空间向量知识点与题型归纳总结.docx

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空间向量知识点与题型归纳总结

空间向量知识点与题型归纳总结

知识点精讲

、空间向量及其加减运算

1.空间向量

.空间向量也可

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模

用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量

ar的起点是A，终点是B，则向量ar也可以记作

uuur

r

uuur

AB，其模记为

a

或

AB

2.零向量与单位向量

ruuurr规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A与终点B重合时，AB0.

模为1的向量称为单位向量.

3.相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.

与向量ar长度相等而方向相反的向量，称为

a的相反向量，记为a.

4.空间向量的加法和减法运算

uuuruuuruuurr

1）OCOAOBa

uuuruuuruuurrr

BAOAOBab.如图8-152所示.

2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律

a，ab

bc

、空间向量的数乘运算

1．数乘运算

实数与空间向量ar的乘积ar称为向量的数乘运算.当0时，ar与向量ra方向相同；当0

时，向量a与向量a方向相反.

ar的长度是ar的长度的

倍.

2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

a.

3.共线向量与平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，ar

平行于br，记作ar//br.

4.共线向量定理

对空间中任意两个向量a，

b0，a//b的充要条件是存在实数

rr

，使ab.

5.直线的方向向量

如图8-153所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量ar的直线.对空间任意一点O，点P在直

uuur线l上的充要条件是存在实数t，使OP

uuuruuur

1tOAtOB②

uuurrruuurrOAta①，其中向量a叫做直线l的方向向量，在l上取ABa，

uuuruuuruuuruuuruuuruuur则式①可化为OPOAtABOAtOBOA

1uuur1uuuruuur①和②都称为空间直线的向量表达式，当t，即点P是线段AB的中点时，OPOAOB

22此式叫做线段AB的中点公式.

6.共面向量

如图8-154所示，已知平面与向量ar，作OuuAurar，如果直线OA平行于平面或在平面内，则

说明向量a平行于平面.平行于同一平面的向量，叫做共面向量

图8-154

7.共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对x,y，

使pxayb.

推论：

（1）空间一点P位于平面

ABC内的充要条件是存在有序实数对

x,y

uuur

，使AP

uuurxAB

uuur

yAC；

uuur

uuur

uuur

uuur

或对空间任意一点O，有OP

OA

xAB

yAC，该式称为空间平面

ABC的向量表达式

uuur

uuur

uuur

uuur

（2）已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式OPxOAyOBzOC（其中xyz1）的点P与点A，B，C共面；反之也成立.

三、空间向量的数量积运算

1.两向量夹角

rruuurruuurrrr

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a，b的

rrrrrrrrrr夹角，记作a,b，通常规定0a,b，如果a,b，那么向量a，b互相垂直，记作ab.

2.数量积定义

零向量与任何向量的数量积为

0，特别地，

aa

r2

a

3.空间向量的数量积满足的运算律：

abab，abba（交换律）；

abcabac（分配律）

四、空间向量的坐标运算及应用

rrrr

（1）设aa1,a2,a3，bb1,b2,b3，则ab

a1b1,a2b2,a3b3；

rrab

a1b1,a2b2,a3b3

r

a

a1,a2,a3；

rr

ab

a1b1a2b2a3b3；

a//bb

a

rr

aba1b1

a2b2

a3b30.

uuur

uuur

uuur

2）设Ax1,y1,z1

，B

x2,y2,z2，

则AB

OB

OAx2x1,y2y1,z2z1

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标

3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.

①已知aa1,a2,a3

b1,b2,b3，则a

a12a22a32；

a2b2

a3b3；

aba1b1

cosa,b

a1b1a2b2a3b3

a12

2a2

a32b12

22

b22b32

②已知Ax1,y1,z1，B

uuur

x2,y2,z2，则AB

222x1x2y1y2z1z2

或者dA,B

uuur

AB.其中d

A,B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公式

4）向量a在向量b上的射影为acosa,b

ab

abrb

已知两个非零向量a，b，则abcosa,b叫做a，b的数量积，记作ab，即a

rrrruuur

5）设nn0是平面M的一个法向量，AB，CD是M内的两条相交直线，则nAB0，由此

ruuuruuru

可求出一个法向量n（向量AB及CD已知）

（6）利用空间向量证明线面平行：

设nr是平面的一个法向量，rl为直线l的方向向量，证明lrnr0，（如图8-155所示）.已知直线l（l），平面的法向量rn，若lrnr0，则l//.

（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：

在两条异面直线中各取一个方向向量ar，br，只要证明

rrrr

ab，即ab0.

（8）利用空间向量证明线面垂直：

即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.

9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.

10）空间角公式.

①异面直线所成角公式：

设a，b分别为异面直线l1，l2上的方向向量，为异面直线所成角的大小，

ab

则cos

cosa,b

ab

②线面角公式：

设

l为平面

的斜线，

a为l的方向向量，n为平面的法向量，为

l与所成角的大小，则

sin

cosa,n

a

n

r

r

a

n

③二面角公式：

设n1，n2分别为平面，

的法向量，

面角的大小为，则

uruururuur

n1,n2或n1,n2

需要根

据具体情况判断相等或互补），其中

uruur

n1n2

cos

uuurr

ABn

11）点A到平面的距离为d，B

，n为平面的法向量，则d

题型归纳及思路提示

题型1空间向量及其运算

思路提示空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向

量的运算法则.

一、空间向量的加法、减法、数乘运算

uuurruuurr

例8.41如图8-156所示，已知空间四边形OABC，点M,N分别为OA，BC的中点，且OAa，OBb，

OC

c，用a，b，

c表示MN，则MN

uuuur1uuur1r

uuur

1

uuur

解析

OMOAa

，ON

OB

2

2

2

uuuur

uuur

uuuur

1rr

1r

1

r

r

MN

ON

OM

bc

a

b

c

2

2

2

变式1

如图

8-157所示，已知空间四边形

O

AB

uuuur

uuur

的中点，

点G在线段

MN上，

且MG

2GN，

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

示向量

OG，

设OG

xOA

yOB

zOC

，则

1

1

1

1

1

A.x

y

z

B.

x,y

z

3

3

3

3

3

1

1

1

1

1

C.x

y

z

D

.x

y

z

uuur

uuuur

uuuur

a.

1

uuur

OC

6

1

3

变式2

如图

8-158所示，

在四面体

的中点，

uuur则OE

变式

在空间四边形

，其对角线为

OB，

uuuruuruuuur现用基向量OA，OB，OC表

x,y,z的值分别是（

OABC中，

uuurruuur

OAa，OB

用a，b，c表示）.

ABCD中，连接对角线AC,BD，若

AC，M和N分别是对边OA和BC

ruuurr

b，OCc，D为BC的中点，E为AD

BCD是正三角形，且E为其重心，则

uuur

AB

1uuur

BC

2

3uuur

3DE

2

uuur

AD的化简结果为

变式

4如图

8-159所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，

M为A1C1与B1D1的交点，

uuurr

若ABa，

uuur

AD

b，

uuurr

AA1c，则下列向量中与

uuuur

BM相等的向量是（

A.

1r

a

2

1brrc

2

C.

、空间共线向量定理的应用

1brcr

B.1ar

空间共线向量定理：

a//bb

ab.

1r

a

2

1brrc

2

D.1ar

2

1brrc

2

利用此定理可解决立体几何中的平行问题urrrrrr例8.42已知m3a2b4c0，n

rrrrrrurr

x1a8b2yc，且a,b,c不共面，若m//n，求x,y的值.

urrurr

解析因为m//n且m0，所以

m，即x1

8b2yc3a2b4c.

又因为a,b,c不共面，所以

，解得

13

二、空间向量的数量积运算

2y

ab

z1z2；

x1x2

y1y2

可先求其余弦值

求空间向量夹角时，

22

y1z1；

求模长时，可根据

cosa,b

rrb.要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的ab

数量积是否为0，即a

0a

a,b为锐角ab

0；

a,b为钝角ab

0.由此，通常通过计算ab的值来判断两向量夹角

是锐角还是钝角.

例8.43已知空间四边形

ABCD的每条边和对角线的长都等于

a，点E,F分别是BC,AD的中点，

uuuruuur

AEAF的值为（）

A.a2

B.B.1a2

C.1a2

32D.a

2

4

4

解析

依题意，点E,F分别是

BC,AD

的中点，如图8-160所示，

uuur

uuur

1

uuur

uuur

1uuur

1

uuur

uuur

uuur

uuur

AE

AF

AB

AC

AD

AB

AD

AC

AD

2

2

4

1

2

2

12

acos60

a

cos60

a

44故选C.

变式1如图8-161所示，已知平行六面体

ABCD

A1B1C1D1中，

A1AABAD1，则AC1

A1AD

A1AB

DAB60，且

uuuruuur变式2如图8-162所示，设A,B,C,D是空间不共面的4个点，且满足ABAC

uuuruuur

0，ADAC

uuuruuur

ADAB0，则BCD的形状是（）

A.钝角三角形

B.直角三角形

C.锐角三角形

D.无法确定

例8.44如图8-163所示，在45的二面角

的棱上有两点A,B，点C,D分别在

内，且

AC

分析

AB，ABD45，ACBDAB1，uuruCD的模.

求CD的长度转化为求空间向量

解析

uuur因为CD

uuur

CA

uuuruuurABBD，

uuur

CD

uuur

CA

则CD的长度为

uuur

AB

uuur2

BD

uuur2

CA

uuur2AB

uuur2

BD

uuuruuur

2CAAB

uuur

2AB

uuur

BD

uuur

2CA

uuur

BD

11

10

cos135

uuur

2CA

uuur

BD

，设点

uuuruuur

C在内的射影为H，则HAAB，

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

CA

BD

CH

HA

BD

CH

BD

HA

BD0

HA

BD

.故

cos1351cos45cos135

uuuruuur

HA,BD135

uuur2故CD

22，则CuuDur22.

变式1已知二面角

l为60，动点

P,Q分别在面

内，P到的距离为3，Q到

的距离

为23，则P,Q两点之间距离的最小值为（

）.

变式2

B.2

在直角坐标系中，设

C.23

D.4

A3,2，B

2,

3，沿y轴把坐标平面折成120的二面角后，

AB的长

为（

）.

A.6

B.42

C.23

D.211

例8.45如图8-164所示，设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，记D1PD1B当APC为钝角时，求的取值范围.

uuuruuuruuuur

解析由题设可知，以DA,DC,DD1为单位正交基底，建立如图8-165所示的空间直角坐标系Dxyz，

uuuur

uuuur

uuuur

由D1B1,1,1

，D1P

D1B

,，

uuur

uuuur

uuuur

PA

D1A

D1P

1,0,1

1,

1，

uuur

uuuur

uuuur

PC

D1C

D1P

0,1,1

,1

1.

显然

APC不是平角，所以

APC为钝角，

uuur

uuur

uuuruuur

PA

PC

uuuruuur

cos

APC

cos

PA,PC

uuur

uuur0，等价于

PAPC

则有A1,0,0，B1,1,0，C0,1,0，D10,0,1

0，即

得1

3

2

120，

1.因此，的取值范围是1,1.

3

评析利用向量知识将

uuuruuur

APC为钝角转化为cosPA,PC0求解是本题的关键.

变式1已知正方体

ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，当APC最大时，三棱锥

PABC的体积为（

1

A.

24

例8.46

PAD

）.

1

C.

9

在四棱锥

1

D.

12

ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面

1

B.

18如图8-166所示，底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，则点M在正方形ABCD内

解析取AD的中点O，以OA为x轴，垂直于

a，P0,0,3a

图8-167所示.设Mx,y,0，正方形的边长为

则MC

MP

MC，

得x

ABCD内的轨迹为一条线段，且过本题利用空间线面位置关系求解也很快

，C

.由题意知空间内与两定点距离相等的点均在线段中垂面

3a2

a,a,0，

正方形

评注

内，即M在线段PC的中垂面内.又M为底面ABCD内一动点，则M的轨迹为两平面的交线落在底面内的部分，排除C、D.又BPBC，故排除B.故选A.

变式1到两互相垂直的异面直线距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）.

A.直线B.椭圆

变式2空间点到平面的距离定义如下：

C.抛物线D.双曲线

过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到

这个平面的距离，已知平面

两两互相垂直，点A，点A到，的距离都是3，点P是

上的动点，满足P到的距离是点P到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到的距离的最小值是

（）.

A.33B.323C.63D.3

题型2空间向量在立体几何中的应用

思路提示

用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离.因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单.

用向量法解题的途径有两种：

一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算.

一、证明三点共线（如A，B，C三点共线）的方法uuuruuuruuuruuur先构造共起点的向量AB，AC，然后证明存在非零实数，使得ABAC.

例8.47如图8-168所示，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，点M为DD1的中点，点N在AC上，

且AN:

NC2:

1，点E为BM的中点.求证：

A1，E，N三点共线.

解析

以D为坐标原点建立空间直角坐标系

D-xyz，如图

8-169所示.不妨设

DAa，DCb，

DD1

，则

0,0,c2

Ba,b,0

a,b,c

E,,

224

，A1a,0,c，

Na3,23b,0，则

EF，CD都相交的直线（

4uuur

A1E，故A1，E，

3

N三点共线.

AA1和CC1的中点，则在空间中与三条直线

A1D1，

）.

A.不存在B.有且只有两条

变式2如图8-170所示，在空间四边形

D.有无数条

C.有且只有三条

ABCD中，M，N分别是AB和CD的

中点，P为线段MN的中点，Q为BCD的重心.求证：

A,P,Q三点共线.

、证明多点共面的方法

要证明多点（如A，B，C，D）

先作出从同一点出发的三个向量（如

共面，可使用以下方法解题.

uuuruuuruuur

AB，AC，AD），然后证明存在两个

uuuruuuruuur

实数x,y，使得ADxAByAC.

例8.48如图8-171所示，平面ABEF

1

，BC//AD，

2平面ABCD，又

BADFAB90

解析由平面ABEF

平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，1

BE//AF.求证：

C,D,E,F四边共面.

2

AFAB，平面ABEFI平面ABCDAB，

得AF平面ABCD，

以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，如图8-172所示.

设ABa，BC

b，BEc，则Ba,0,0，Ca,b,0，D0,2b,0，Ea,0,c，

uuur

F0,0,2c.CuuEur

uuur

0,b,c，uDuFur

uuur

0,2b,2c，因为DF

uuur

2CE，所以DF//CE，则

CE,DF确定一个平面，即C,D,E,F四点共面.

变式1如图8-173所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，E,F,G,H分别是棱A1D1,D1C1,C1C,AB的中点.

求证：

E,F,G,H四点共面.

三、证明直线和直线平行的方法

将证线线平行转化为证两向量共线.设a,b是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为ar,br，则

例8.49如图8-174所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，MN是异面直线A1D与AC的公垂线段.求证：

MN//BD1.

解析以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图8-175所示.设正方体的棱长为a，则

A1a,0,a，Aa,0,0，C0,a,0