高三数学复习第8章 圆锥曲线83 抛物线.docx

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高三数学复习第8章圆锥曲线83抛物线

2011年高三数学复习（第8章圆锥曲线）：

8.3抛物线

一、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分）

1、抛物线y=ax2（a＜0）的焦点坐标是（　　）

A、

B、

C、

D、

考点：

抛物线的简单性质。

专题：

计算题。

分析：

先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标．

解答：

解：

整理抛物线方程得x2=

y，p=

∴焦点坐标为

故选B

点评：

本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．

2、探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径60cm，灯深40cm，则光源到反射镜顶点的距离是（　　）

A、11.25cmB、5.625cm

C、20cmD、10cm

考点：

抛物线的简单性质。

专题：

计算题。

分析：

先以反射镜定点为原点，以定点和焦点所在直线为x轴，建立直角坐标系．设抛物线方程为y2=2px，依题意可点（40，30）在抛物线上，代入抛物线方程，求得p，进而可求得焦距，答案可得．

解答：

解：

以反射镜定点为原点，以定点和焦点所在直线为x轴，建立直角坐标系．

设抛物线方程为y2=2px，

依题意可点（40，30）在抛物线上代入抛物线方程得302=80p

解得p=

∴焦点坐标为（0，

），而光源到反射镜顶点的距离正是抛物线的焦距，

故答案为

，即5.625cm

故选B

点评：

本题主要考查了抛物线的简单性质．再解抛物线问题时一定要注意焦点是在x轴还是在y轴．

3、动点P到直线x+4=0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（　　）

A、直线B、椭圆

C、双曲线D、抛物线

考点：

抛物线的定义。

专题：

计算题；转化思想。

分析：

直线x+4=0到直线x+2=0的距离正好为2，先由题意分析可知，动点P到直线x+2=0与到M（2，0）的距离相等．再由抛物线的定义可知，点P的轨迹为抛物线．

解答：

解：

由题意分析可知，

动点P到直线x+2=0与到M（2，0）的距离相等．

由抛物线的定义可知，点P的轨迹为抛物线．

故选D．

点评：

本题主要考查了抛物线的定义，此类对于圆锥曲线的考查大多是三个知识点：

（1）定义

（2）几何性质（3）圆锥曲线和直线的位置关系等．本题解答的关键是抛物线的定义的运用．

4、过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则

+

等于（　　）

A、2aB、

C、4aD、

考点：

直线与圆锥曲线的综合问题。

专题：

计算题。

分析：

设PQ直线方程是

，则x1，x2是方程

的两根，

，同理q=x2r．由此可知

+

的值．

解答：

解：

如图：

设PQ直线方程是

，

则x1，x2是方程

的两根，

，

其中

同理q=x2r．

从而

故选C．

点评：

本题考查抛物线的性质和就任，解题时要认真审题，仔细解答．

5、过抛物线y2=8x的焦点，作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|长为（　　）

A、10B、8

C、6D、5

考点：

抛物线的应用。

专题：

计算题。

分析：

根据抛物线方程可求得准线方程，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1+2+x2+2答案可得．

解答：

解：

依题意可知p=4，

准线方程为x=﹣2，

根据抛物线的定义，

可知|AB|=x1+2+x2+2=10

故选A

点评：

本题主要考查抛物线的应用．属基础题．

6、过抛物线y2=2px的焦点F作弦PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（　　）

A、相离B、相切

C、相交D、不确定

考点：

抛物线的简单性质。

专题：

分析法。

分析：

先找到PQ的中点，然后设其到准线的距离是d，再得到P，Q到准线的距离，最后根据梯形中位线的关系可得到答案．

解答：

解：

设PQ的中点是M，M到准线的距离是d．

而P到准线的距离d1=PF，Q到准线的距离d2=QF．

又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=

=

．

即圆心M到准线的距离等于半径

，所以，圆与准线是相切．

故选B．

点评：

本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．

7、过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则∠AOB大小（　　）

A、小于90°B、等于90°

C、大于90°D、不能确定

考点：

抛物线的简单性质；抛物线的应用。

专题：

计算题。

分析：

根据抛物线方程写出焦点F的坐标，根据抛物线性质可知|AF|=|BF|=|=

，进而求得|OA|最后根据余弦定理取得cos∠AOB小于0，进而推断∠AOB＞90°．

解答：

解：

焦点坐标F坐标（

，0），|AF|=|BF|=

=p

|OA|2=|OB|2=p2+（

）2=

cos∠AOB=

=

=﹣

＜0

∴∠AOB＞90°

故选C

点评：

本题主要考查抛物线的简单性质．要理解好抛物线的定义，根据点到焦点和到准线的距离相等解题．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

8、抛物线y=

的准线方程是　y=2　．

考点：

抛物线的简单性质。

专题：

计算题。

分析：

先把抛物线方程整理成标准方程，求得p，进而可得准线方程．

解答：

解：

抛物线方程整理得：

x2=﹣8y

∴p=4

∴准线方程为y=2

故答案为：

y=2

点评：

本题主要考查了抛物线的性质．要特别注意抛物线的对称轴和开口方向．

9、经过P（﹣2，4）的抛物线的标准方程是　y2=﹣8x或x2=y　．

考点：

抛物线的标准方程。

专题：

计算题。

分析：

分别设焦点在x轴和在y轴上的抛物线的方程，然后将点P代入即可．

解答：

解：

①设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2=ax，将P点代入可得a=﹣8，

故抛物线的标准方程为y2=﹣8x

②设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2=by，将P点代入可得b=1

故抛物线的标准方程为x2=y

故答案为：

y2=﹣8x或x2=y

点评：

本题主要考查抛物线的标准方程．抛物线是高考的一个重要考点，要复习充分．

10、已知直线L：

y=﹣1及圆C：

x2+（y﹣2）2=1，若动圆M与L相切且与圆C外切，则动圆圆心M的轨迹方程为　x2=8y　．

考点：

抛物线的定义。

分析：

由已知条件观察|MC|与点M到直线y=﹣1的距离之间的关系，进而得出点M到直线y=﹣2的距离等于它到点C（0，2）的距离，

这满足抛物线定义，则写出其标准方程即可．

解答：

解：

设动圆M的半径为r，

因为动圆M与圆C外切，所以|MC|=r+1，

又动圆M与L相切，所以点M到直线y=﹣1的距离为r，

那么点M到直线y=﹣2的距离也为r+1，

则动点M到直线y=﹣2的距离等于它到点C（0，2）的距离，

所以点M的轨迹是抛物线，其轨迹方程为x2=8y．

点评：

本题考查抛物线定义及其标准方程．

11、抛物线C的对称轴是3x+4y﹣1=0，焦点为F（﹣1，1），且通过点（3，4），则抛物线的准线方程是　4x﹣3y±25=0　．

考点：

抛物线的简单性质。

专题：

计算题。

分析：

抛物线的对称轴与准线垂直，由已知得对称轴的斜率k0，准线斜率k，进而可设准线方程为4x﹣3y+c=0，根据点P到准线的距离等于到焦点的距离，进而可求得c，得到答案．

解答：

解：

抛物线的对称轴与准线垂直，由已知得对称轴的斜率k0=﹣

，准线斜率k=

，设准线方程为4x﹣3y+c=0

由已知，抛物线经过点P（3，4），该点到准线的距离为

=

，

而该点到焦点的距离为

=5，

考虑到抛物线的特性，有5=

，解得c=±25，

故准线方程为4x﹣3y±25=0

故答案为：

4x﹣3y±25=0．

点评：

本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．

三、解答题（共10小题，满分0分）

12、求焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上的抛物线的标准方程及其准线方程．

考点：

抛物线的标准方程；抛物线的简单性质。

专题：

计算题。

分析：

先根据抛物线是标准方程可确定焦点的位置，再由直线3x﹣4y﹣12=0与坐标轴的交点可得到焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标和抛物线的标准形式可得到标准方程．

解答：

解：

因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，

所以其焦点坐标即为直线3x﹣4y﹣12=0与坐标轴的交点

所以其焦点坐标为（4，0）和（0，﹣3）

当焦点为（4，0）时可知其方程中的P=8，

所以其方程为y2=16x，其准线方程为：

x=﹣4

当焦点为（0，﹣3）时可知其方程中的P=6，

所以其方程为x2=﹣12y，准线方程为：

y=3

点评：

本题主要考查抛物线的标准方程．抛物线的标准方程的焦点一定在坐标轴上且定点一定在原点．

13、已知抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点A到焦点F的距离为5，A点纵坐标为﹣3，求点A横坐标及抛物线方程．

考点：

抛物线的应用。

专题：

计算题。

分析：

根据A点纵坐标为﹣3可知抛物线开口向下，设抛物线的标准方程，根据抛物线的方程可知3+

=5求得p，进而可得到抛物线方程，把A点纵坐标代入方程，可求得A点的横坐标．

解答：

解：

根据A点纵坐标为﹣3可知抛物线开口向下，设抛物线方程x2=﹣2py

根据抛物线的定义可知3+

=5，p=4；

∴抛物线方程为x2=﹣8y，把y=﹣3代入抛物线方程可x=2

故A点横坐标为2

．

点评：

本题主要考查抛物线的应用和抛物线的定义，属基础题．

14、已知圆x2+y2﹣9x=0与顶点在原点O，焦点在x轴上的抛物线交于A，B两点，△AOB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C的方程．

考点：

抛物线的标准方程。

专题：

计算题。

分析：

先设A点坐标为（x1，y1）则可得B点坐标，设抛物线方程为y2=2px，根据F为△AOB的垂心可得AF⊥OB，可得x1和y1关系式，又根据A在圆上和抛物线上，分别可得x1和y1的另两个方程，最后联立消去x1和y1即可求的p，进而抛物线方程可得．

解答：

解：

设A点坐标为（x1，y1）则B点坐标为（x1，﹣y1），设抛物线方程为y2=2px，则焦点F（

，0）

∵F为△AOB的垂心AF⊥OB，

∴（

﹣x1）x1+y12=0①

∵A在圆上，∴x21+y21﹣9x1=0②

∵A在抛物线上，∴y21=2px1，③

①②③联立方程消去x1，y1，求得p=2

故抛物线方程为y2=4x，

点评：

本题主要考查了抛物线的标准方程和抛物线与其他圆锥曲线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的能力．

15、定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．

考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式。

分析：

先用A、B点的坐标表示点M，则点M到y轴的距离即为其横坐标建立距离模型，再利用基本不等式法求得最值，由取得等号的条件求得M点的坐标．

解答：

解：

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB长度为3，

那么x1=y12，x2=y22，

（1）

32=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=（y22﹣y12）2+（y2﹣y1）2=（y2﹣y1）2[（y2+y1）2+1]

（2）

线段AB的中点M（x，y）到y轴的距离为

由

（2）得x≥

，并且当（y1﹣y2）2=（y1+y2）2+1=3（3）

时x取得最小值x0=

下证x能达到最小值，根据题意不妨设y1＞y2，由（3）得

由此解得y1，y2，由

（1）解得x1，x2，所以x可取得最小值

．

相应的M点纵坐标

∴M点坐标为

点评：

本题主要考查建模和解模的能力．

16、设抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a+4，0）为圆心，|AB|为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M、N，点P是MN的中点．

（1）求|AM|+|AN|的值；

（2）是否存在实数a，恰使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？

若存在，求出a，若不存在，说明理由．

考点：

抛物线的应用；等差数列的性质。

专题：

计算题；综合题。

分析：

先设M、N、P在抛物线的准线上的射影分别为M′，N′，P′，根据抛物线的定义可得到|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=xM+xN+2a，然后联立抛物线与圆的方程消去y得到关于x的一元二次方程，进而可得到两根之和，即可得到|AM|+|AN|的值．

（2）先假设存在a满足条件，根据2|AP|=|AM|+|AN|，再由∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|可得到|，|AP|=|PP′|，故可得到点P必在抛物线上，但与点P是弦MN的中点矛盾，可得到结论．

解答：

解：

（1）设M、N、P在抛物线的准线上的射影分别为M′，N′，P′，由抛物线定义得：

|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=xM+xN+2a，又圆的方程为[x﹣（a+4）]2+y2=16，将y2=4ax代入得：

x2﹣2（4﹣a）•x+a2+8a=0，∴xM+xN=2（4﹣a），所以|AM|+|AN|=8．

（2）假设存在这样的a，使得：

2|AP|=|AM|+|AN|，

∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|，

∴|AP|=|PP′|．

由定义知点P必在抛物线上，这与点P是弦MN的中点矛盾，

所以这样的a不存在．

点评：

本题主要考查抛物线的基本性质．考查综合运用能力和计算能力．

17、一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上载有一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过？

考点：

抛物线的应用。

专题：

计算题。

分析：

先设抛物线解析式为x2=﹣2py（p＞0），把（26，﹣6.5）代入即可求得p，进而可求当y=6﹣6.5时，x的值再把2x与4进行比较．

解答：

解：

设抛物线解析式为x2=﹣2py（p＞0）

把（26，﹣6.5）代入，

解得抛物线：

x2=﹣52y

当y=6﹣6.5=﹣0.5时，

x=

，2x=2

＞4，

所以能通过．

点评：

本题主要考查抛物线的应用．需要先设出抛物线方程，通过题设求出此方程，进而达到解决问题的目的．

18、已知A（4，2），在焦点F的抛物线y2=4x上求一点M，使|MA|+|MF|为最小，并加以证明．

考点：

抛物线的简单性质。

专题：

计算题；综合题。

分析：

根据抛物线方程及A点坐标可以推知A点在抛物线内，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离，结合图象，易得过点A且与准线L垂直的直线与抛物线的交点即为所求．

解答：

证明：

设P是抛物线上任意一点，L是抛物线的准线，过P作PP1⊥L，垂足为P1，过A作AA1⊥L，垂足为A1，且交抛物线于点M，

∴|PA|+|PF|=|PA|+|PP1|≥|AA1|=|MA|+|MA1|=|MF|+|MA|，

即M点为所求．

把y=2代入y2=4x中，解得x=1，故M（1，2）．

点评：

本题主要考查了抛物线的定义，充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性，运用了转化思想和数形结合思想．

19、经过抛物线y2=2px的焦点F作倾角为θ的直线，若该直线与抛物线交于P1、P2两点．

（1）求|P1P2|；

（2）当θ变化时，求|P1P2|的最小值．

考点：

直线与圆锥曲线的综合问题。

专题：

计算题。

分析：

（1）根据题意可求得抛物线的焦点，进而可求得直线的方程，设P1（x1，y1），P2（x2，y2）把直线与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得x1+x2，然后根据抛物线定义可求得|P1P2|=x1+x2+p，答案可得．

（2）根据

（1）中关于|P1P2|的表达式化简整理后可知当θ=

时，由最小值．

解答：

解：

（1）抛物线焦点坐标为（

，0），则直线方程为y=tanθ（x﹣

），P1（x1，y1），P2（x2，y2）

代入抛物线方程得tan2θx2﹣（tan2θp+2p）x+

=0

则x1+x2=

根据抛物线定义可知|P1P2|=x1+

x2+

=x1+x2+p=

=

（2）由

（1）可知|P1P2|=

，

∵﹣1≤sinθ≤1

∴

≥2p

即|P1P2|的最小值为2p．

点评：

本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）．

20、抛物线以y轴为准线，且过点M（a，b）（a≠0），证明不论M点位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值．

考点：

抛物线的应用。

专题：

证明题。

分析：

设定点坐标为（x0，y0），设抛物线方程为（y﹣y0）2=2x0x根据抛物线定义得到|a|=

化简整理求得抛物线顶点的轨迹方程，进而求得e．

解答：

证明：

设定点坐标为（x0，y0），设抛物线方程为（y﹣y0）2=2x0x

根据抛物线定义可知|a|=

整理得

∴e=

=

∴抛物线顶点的轨迹的离心率是定值

点评：

本题主要考查了抛物线的应用．关键是利用了抛物线的定义．

21、如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=

，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．

考点：

轨迹方程。

专题：

应用题。

分析：

方法一：

由抛物线的定义知该曲线段是一段抛物线，建立适当的坐标系，依据题意求参数值．用定义法写出抛物线的方程．

方法二：

建立相应的坐标系，设出曲线段C上的任意一点的坐标（x，y），依据题意曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等得出方程整理即得抛物线的方程．

解答：

解：

法一：

如图建立坐标系，

以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．

依题意知：

曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点．

设曲线段C的方程为

y2=2px（p＞0），（xA≤x≤xB，y＞0），

其中xA，xB分别为A，B的横坐标，p=|MN|．

所以M（

，0），N（

，0）．

由|AM|=

，|AN|=3得

（xA+

）2+2pxA=17，①

（xA﹣

）2+2pxA=9．②

由①，②两式联立解得xA=

．再将其代入①式并由p＞0解得

因为△AMN是锐角三角形，所以

＞xA，故舍去

所以p=4，xA=1．

由点B在曲线段C上，得xB=|BN|﹣

=4．

综上得曲线段C的方程为

y2=8x（1≤x≤4，y＞0）．

解法二：

如图建立坐标系，

分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．

作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F．

设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）．

依题意有

xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，

yA=|DM|=

，

由于△AMN为锐角三角形，故有

xN=|ME|+|EN|

=|ME|+

=4

xB=|BF|=|BN|=6．

设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合

{（x，y）|（x﹣xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0}．

故曲线段C的方程为y2=8（x﹣2）（3≤x≤6，y＞0）．

点评：

考察利用坐标法求轨迹方程，以及抛物线的定义，本题主要是训练利用符号语言进行运算的能力．