初 四 二 次 函 数 数 学 试 题.docx
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初四二次函数数学试题
初四二次函数数学试题
一.选择题1.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=
在同一平面直角坐标系内的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0),与y轴的交点B在(0,-2)和(0,-1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:
①abc>0;②4a+2b+c>0;③4ac-b2<8a;④1/3<a<2/3; ⑤b>c.其中含所有正确结论的选项是( )A.①③B.①③④C.②④⑤D.①③④⑤
3.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(-1,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3;③3a+c>0④当y>0时,x的取值范围是-1≤x<3⑤当x<0时,y随x增大而增大;其中结论正确的个数是( )A.4个B.3个C.2个D.1个
4.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论:
①a-b+c>0;②3a+b=0;③b2=4a(c-n);④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等实数根.其中正确结论个数是( )A.1B.2C.3D.4
2题
3题
4题
5.二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为( )A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或3
6.如图,坐标平面上,二次函数y=-x2+4x-k的图形与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其顶点为D,且k>0.若△ABC与△ABD的面积比为1:
4,则k值为何?
( )
A.1B.1/2C.43/D.4/5
7.如图,直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点,抛物线与x轴交于A、B两点,其对称轴为直线x=1,且OA=OD.直线y=kx+c与x轴交于点C(点C在点B的右侧).则下列命题中①abc>0;②3a+b>0;③-1<k<0;④k>a+b;⑤ac+k>0.正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4
8.若实数m满足m2+2(1+2/m)=0,则下列对m值的估计正确的是( )
A.-2<m<-1B.-1<m<0C.0<m<1D.1<m<2
9.设函数y=kx2+(3k+2)x+1,对于任意负实数k,当x<m时,y随x的增大而增大,则m的最大整数值为( )A.2B.-2C.-1D.0
10.二次函数y=2x2-8x+m满足以下条件:
当-2<x<-1时,它图象位于x轴的下方;当6<x<7时,它的图象位于x轴的上方,则m值为( )A.8B.-10C.-42D.-24
11.已知抛物线y=x2-(4m+1)x+2m-1与x轴交于两点,如果有一个交点的横坐标大于2,另一个交点的横坐标小于2,并且抛物线与y轴的交点在点(0,−0.5)的下方,那么m的取值范围是( )A.1/6<m<1/4B.m<1/6C.m>1/4D.全体实数
12.如图在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx(k为常数)与抛物线y=1/3x2-2交于A,B两点,且A点在y轴左侧,P点坐标为(0,-4),连接PA,PB.以下说法:
①PO2=PA•PB;②当k>0时,(PA+AO)(PB-BO)的值随k的增大而增大;③当k=-
/3时,BP2=BO•BA;④△PAB面积的最小值为4
.正确的是( )A.③④B.①②C.②④D.①④
6题
7题
12题
二.填空题13.如果抛物线y=(m-1)x2的开口向上,那么m的取值范围是________m>1
.
14.如图二次函数y=ax2+bx+c图象一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出以下结论:
①abc<0②b2-4ac>0③4b+c<0④若B(-2.5,y1)、C(-0.5,y2)为函数图象上两点,则y1>y2 ⑤当-3≤x≤1时,y≥0,其中正确的结论是______(填写代表正确结论的序号)②③⑤
.
15.如图,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为_________
16.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B(m+2,0)与y轴相交于点C,点D在该抛物线上,坐标为(m,c),则点A的坐标是________
(-2,0)
17.已知M、N两点关于y轴对题称,且点M在双曲线y=1/2x上,点N在直线y=-x+3上,设点M坐标为(a,b),则y=-abx2+(a+b)x的顶点坐标为______.
18.当m=___________1
时,函数y=(m+1)xm2+1是二次函数.
19.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-2,10),且一元二次方程ax2+bx+c=0的根为-0.5和2,则该二次函数的解析关系式为____________
20.如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:
①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;④抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);⑤当1<x<4时,有y2<y1,其中正确的是_______
①③⑤
14题
15题
16题
20题
三.解答题21.如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.
22.如图,抛物线y=x2-3x+1.25与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点D是直线BC下方抛物线上一点,过点D作y轴的平行线,与直线BC相交于点E
(1)求直线BC的解析式;
(2)当线段DE的长度最大时,求点D的坐标.
23.如图二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C,点B在抛物线上,且与点C关于抛物线的对称轴对称,一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(-1,0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象,写出满足(x+2)2+m≥kx+b的x的取值范围.
24.某网店销售某款童装,每件售价60元,每星期可卖300件,为了促销,该网店决定降价销售.市场调查反映:
每降价1元,每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元,设该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润多少元?
(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润,每星期至少要销售该款童装多少件?
25.如图,已知抛物线y=1/3x2+bx+c经过△ABC三个顶点,其中点A(0,1),点B(-9,10),AC∥x轴,点P是直线AC下方抛物线上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时,求点P的坐标;
(3)当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
26.已知正三角形ABC,AB=a,点P,Q分别从A,C两点同时出发,以相同速度作直线运动,且点P沿射线AB方向运动,点Q沿射线BC方向运动.设AP的长为x,△PCQ的面积为S,
(1)求S关于x的函数关系式;
(2)当AP的长为多少时,△PCQ的面积和△ABC的面积相等?
27.如图,抛物线y=0.5x2+bx-2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(-1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点M是x轴上的一个动点,当△DCM的周长最小时,求点M的坐标.
28.点A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数y=x2+mx+n的图象上,当x1=1,x2=3时,y1=y2.
(1)①求m的值;②若抛物线与x轴只有一个公共点,求n的值;
(2)若P(a,b1),Q(3,b2)是函数图象上的两点,且b1>b2,求实数a的取值范围.
29.如图,抛物线y=0.25x2+bx+c与x轴交于点A(-2,0),交y轴于点B(0,−2.5).直线y=kx+1.5过点A与y轴交于点C,与抛物线的另一个交点是D.
(1)求抛物线y=0.25x2+bx+c与直线y=kx+1.5的解析式;
(2)设点P是直线AD下方的抛物线上一动点(不与点A、D重合),过点P作y轴的平行线,交直线AD于点M,作DE⊥y轴于点E.探究:
是否存在这样的点P,使四边形PMEC是平行四边形?
若存在请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在
(2)的条件下,作PN⊥AD于点N,设△PMN的周长为m,点P的横坐标为x,求m与x的函数关系式,并求出m的最大值.
30.如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(-2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;
(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.
31如图,抛物线y=ax2+bx+1经过点(2,6),且与直线y=0.5x+1相交于A,B两点,点A在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若P是直线AB上方该抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交AB于点E,求线段PE的最大值;
(3)在
(2)的条件,设PC与AB相交于点Q,当线段PC与BE相互平分时,请求出点Q的坐标.
32如图,抛物线y=0.5x2+bx-2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(-1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当CM+DM的值最小时,求m的值.
33如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(0,3),C(-1,0).将矩形OABC绕原点O顺时针方向旋转90°,得到矩形OA′B′C′.设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N,抛物线经过点C、M、N.解答下列问题:
(1)求直线BB′的函数解析式;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上求出使S△PB′C′=4.5S矩形OABC的所有点P的坐标.
一1解:
由抛物线可知,a>0,b<0,c<0,∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限,
反比例函数y=c/x的图象在第二、四象限,故选:
B
2解:
①∵函数开口方向向上,∴a>0;∵对称轴在y轴右侧∴ab异号,∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴,∴c<0,∴abc>0,故①正确;②∵图象与x轴交于点A(-1,0),对称轴为直线x=1,
∴图象与x轴的另一个交点为(3,0),∴当x=2时,y<0,∴4a+2b+c<0,故②错误;③∵图象与x轴交于点A(-1,0).∴当x=-1时.y=(-1)2a+b×(-1)+c=0.∴a-b+c=0.即a=b-c.c=b-a,∵对称轴为直线x=1∴−b/2a=1,即b=-2a,∴c=b-a=(-2a)-a=-3a,∴4ac-b2=4•a•(-3a)-(-2a)2=-16a2<0,∵8a>0,
∴4ac-b2<8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在(0,-2)和(0,-1)之间,∴-2<c<-1∴-2<-3a<-1,
∴2/3>a>1/3;故④正确⑤∵a>0,∴b-c>0,即b>c;故⑤正确;故选:
D
3解:
∵抛物线与x轴有2个交点,∴b2-4ac>0,所以①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,
而点(-1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3,所以②正确;∵x=-b/2a=1,即b=-2a,而x=-1时,y=0,即a-b+c=0,∴a+2a+c=0,所以③错误;
∵抛物线与x轴的两点坐标为(-1,0),(3,0),∴当-1<x<3时,y>0,所以④错误;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴当x<1时,y随x增大而增大,所以⑤正确.故选B
4解:
∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间.∴当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,所以①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=-b/2a=1,即b=-2a,∴3a+b=3a-2a=a,所以②错误;
∵抛物线的顶点坐标为(1,n),∴(4ac−b2)/4a=n,∴b2=4ac-4an=4a(c-n),所以③正确;
∵抛物线与直线y=n有一个公共点,∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点,∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根,所以④正确.故选C
5解:
∵当x>h时,y随x的增大而增大,当x<h时,y随x的增大而减小,∴①若h<1≤x≤3,x=1时,y取得最小值5,可得:
(1-h)2+1=5,解得:
h=-1或h=3(舍);②若1≤x≤3<h,当x=3时,y取得最小值5,可得:
(3-h)2+1=5,解得:
h=5或h=1(舍).综上,h的值为-1或5,故选:
B
6解:
∵y=-x2+4x-k=-(x-2)2+4-k,∴顶点D(2,4-k),C(0,-k),∴OC=k,∵△ABC的面积=0.5AB•OC=0.5AB•k,△ABD的面积=0.5AB(4-k),△ABC与△ABD的面积比为1:
4,∴k=1/4(4-k),解得:
k=4/5.故选:
D
7解∵抛物线开口向上,∴a>0.∵抛物线对称轴是x=1,∴b<0且b=-2a.∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0.∴①abc>0错误;②3a+b>0正确;∵直线y=kx+c经过一、二、四象限,∴k<0.∵OA=OD,∴点A的坐标为(c,0).直线y=kx+c当x=c时,y>0,∴kc+c>0可得k>-1.∴③-1<k<0正确;∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c图象有两个交点∴ax2+bx+c=kx+c,得x1=0,x2=(k-b)/a.由图象知x2>1,∴(k-b)/a>1∴k>a+b∴④k>a+b正确;∵2a+b=0,c(ac+b+1)=0,∴2a-ac=1.∴ac=2a-1,∵-1<k<0,∴⑤令ax2+bx+c=kx+c,∴ax+b=k,∵b=-2a,∴x=(k+2a)/a.∵交点在B(2-c,0)右边,∴(k+2a)/a>2-c,∴k+2a>2a-ac,∴ac+k>0,故正确.故选D
8解:
∵m2+2(1+2/m)=0,∴m2+2+4/m=0,∴m2+2=-4/m,∴方程的解可以看作是函数y=m2+2与函数y=-4/m的交点的横坐标,作函数图象如图,在第二象限,函数y=m2+2的y值随m的增大而减小,函数y=-4/m的y值随m的增大而增大,当m=-2时y=m2+2=4+2=6,y=-4/m=-4/(-2)=2,∵6>2,∴交点横坐标大于-2,当m=-1时,y=m2+2=1+2=3,y=-4/m=-4/(-1)=4,∵3<4,∴交点横坐标小于-1,∴-2<m<-1.故选A
9解:
∵对于任意负实数k,当x<m时,y随x的增大而增大,∵k为负数,即k<0,∴函数y=kx2+(3k+2)x+1表示的是开口向下的二次函数,∴在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,∵对于任意负实数k,当x<m时,y随x的增大而增大,∴x=-b/2a=-(3k+2)2/k∴m≤-(3k+2)/2k=−3/2−1/k.∵k<0,∴-1/k>0∴−1/k−3/2>−3/2,∵m≤−1/k−3/2对一切k<0均成立,∴m≤-−(3k+2)/2k的最小值是−3/2,∴m的最大整数值是m=-2.故选:
B
10解:
∵抛物线y=2x2-8x+m=2(x-2)2-8+m的对称轴为直线x=2,而抛物线在-2<x<-1时,它的图象位于x轴的下方;当6<x<7时,它的图象位于x轴的上方∴抛物线过点(-2,0),(6,0),把(-2,0)代入y=2x2-8x+m得8+16+m=0,解得m=-24.故选D
11解:
根据题意令f(x)=x2-(4m+1)x+2m-1,∵抛物线y=x2-(4m+1)x+2m-1与x轴有一个交点横坐标大于2,另一个交点横坐标小于2,且抛物线开口向上,∴f
(2)<0,即4-2(4m+1)+2m-1<0,解得:
m>1/6,又∵抛物线与y轴的交点在点(0,−0.5)的下方,∴f(0)<-1/2,解得:
m<1/4,综上可得:
1/6<m<1/4,故选A
12解:
设A(m,km),B(n,kn),其中m<0,n>0.联立y=1/3x2-2与y=kx得:
1/3x2-2=kx,即x2-3kx-6=0,∴m+n=3k,mn=-6.设直线PA的解析式为y=ax+b,将P(0,-4),A(m,km)代入得:
b=−4,ma+b=km,解得a=(km+4)/m,b=-4,∴y=((km+4)/m)x-4.令y=0,得x=4m/(km+4),∴直线PA与x轴的交点坐标为(4m/(km+4),0).同理可得,直线PB的解析式为y=((kn+4)/n)x-4,直线PB与x轴交点坐标为(4n/(kn+4),0).∵4m/(km+4)+4n/(kn+4)=4m(kn+4)+4n(km+4)/(km+4)(kn+4)=8kmn+16(m+n)/(km+4)(kn
+4)=[8k•(−6)+16•3k]/(km+4)(kn+4)=0,∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称,即直线PA、PB关于y轴对称.
(1)说法①错误.理由如下:
如答图1所示,∵PA、PB关于y轴对称,∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上.连接OA′,则OA=OA′,∠POA=∠POA′.
假设结论:
PO2=PA•PB成立,即PO2=PA′•PB,∴PC/PA’=PB/PC,又∵∠BPO=∠BPO,∴△POA′∽△PBO,∴∠POA′=∠PBO,∴∠AOP=∠PBO.而∠AOP是△PBO的外角,∴∠AOP>∠PBO,矛盾,∴说法①错误.
(2)说法②错误.理由如下:
易知:
OB/OA=n/m,∴OB=-n/mOA.由对称可知,PO为△APB的角平分线,∴PB/PA=OB/OA,∴PB=-n/mPA.∴(PA+AO)(PB-BO)=(PA+AO)[-n/mPA-(-n/mOA)]=-n/m(PA+AO)(PA-OA)=-n/m(PA2-AO2).如答图2所示,过点A作AD⊥y轴于点D,则OD=-km,PD=4+km.∴PA2-AO2=(PD2+AD2)-(OD2+AD2)=PD2-OD2=(4+km)2-(-km)2=8km+16,∵m+n=3k,∴k=1/3(m+n),∴PA2-AO2=8×1/3(m+n)•m+16=/3m2+8/3mn+16=8/3m2+8/3×(-6)+16=8/3m2.∴(PA+AO)(PB-BO)=-n/m(PA2-
AO2)=-n/m•8/3m2=-8/3mn=-8/3×(-6)=16.即(PA+AO)(PB-BO)为定值,所以说法②错误.(3)说法③正确.理由如下:
当k=
/3时,联立方程组:
y=-
/3x,y=1/3x2−2,得A(-2
,2),B(
,-1),∴BP2=12,BO•BA=2×6=12,∴BP2=BO•BA,故说法③正确.(4)说法④正确.理由如下:
S△PAB=S△PAO+S△PBO
=0.5OP•(-m)+0.5OP•n=0.5OP•(n-m)=2(n-m)=2
,∴当k=0时,△PAB面积有最小值,最小值为2
=4
.故说法④正确.综上所述,正确的说法是:
③④.故选A
二13解:
因为抛物线y=(m-1)x2的开口向上,所以m-1>0,即m>1,故m取值范围是m>1
14解:
∵△PCD是解:
由图象可知,a<0,b<0,c>0,∴abc>0,故①错误.∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故②正确.∵抛物线对称轴为x=-1,与x轴交于A(-3,0),∴抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),∴a+b+c=0,-b/2a=-1,∴b=2a,c=-3a,∴4b+c=8a-3a=5a<0,故③正确.∵B(-2.5,y1)、C(-0.5,y2)为函数图象上的两点,又点C离对称轴近,∴y1,<y2,故④错误,由图象可知,-3≤x≤1时,y≥0,故⑤正确.∴②③⑤正确,故答案为②③⑤.
15以CD为底等腰三角形,∴点P在线段CD垂直平分线上,如图,过P作PE⊥y轴于点E,则E为线段CD的中点,∵抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,∴C(0,3),且D(0,1),∴E点坐标为(0,2),∴P点纵坐标为2,在y=-x2+2x+3中,令y=2,可得-x2+2x+3=2,解得x=1±
,∴P点坐标为(1+
,2)或(1-
,2),故答案为:
(1+
,2)或(1-
,2).
16解:
由C(0,c),D(m,c),得函数图象的对称轴是x=m/2,设A点坐标为(x,0),由A、B关于对称轴x=m/2,得(x+m+2)/2=m/2,解得x=-2,即A点坐标为(-2,0),故答案为:
(-2,0).
17解:
∵M、N两点关于y轴对称,∴M坐标为(a,b),N为(-a,b),分别代入相应的函数中得,b=1/2a①,a+3=b②,∴ab=0.5,(a+b)2=(a-b)2+4ab=11,a+b=±
,∴y=-0.5x2±
x,∴顶点坐标为(−b/2a=±
,(4ac−b2)/4a=11/2),即(±
,11/2).故答案为:
(±
,11/2),
18解:
根据题意得:
m2+1=2且m+1≠0,解得m=±1且m≠-1,所以m=1.故答案为:
1
19解:
二次函数关系式变为y=a(x+0.5)(x-2)把点(-2,10)代入得:
a=5/3,∴y=5/3x2−5/5x−5/3.
20解:
∵对称轴x=-b/2a=1,∴2a+b=0,①正确;∵a<0,∴b>0,∵抛物线与y轴的交点在正半轴上,∴c>0,∴abc<0,②错误;∵把抛物线y=ax2+bx+c向下平移3个单位,得到y=ax2+bx+c-3,∴顶点坐标A(1,3)变为(1,0),抛物线与x轴相切,∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,③正确;∵对称轴是直线x=1,与x轴的一个交点是(4,0),∴与x轴的另一个交点是(-2,0),④错误;∵当1<x<4时,由图象可知y2<y1,∴⑤正确.正确的有①③⑤.故答案为:
①③⑤.
三21解:
(1)把点B的坐标为(3,0)代入抛物线y=-x2+mx+3得:
0=-32+3m+3,解得:
m=2,
∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴顶点坐标为:
(1,4).
(2)连接BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA+PC的值最小,设直线BC的解析式为:
y=kx+b,
∵点C(0,3),点B(3,0),∴0=3k+b,3=b,解得:
k=−1,b=3,∴直线BC的解析式为:
y=-x+3,
当x=1时,y=-1+3=2,∴当
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