递归方程得: TA(n)=O(n2) O(n),a<4 TB(n)= log4a. 0(n),a>4 依题意,要求最大的整数a使彳11TB(n)〈TA(n).显然,当a<=4时,TB(n)〈TA(n); 当a>4时,TB(n) 所以,所求的a的最大整数值为15. 5、算法分析的目的 答: 1)为了对算法的某些特定输入,估算该算法所需的内存空间和运行时间; 2)是为了建立衡量算法优劣的标准,用以比拟同一类问题的不同算法. 6、算法设计常用的技术(写5种) 答: ①分治法;②回溯法;③贪心法;④动态规划法 ⑤分治限界法;⑥蛮力法;⑦倒推法 三、算法设计题 1、蛮力法: 百鸡百钱问题 2、倒推法: 穿越沙漠问题 第二章分治算法〔1〕----递归循环 一、填空题: 1、直接或间接地调用自身的算法称为递归算法,用函数自身给出定义的函数称为_递 归函数. 2、递归方程和约束函数〔递归终止条件〕是递归函数的两个要素. 二、判断题: 1、所有的递归函数都能找到对应的非递归定义.〔V〕 2、定义递归函数时可以没有初始值.〔X〕 三、简做题: 1、什么是递归算法递归算法的特点 答: 1〕递归算法: 是一个模块〔函数、过程〕除了可调用其它模块〔函数、过程〕外,还可以直接或间接地调用自身的算法. 2〕递归算法特点: ①每个递归函数都必须有非递归定义的初值;否那么,递归函数无法计算;〔递归终止条 件〕 ②递归中用较小自变量函数值来表达较大自变量函数值;〔递归方程式〕 2、比拟循环与递归的异同 答: 1〕相同: 递归与循环都是解决“重复操作〞的机制. 2〕不同: 就效率而言,递归算法的实现往往要比迭代算法消耗更多的时间〔调用和返回均需要额 外的时间〕与存贮空间〔用来保存不同次调用情况下变量的当前值的栈栈空间〕,也限制了 递归的深度. 每个迭代算法原那么上总可以转换成与它等价的递归算法;反之不然. 递归的层次是可以限制的,而循环嵌套的层次只能是固定的,因此递归是比循环更灵活的重复操作的机制. 3、递归算法解题通常有三个步骤 答: 1〕分析问题、寻找递归: 找出大规模问题与小规模问题的关系,这样通过递归使问题的规模逐渐变小. 2〕设置边界、限制递归: 找出停止条件,即算法可解的最小规模问题. 3〕设计函数、确定参数: 和其它算法模块一样设计函数体中的操作及相关参数. 四、算法设计题: 1、楼梯上有n个台阶,上楼时可以上1步,也可以上2步,设计一递归算法求出共有多少 种上楼方法F(n). ①写出F(n)的递归表达式 ②并写出其相应的递归算法 解: ①写出F(n)的递归表达式 分析: 到n阶有两种走法: 1)n-1阶到n阶; 2)n-2阶到n阶; 1n=1 F(n)=2n=2 F(n-1)+F(n-2)n>2 ②写出其相应的递归算法 IntF(intn) ( if(n=1)return1; elseif(n=2) return2; else returnF(n-1)+F(n-2); ) 2、设a,b,c是3个塔座.开始时,在塔座a上有一叠共n个圆盘,这些圆盘自下而上,由 大到小地叠在一起.各圆盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到 塔座b上,并仍按同样顺序叠置.在移动圆盘时应遵守以下移动规那么: 规那么1: 每次只能移动1个圆盘; 规那么2: 任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上; 规那么3: 在满足移动规那么1和2的前提下,可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上. ①写出该问题的解题步骤 ②并写出其相应的递归算法 解: ①第一步: 将n—1个盘子看成一个整体,从A移到C; 第二步: 将第n个盘子移到B; 第三步: 将n—1个盘子看成一个整体,从C移到B; ②写出其相应的递归算法: voidhanoi(intn,inta,intb,intc) {if(n>0) ( hanoi(n-1,a,c,b); move(a,b); hanoi(n-1,c,b,a); 第二章分治算法 (2)分治算法 一、填空题: 1、在快速排序、插入排序和合并排序算法中,插入排序算法不是分治算法. 2、合并排序算法使用的是分治算法设计的思想. 3、二分搜索算法是利用分治算法思想设计的. 二、简做题: 1、适合用分治算法求解的问题具有的根本特征 答: 1)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易解决; 2)该问题可以分解为假设干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质; 3)该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子问题. 4)利用该问题分解出子问题解可以合并为该问题解;2、分治算法根本思想,解题步骤? 三、算法设计题: 1、改写二分查找算法: 设a[1…n]是一个已经排好序的数组,改写二分查找算法,使得当搜索元素x不在数组中时,返回小于x的最大元素位置i,和大于x的最小元素位置j;当搜索元素x在数组中时,i和j相同,均为x在数组中的位置. 并分析其时间复杂度 解: intbinsearch(inta[n],intx,)//x待查数据 {intmid,i,j;low=1; inthigh=n; while(low<=high) {mid=(low+high)/2; if(a[mid]=x)returni=j=mid; if(a[mid]>x)high=mid-1;//继续在左边查找 else//(a[mid] low=mid+1;//继续在右边查找 }i=right;j=left;return0;//low大于high查找区间为空,查找失败 } 计算时间复杂性为O(logn)2、棋盘覆盖在一个2kx2k个方格组成的棋盘中,恰有一个方格与其它方格不同,称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一特殊棋盘.在棋盘覆盖问题中,要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格,且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖. 求: ①简述分治算法的根本思想 ②设计该棋盘覆盖问题的分治算法 ③计算所设计算法的时间复杂度〔要求写出递推公式〕 解: ① 分解: 将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同子问题,以便各个击破,分 而治之. 对这k个子问题分别求解: 如果子问题的规模仍然不够小,那么再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止求小问题解、合并: 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问 题的解. ②、③ 3、金块问题〔求最大最小兀问题〕 老板有一袋金块〔共n块〕,最优秀的雇员得到其中最重的一块,最差的雇员得到其中最轻的 一块.假设有一台比拟重量的仪器,我们希望用最少的比拟次数找出最重的金块. 求: ①简述分治算法的根本思想 ②设计该金块问题的分治算法 ③计算所设计算法的时间复杂度〔要求写出递推公式〕 答: ①简述分治算法的根本思想: 问题可以简化为: 在含n〔n是2的哥〔n>=2〕〕个元素的集合中寻找极大元和极小元. 用分治法〔二分法〕可以用较少比拟次数地解决上述问题: 1〕将数据等分为两组〔两组数据可能差1〕,目的是分别选取其中的最大〔小〕值. 2〕递归分解直到每组元素的个数w2,可简单地找到最大〔小〕值. 3〕回溯时将分解的两组解大者取大,小者取小,合并为当前问题的解. ②、③ 第三章动态规划算法 一、填空题: 1、动态规划算法中存储子问题的解是为了防止重复求解子问题. 2、〔最优子结构〕是问题能用动态规划算法求解的前提. 3、矩阵连乘问题的算法可由〔动态规划〕算法设计实现. 二、判断题: 1、动态规划算法根本要素的是最优子结构.〔V〕 2、最优子结构性质是指原问题的最优解包含其子问题的最优解.〔V〕 3、动态规划算法求解问题时,分解出来的子问题相互独立.〔X〕 三、简做题: 1、动态规划算法解题步骤 答: ①找出最优解的性质,并刻划其结构特征; 〔即原问题的最优解,包含了子问题的最优解〕 ②递归地定义最优值; 〔即子问题具有重叠性,由子问题定义原问题〕 ③以自底向上的方式计算出最优值; ④根据计算最优值时得到的信息,构造最优解; 2、动态规划算法根本思想 答: 动态规划算法与分治法类似,其根本思想也是将待求解问题分解成假设干个子问题; 但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的.不同子问题的数目常常只有多项式量级. 在用分治法求解时,有些子问题被重复计算了许屡次; 如果能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,就可以防止大量重 复计算,从而得到多项式时间算法. 3、动态规划与分治算法异同点? 4、动态规划算法的根本要素? 四、算法设计与计算题: 1、X=a,X2,L,XmNY={y1,y2,L,yj的最长公共子序列为Z={z1,4,L,zj. 问: 假设用c[i][j]记录序列Xj={%,x2,L,x}和丫={y1,y2,L,力}公共子序列长度.求: ①用动态规划法求解时,计算最优值的递归公式 ②设计计算最优值的算法以及构造最优解的算法 2、长江游艇俱乐部在长江上设置了n个游艇出租站1,2…n.游客可在这些游艇出租站 租用游艇,并在下游的任何一个游艇出租站归还游艇. 游艇出租站i到游艇出租站j之间的租金为r(i,j),其中1<=i 求: ①用动态规划法求解时,计算最优值(最少租金)的递归公式 ②设计计算最优值(最少租金)的算法 ③并分析其时间复杂度 解: ① 0i二j r[i,j]min{r[i,k]r[k1,j]}ij.i_k: ;: j ②计算最优值算法 publicstaticvoidmatrixChain(int[]p,int[][]m,int[][]s){ intn=p.length-1; for(inti=1;i<=n;i++)m[i][i]=0;//1个站 for(intr=2;r<=n;r++) for(inti=1;i<=n-r+1;i++) {intj=i+r-1; m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]; s[i][j]=i;//断点位置在i处 for(intk=i+1;k {intt=m[i][k]+m[k+1][j];if(t {m[i][j]=t;s[i][j]=k;}}}} 构造最优解算法 publicvoidtraceback(ints[][],intI,intj){if(i=j)return; traceback(s,i,s[i][j]); traceback(s,s[i][j]+1,j); System.out.println("A"+i++s[i][j]+«A+s[i][j]+1+ +j) }//(m[i,s[i][j]])(m[s[i][j]+1,j]) ③时间复杂度: O(n3) 第4章贪心算法 一、填空题: 1、某单位给每个职工发工资〔精确到元〕.为了保证不要临时兑换零钱,且取款的张数最少, 统计所需各种币值〔100,50,20,10,5,2,1元共七种〕的张数. 贪心算法如下: voidgreedy_zhaoling(floatGZ,intB[],intS[])〃GZ 计算当前总价值,mHF包剩余载重 ;//计算物品单位价值ww[] 初始化 按单位价值将物品排序,便于贪心选择 贪心选择,总是选择价值最大放入背包 当前物品小于背包剩余载重 2、贪心算法的两个根本要素是〔贪心选择性〕和〔最优子结构〕. 3、给定n种物品和一个背包.物品i的重量是Wi,其价值为Vi,背包的容量为M应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大. 贪心算法如下: floatgreedy_knapsack(floatM,floatw[],floatp[],floatx[]) //x[]背包问题最优解,w[]物品重量,P[]物品价值 {intn=w.length; floatpp=0; floatmm=M;//pp for(inti=1;i<=n;i++) { floatww[i]=p[i]/w[i] x[i]=0; }// Mergesort(w[],n);// for(inti=1;i<=n;i++)// { x[i]=1; mm=mm-w[i]; PP=PP+P[i];} else 〔 x[i]=mm/w[i]; PP=PP+x[i]*P[i]; break; }//i局部放入背包 } returnpp; } 二、判断题: 1、满足贪心选择性质必满足最优子结构性质.〔X〕 三、简做题: 1、贪心算法的根本思想 2、贪心算法的根本要素 3、贪心算法与动态规划算法的异同 四、算法设计题: 1、假设有7个物品,它们的重量和价值如下表所示.假设这些物品均可以被分割,且背包容量七150,如果使用贪心方法求解此背包问题〔背包不超载的前提下,装载的物品价值达到最大〕. 物品 A B C D E F G 35 30 60 50 40 10 25 价值 10 40 30 50 35 40 30 ①利用贪心算法求解该问题时,为了进行贪心选择,首先应该做什么然后进行贪心装载,给出一种正确的物品装载顺序并给出其最优装载方案 ②利用贪心思想设计该普通背包问题的贪心算法 ③分析其时间复杂度 解: ①1〕依据不同的标准对这些物品进行排序,标准有重量、价值、单位价值; 2〕重量从小到大: FGBAEDC得到的贪心解为: FGBAE全部放入,D放入20%,得到 价值为165; 价值从大到小: DFBEGCA得到的贪心解为: DFBE全部放入,G放入80%,得到价值为189; 单位价值从大到小: FBGDECA得到的贪心解为: FBGD全部放入,E放入87.5%,得到价值为190.625; 3)显然使用单位价值得出最正确转载方案. 2、设有n个活动集合,其中每个活动都要求使用同一资源,如足球场,而在同一时间只能 有一个活动使用该资源. 每个活动i都有一个要求使用该资源起始时间si和结束时间fi,且si 择了活动i,那么它在半开区间[si,fi)占用资源. 假设两个活动[si,fi)与[sj,fj)不相交,那么称活动i与活动j是相容的; 活动安排问题: 就是在所给的活动集合中选出最大相容活动子集合; 求: ①利用贪心算法求解该问题的根本思想 ②设计该活动安排问题的贪心算法并分析其时间复杂度 3、给定以下图G=(V,E)是一个无向连通图,对每一条边(v,w),其权彳1为c(v,w); 求: ①利用prim算法构造其最小生成树,画出其选边的过程 并构造其算法并分析其时间复杂度 ②利用kruskal算法构造其最小生成树,画出其选边的过程? 并构造其算法并分析其时间复杂度 4、对以下图中的有向图,应用Dijkstra算法计算从源(顶点1)到其它顶点间最短路径的过程 要求: 给出Dijkstra算法的迭代过程,计算源到给个顶点的最短路径(用表表示) 解: 见课本123页表4-2 解: 迭代过程: 迭代 S U dist[2] dist[3J dlst[4] dist[5] 新骷 (1) — 10 maxinI 30 100 1 {1,2} 2 60 30 100 2 [1,2,4) 4 50 90 3 {1,2,4,3} 3 60 41 [1,2,4,3,5) 5 10 P50 30 60 Dijkstra算法的迭代过程; =士_丝枣二二; V-S 第5章回溯算法 一、填空题 1、回溯法与分支限界法搜索方式不同,回溯法按深度优先搜索解空间,分支限界法按 广度优先或最小消耗优先搜索解空间. 二、判断题 1、回溯法中限界函数的目的是剪去得不到最优解的子树.〔V〕 2、分支限界法类似于回溯法,也是一种在问题的解空间树T上搜索问题解的算法,两者的 搜索方式是相同的.〔X〕三、简做题 1、简述回溯法和分支限界法的相同点和不同点 2、什么是子集树什么是排列树什么叫满m叉树 3、回溯算法的根本思想回溯算法的解题步骤四、算法设计题 1、n皇后问题 在4X4格的棋盘上放置彼此不受攻击的4个皇后.根据国际象棋的规那么,皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子. 用回溯算法解决4皇后问题: ①构造求解该问题的解空间树 ②设计该4皇后问题的回溯算法 解: ①解空间树 2、0—1背包问题: 假设有3个物品,它们的重量和价值如下表所示.假设这些物品均不可以被分割,且背包 容量M=10,问应该如何装入使背包中物品的总价值最大 用回溯算法求解该0—1背包问题: ①构造求解该问题的解空间树 ②设计该0—1背包问题的回溯算法 解: 1〕解空间树; 物品 A B C 重量 6 5 5 价值 42 25 30 2)3、图的着色问题: 如以下图 给定无向连通图G和m种不同的颜色; 用这m种颜色为图G的各个顶点着色,是否有一种方法使得图G中每一条边的两个顶点着不同颜色; 求: ①构造求解该问题的解空间树 ②设计该图的着色问题回溯算法 解: 1〕解空间树: 2)算法: doublemcoloring(intmm) {intm=mm; doublesum=0; backtrack (1); returnsum; } //m //sum // 可用颜色数 当前着色方案数 深度优先搜索解空间 voidbacktrack(intt){if(t>n)// {sum++; // 搜索到叶子节点 着色方案数加1 for(inti=1;i<=n;i++)system.out.print(x[i]);}//输出解,顶点i着颜色else//搜索到中间节点{for(inti=1;i<=m;i++) x[i] {x[t]=i; if(ok(t)) // backtrack(t+1); 顶点t着颜色i=1.•.m } } } 当前着色顶点与以前相邻顶点是否同色 booleanok(intk)// {for(intj=1;j<=n;j++) if(a[k][j]&&(x[j]==x[k])) //数组a[][]是图的邻接矩阵 且色同: x[j]==x[k] returnfalse;elsereturntrue;} ③算法分析(m种颜色,n个节点) 计算限界函数,一重for循环时间复杂度: O(n); 在最坏的情况下每一个内节点都需要判断约束,内节点个数: 1+m+m+ n3++mn-1=(mn-1)/(m-1)个; 故图的m着色问题的回溯算法,时间复杂度为: O(n*mn).
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