高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性学案.docx
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高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性学案
【2019最新】精选高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性学案
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 函数的奇偶性
考点2 函数的周期性
1.周期函数
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
[必会结论]
1.函数奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(4)在公共定义域内有:
奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;
(2)若f(x+a)=,则T=2a;
(3)若f(x+a)=-,则T=2a.(a>0)
3.对称性的三个常用结论
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.
[考点自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( )
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( )
(3)函数y=+既是奇函数又是偶函数.( )
(4)函数f(x)为R上的奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(2018)=2018.( )
答案
(1)×
(2)√ (3)× (4)×
2.[2017·北京高考]已知函数f(x)=3x-x,则f(x)( )
A.是奇函数,且在R上是增函数
B.是偶函数,且在R上是增函数
C.是奇函数,且在R上是减函数
D.是偶函数,且在R上是减函数
答案 A
解析 ∵函数f(x)的定义域为R,
f(-x)=3-x--x=x-3x=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数.
∵函数y=x在R上是减函数,
∴函数y=-x在R上是增函数.
又∵y=3x在R上是增函数,
∴函数f(x)=3x-x在R上是增函数.故选A.
3.[课本改编]如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( )
A.y=x+f(x)B.y=xf(x)
C.y=x2+f(x)D.y=x2f(x)
答案 B
解析 设g(x)=xf(x).因为f(-x)=-f(x),所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x),
所以g(-x)=g(x),所以B正确.
4.[课本改编]若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=________,b=________.
答案 0
解析 因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=.
又函数f(x)=x2+bx+b+1为偶函数,所以二次函数的对称轴-=0,易得b=0.
5.[2016·四川高考]若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0 (2)=________. 答案 -2 解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(0)=0,又∵f(x)的周期为2,∴f (2)=0, 又∵f=f=-f=-4=-2, ∴f+f (2)=-2. 6.[2018·沈阳模拟]已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f (2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是________. 答案 (-1,3) 解析 ∵f (2)=0,f(x-1)>0, ∴f(x-1)>f (2),又∵f(x)是偶函数, ∴f(|x-1|)>f (2),又f(x)在[0,+∞)上单调递减,∴|x-1|<2,∴-2 ∴-1 板块二 典例探究·考向突破 考向 函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]; (2)f(x)=log2(x+); (3)f(x)= 解 (1)由于f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]的定义域不是关于原点对称的区间,因此,f(x)是非奇非偶函数. (2)定义域是R,关于原点对称, 且f(-x)=log2(-x+) =log2=-log2(x+) =-f(x),故f(x)是奇函数. (3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又当x>0时,f(x)=x2+x,则当x<0时,-x>0,故f(-x)=x2-x=f(x); 当x<0时,f(x)=x2-x,则当x>0时,-x<0,故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数. 触类旁通 判断函数奇偶性的必备条件 (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立. 【变式训练1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=+; (2)f(x)=. 解 (1)定义域为{x|x=±1},化简得f(x)=0, 故f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)∵-2≤x≤2且x≠0,∴f(x)=,又f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. 考向 函数奇偶性的应用 命题角度1 利用奇偶性求函数值 例 2 已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f (2)等于( ) A.-26B.-18 C.-10D.10 答案 A 解析 解法一: 令g(x)=x5+ax3+bx,易知g(x)是R上的奇函数,从而g(-2)=-g (2),又f(x)=g(x)-8, ∴f(-2)=g(-2)-8=10,∴g(-2)=18, ∴g (2)=-g(-2)=-18. ∴f (2)=g (2)-8=-18-8=-26. 解法二: 由已知条件,得 ①+②得f (2)+f(-2)=-16.又f(-2)=10, ∴f (2)=-26. 命题角度2 利用奇偶性求参数值 例 3 [2015·全国卷Ⅰ]若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=________. 答案 1 解析 解法一: 由题意得f(x)=xln(x+)=f(-x)=-xln(-x),所以+x=,解得a=1. 解法二: 由f(x)为偶函数有ln(x+)为奇函数,令g(x)=ln(x+),有g(-x)=-g(x),以下同解法一. 命题角度3 利用奇偶性求解析式 例 4 f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,求f(x)的解析式. 解 当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1. 由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),所以当x<0时,f(x)=2x2+3x-1. 因为f(x)为R上的奇函数,故f(0)=0. 综上可得f(x)的解析式为 f(x)= 命题角度4 利用奇偶性的图象特征解不等式 例 5 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 答案 C 解析 ∵f(x)是奇函数,
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- 高考 数学 一轮 复习 函数 导数 及其 应用 奇偶性 周期 性学