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函数图像教案
适用学科
高中数学
适用年级
适用区域
知识点
苏教版区域
课时时长(分钟)
函数的概念
函数的三要素(定义域、值域、对应法则)
2课时
i区间的意义及表示
解析法
列表法
\图象法
分段函数及其应用
映射的概念
求函数定义域的常用方法求函数值域的常用方法
抽象函数的处理方法
1•掌握作函数图象的两种基本方法:
描点法,图象变换法
2•掌握图象变换的规律,能利用图象研究函数的性质.
教学重点各种图象变换规则,如:
平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等
L_!
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教学难点各种图象变换规则,如:
平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等
■I■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・
【知识导图】
■教学过程||
一、导入
函数不仅是高中数学的核心内容,还是学习高等数学的基础,所以在高考中,函数知识占有极其重要的地位。
其试题不但形式多样,而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。
知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高,是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地。
二、知识讲解
考点其1基本I」用描点法列作函数描图象连线,首先:
①确定函数的定义域;②化简
函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性);其次:
列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点);最后:
描
点,连线.
考点2』!
」用基本函数的图象作图
1.平移变换
⑴水平平移:
y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位而得到.
⑵竖直平移:
y=f(x)±(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移b个单位而得到.
2.对称变换
(1)y=f(—x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
(2)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
(3)y=—f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称.
⑷要得到y=|f(x)|的图象,可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余部分不变.
⑸要得到y=f(|x|)的图象,可将y=f(x),x>0的部分作出,再利用偶函数的图象关于y
轴的对称性,作出xv0时的图象.
3.伸缩变换
(1)y=Af(x)(A>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标
不变而得到.
1
(2)y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的二倍,纵坐标不
a变而得到.
例题1
分别画出下列函数的图象:
(1)y=|lgx|;
x+2
(2)y=2;
(3)y=x2-2|x|—1
Igx,x>1,
【规范解答】
(1)y=;-^x,o 2. (2)将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如图 【总结与反思】画函数图象的一般方法 (1)直接法: 当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征直接作出. (2)图象变换法: 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用 图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 类型二利用函数图象解决有解类问题 例题1 若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是. 【规范解答】解析: 由题意a=|x|+x 2x,x>0, 令y=|x|+x=*图象如图所示,故要使a=|x|+x只有一解则a>0.答案: (0,+© 0,XV0, 【总结与反思】 1•作图一般有两种方法: 直接作图法、图象变换法•其中图象变换法,包括平移变换、伸缩 变换和对称变换,要记住它们的变换规律.对于左、右平移变换,可熟记口诀: 左加右减.但 要注意加、减指的是自变量,否则不成立. 2.一个函数的图象关于原点(y轴)对称与两个函数的图象关于原点(y轴)对称不同,前者是 自身对称,且为奇(偶)函数,后者是两个不同的函数对称. 类型三图象变换 已例题义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,贝Uy=-f(2-x)的图象为() 【规范解答】由y=f(x)的图象知 x0丈1,f(x)珂Kx<2- 当x€[0,2]时,2-x€[0,2], 所以f(2-x)= |2-x1 故y=—f(2—x)=< —1匹怕,x-21^x12- 【总结与反思】 “看图说话”常用的方法 ⑴定性分析法: 通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这 一特征分析解决问题. (2)定量计算法: 通过定量的计算来分析解决问题. (3)函数模型法: 由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题. 类型四函数图象探究函数性质 例题12 已知函数y=f(x)的周期为2,当x€[-1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有() 【规范解答】根据f(x)的性质及f(x)在[-1,1]上的解析式可作图如下: 可验证当x=10时,y=|lg10|=1;0 x>10时|lgx|>1. 结合图象知y=f(x)与y=|lgx|的图象交点共有10个. 【反思与总结】1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值 域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 2.利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是 函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标. 四、课堂运用 基础 1、将函数f(x)=|2x-2写成分段函数的形式为 0,x: : 0 2、已知函数f(x)=^,x=0,贝Vf{f[f(—1)]}= x1,x0 3x2-2,x0 ,fx]0时x的取值集合为 ”I 3、已知f(x}=和,x=0 —1,xc0 答案与解析 巩固 b 1.在下列图象中,二次函数y=ax2+bx与指数函数y=()x的图象只可能是() a 2.已知函数 (x1)的图象过点0,2,那么函数f(x)的图象一定经过点 3.函数y^引加3"的图象大致是() 1.【答案】 A 【解析】 bbb2 由指数函数图象可以看出0: : : -: : : 1。 抛物线方程是y-a(x)-2,其顶 a2a4a2 点坐标为(-2,-丄),又由0: : : b: : : 1,可得-丄b<0.观察选择支,可选A。 2a4aa22a 2.【答案】 1,2 【解析】 fx的图象是fx+1的图象象右平移一个单位,因此一定经过1,2 3.【答案】 A 【解析】由log3x>0得y=3"3"》1故选A. 拔高 1.函数f(x)=1•log2X与g(x)=2宀在同一直角坐标系下的图象大致是() 2•函数f(2x-3)的图象,可由函数f(2x3)的图象经过变换得到 3•设f(x)=|2—x2,若a 答案与解析 1.【答案】C 【解析】因函数f(x)=1・log2x的图象是由y=log2x的图象向上平移1个单位得到, 11 故B、c、D满足;又函数g(x)=2」"=,其图象为y= (2)x的图象向右平移1个单位得到,故A、C满足•由此选C. 2.【答案】向右平移三个单位 【解析】将函数f(2x・3)中的x用x-3代之,即可得到函数f(2x-3), 所以将函数f(2x・3)的图象向右平移3个单位即可得到函数f(2x-3)的图 象, 3.【答案】 2 【解析】保留函数y=2-X在x轴上方的图象,将其在x轴下方的图象翻折到x轴上区即可得到函数f(x)=|2-x2的图象.通过观察图象,可知f(x)在区间(严—冋上是减函数,在区间[-•.、2,0]上是增函数, 由a: : : b: : : 0,且f(a)=f(b).可知a: : : -•.2: : : b0,所以f(a)=a2-2,f(b)=2-b2,从而a2-2=2-b2,即a2b2=4, 222 又(a-b)二ab-2ab=4-2ab>0,所以0: : ab: : 2. 1.函数图象 (1)作图方法: 以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法, 掌握这两种方法是本讲座的重点。 作函数图象的步骤: ①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);④描点连线,画出函数的图象。 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线要把表列在关键 大致特征、变化趋势等作一个大 处,要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、 第6页 变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换,这也 是个难点。 (2)三种图象变换: 平移变换、对称变换和伸缩变换等等; 1平移变换: I、水平平移: 函数y=f(x•a)的图象可以把函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左 (a0)或向右(a■: .0)平移|a|个单位即可得到; 左移h右移h 1)y=f(x)ry=f(x+h);2)y=f(x)—■y=f(x-h); n、竖直平移: 函数y二f(x)•a的图象可以把函数y=f(x)的图象沿x轴方向向上 (a-0)或向下(a: : : 0)平移|a|个单位即可得到; 上移h下移h 1)y=f(x)—■y=f(x)+h;2)y=f(x)—■y=f(x)-h。 2对称变换: I、函数y=f(-x)的图象可以将函数y=f(x)的图象关于y轴对称即可得到: y=f(x) y轴 'y=f(-x) n、函数y--f(x)的图象可以将函数y=f(x)的图象关于x轴对称即可得到: y=f(x) X轴 —y=-f(x) 川、函数y=-f(-x)的图象可以将函数y=f(x)的图象关于原点对称即可得到: y=f(x) 原点 —y=f(-x) w、函数X=f(y)的图象可以将函数y=f(x)的图象关于直线y二X对称得到: y=f(x) 直线y=x 一x=f(y) V、函数y=f(2a-x)的图象可以将函数y二f(x)的图象关于直线x=a对称即可得到: 直线x=a y=f(x)—■y=f(2a-x)。 3翻折变换: I、函数y计f(x)|的图象可以将函数y二f(x)的图象的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上 方,去掉原x轴下方部分,并保留y=f(x)的x轴上方部分即可得到; n、函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x)的图象右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y=f(x)在y轴右边部分即可得到 4伸缩变换: I、函数y=af(x)(a-0)的图象可以将函数y=f(x)的图象中的每一点横坐标不变纵坐 标伸长(a.1)或压缩(0: : : a: : : 1)为原来的a倍得到: y=f(x)ry=af(x) n、函数y=f(ax)(a.0)的图象可以将函数y=f(x)的图象中的每一点纵坐标不变横坐1X迪 标伸长(a1)或压缩(0: : : a: : : 1)为原来的倍得到: f(x)y=f(x)>y=f(ax) a (3)识图: 分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。 六、课后作业 'x|x0』,且fxy二fx5xy。 若f9=8,则 基础 1.已知函数fx的定义域为 f3=. 2.根据fx的图象写出其解析式: 1 3•函数f(x)=loga|x「1(0: : : a<1)的图象大致为() 1.【答案】4 【解析】: fxy二fx5xy,令x=3,y=3,f9=f3+45,又f9=8,故f3=-37 2.【答案】见解析 -x,x一0 【解析】fx二2x,0: : : x: : : 1 2,x-1 3.【答案】A 【解析】考虑0: : : a: : : 1,当x-0时,f(x)=logax•1为减函数,淘汰B、c. 当x=1时,f(x)=1,故选A. 1.巩固定义域为R的函数f(x)在8,+: : 上为减函数,且函数y=fx+8为偶函数,则 f7—f10 2.已知函数f(x)=|lgx|,若0: : : a: : : b,且fa=fb,则ab= 3 3•将函数y的图象向左平移2个单位得到曲线C,若曲线C关于原点对称,那么 x+a 实数a的值为 答案与解析 1.【答案】 【解析】y=fx+8是偶函数,.fx的对称轴为x=8,f7=f9,又fx在 8+二递减,f9>f10,故f7f10 2.【答案】1 【解析】作出函数图象,;0: a: .b,且fa=fb,0: : : a: : : 仁: b,得 -lga=lgp,故ab=1 3.【答案】a=: 「1 33 【解析】y二—得图象向左平移一个单位得到y二一3,因为关于原点对称, a+xa+x+1 所以为奇函数,f-1=-f1,代入求得a=—1 拔高 1 1.函数y=3x的图象与函数y二(§)2的图象关于对称 2.直线y=1与曲线y=x2-x+a有四个交点,贝Ua的取值范围是. 3.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间L8,8上有四个不同的根x-i,x2,x3,x4, Xj+x2+x3+x4=. 1.【答案】X 【解析】若记y二f(x)=3x,则 (1)2=32」=f(2-x), 由于y=f(x)与y=f(2-x)的图象关于直线x=1对称 2.【答案】a1,5 I4丿 【解析】因为函数y=x2—x+a是偶函数,所以曲线y=x2—x+a关于y轴对称. 当x》0寸,y=x2—xa=(x--)2a--, 24 其图象如下: 故a的取值范围是 3.【答案】-8 【解析】因为定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),所以f(4-x)=f(x), 函数图象关于直线x=2对称,且f(0>0再由f(x-4)--f(x知f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数, 又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[—2,0]上也是增函数. 如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间一8,8】上有四个不同的根为必必,%, 不妨设捲: : : x2”: x3”: 由对称性知x-! x2=-12x3x^=4所以
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