衡水中学届高三第一次联合理科数学试题解析版.docx
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衡水中学届高三第一次联合理科数学试题解析版
河北衡水中学2020届全国高三第一次联合考试理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成,答在本试卷上无效。
3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时.将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,集合,则()
A.B.C.D.
2.已知为虚数单位,,设是的共轭复数,则在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.由我国引领的5G时代已经到来,5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造岀更多的经济增加值。
如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合右图,下列说法错误的是()
A.5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B.设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓
C.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
D.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
4.已知等比数列的前项和为,若,则()
A.B.C.D.8
5.已知是自然对数的底数,则,的大小关系为()
A.B.C.D.
6.“角谷定理”的内容为对于每一个正整数.如果它是奇数.则对它乘3再加1.如果它是偶数.则对它除以2.如此循环,最终都能够得到1.右图为研究角谷定理的一个程序框图.若输入的值为10.则输出的值为()
A.5B.6C.7D.8
7.已知单位向量分別与平面直角坐标系轴的正方向同向,且向量,,则平面四边形的面积为()
A.B.C.10D.20
8.已知向量,且函数,则下列说法正确的是()
A.若是方程的两根,则是的整数倍
B.当时,取得最大值
C.是函数的一个单调递增区间
D.将函数的图象向左平移个单位长度得到一个奇函数图象
9.“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门,该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中,“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有()
A.192种B.240种C.432种D.528种
10.已知函数,,若函数恰有两个零点,则的取值范围是()
A.B.C.D.
11.在菱形中,,将这个菱形沿对角线折起,使得平面平面,若此时三棱锥的外接球的表面积为,则的长为()
A.B.C.D.3
12.已知椭圆的左、右焦点分别为,过的直线交于两点.若,则椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线在点处的切线方程为。
14.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆。
已知大椭圆的长轴长为40cm,短轴长为20cm,小椭圆的短轴长为10cm,则小椭圆的长轴长为cm.
15.的展开式的系数为。
16.将数列中的项排成下表:
已知各行的第一个数构成数列,且的前项和满足,从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列,且公差为同一个常数.若,则第5行的所有项的和为。
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,毎个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
在中,角所对的边分别是,且
(1)求角的大小;
(2)设,求的值.
18.(12分)
如图,在四棱锥中,底面为等腰梯形,,,,点为的中点,连接,交于点,平面.
(1)若点是线段上任意一点,求证:
平面平面.
(2)若点为的中点,且,求二面角的余弦值.
19.(12分)
已知是抛物线的焦点,恰好又是双曲线的右焦点,双曲线过点,且其离心率为。
(1)求抛物线和双曲线的标准方程;
(2)已知直线过点,且与抛物线交于两点,以为直径作圆,设圆与轴交于点,求的最大值.
20.(12分)
已知函数在处取得极小值.
(1)求实数的值;
(2)若函数存在极大值与极小值,且函数有两个零点,求实数的取值范围。
(参考数据:
)
21.(12分)
2019年7月1日至3日,世界新能源汽车大会在海南博鳌召开,大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善。
某汽车公司顺应时代潮流,最新研发了一款新能源汽车,并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试。
现对测试数据进行分析,得到如下的频率分布直方图:
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).
(2)根据大量的汽车测试数据,可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布),经计算第
(1)问中样本标准差的近似值为50。
用样本平均数作为的近似值,用样本标准差作为的估计值,现任取一辆汽车,求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.
参考数据:
若随机变量服从正态分布,则,,
⑶某汽车销售公自为推广此款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动,客户可根据抛掷硬币的结果,操控微型遥控车在方格图上行进,若遥控车最终停在“胜利大本营”,则可获得购车优惠券。
已知硬币出现正、反面的概率都是,方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第50格。
遥控车开始在第0格,客户每掷一次硬币,遥控车向前移动一次,若掷出正面,遥控车向前移动一格(从到),若掷出反面,遥控车向前移动两格(从到),直到遥控车移到第49格(胜利大本营)或第50格(失败大本营)时,游戏结束。
设遥控车移到第格的概率为,试说明是等比数列,并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车。
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程](10分)
已知在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中曲线的极坐标方程为,在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数)
(1)设曲线与直线的交点为,求弦的长度;
(2)若动点在曲线上,在
(1)的条件下,试求面积的最大值.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
已知函,
(1)解不等式;
(2)若对于任意的实数,都有恒成立,求实数的取值范围.
河北衡水中学2020届全国高三第一次联合考试·理科数学
一、选择题
1.C.
【解析】由题意知集合,解得,所以.故选C.
2.D
【解析】,则,所以对应的点位于第四象限.故选D.
3.D
【解析】设备制造商的经济产出在2029年将被信息服务商超过.故选D.
4.A
【解析】由,可得,则,.故选A.
5.A
【解析】由指数函数和对数函数的单调性可知,,,.故选A.
6.B
【解析】
(1);
(2);(3);(4);(5);(6);(7).故选B.
7.C
【解析】由向量正交分解的定义可知,,,则,.因为,所以,所以平面四边形的对角线互相垂直,所以该四边形的面积为.故选C.
8.C
【解析】由题意得,,若,是方程的两根,则是的整数倍,或关于直线对称,故A错误;,B错误;由得,故C正确;函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,故D错误.故选C.
9.C
【解析】若“阅读文章”与“视听学习”相邻,则有种可能;若“阅读文章”与“视听学习”相隔一个答题板块,则有种可能,故共有432种可能.故选C.
10.D
【解析】当时,,则,令,则,令,则,所以函数在上单调递减,在上单调递增,且当时,,当时,,作出函数的图象如图所示.作出直线,由图象可知当函数恰有两个零点时,或.故选D.
11.B
【解析】如图①所示,取的中点M,连接,,由题意知,都是等边三角形,设边长为a.如图②,由题意知为等腰直角三角形,在中,P,Q分别是,上靠近M的三等分点.即为三棱锥外接球的半径.在中,,解得.故选B.
12.D
【解析】根据题意,,结合椭圆的定义得.又,则,.如图,取的中点E,连接,在,中,应用勾股定理,可解得或(不合题意,舍去),所以高心率为.故选D.
二、填空题
13.
【解析】由题意知,所以曲线在点处的切线的斜率.又因为,所以切线方程为,化简得.故填.
14.20
【解析】在大椭圆中,,,则,.因为两椭圆扁平程度相同,所以离心率相等,所以在小椭圆中,,结合,得,所以小椭圆的长轴长为20.故填20.
15.
【解析】由题意得.故填.
16.384
【解析】因为(,且),所以,,位于第8行第3列,因此,故.第5行共有16个元素,则第5行所有项的和为.故填384.
三、解答题
(一)必考题
17.解:
(1)由正弦定理得,化简得.(2分)
因为在三角形中,,
可得.(4分)
又因为,所以.(6分)
(2)由余弦定理得,
解得,(9分)
由正弦定理得.(12分)
18.
(1)证明:
在等腰梯形中,
因为,,,所以.
又因为E是的中点,
所以四边形是菱形,所以.
因为平面,平面,
所以.
因为平面,平面,,
所以平面.
因为平面,
所以平面平面.(5分)
(2)解:
由
(1)知,是等边三角形.如图,取的中点F,连接,可知且.
由,得.
以E为坐标原点,,,分别为x,y,z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
所以,,,,.
因为H是的中点,所以.
易知是等边三角形且,
所以,.
因为在中,,,
所以.
所以.
因为M为的中点,所以.(7分)
所以,.
设平面的一个法向量为,
则所以(9分)
令,则.
同理可知,平面的一个法向量为,(10分)
所以,(11分)
由图知,二面角的平面角为锐角,
所以二面角的余弦值为.(12分)
19.解:
(1)由题意得,,所以,
所以双曲线C的方程可化为,(1分)
将点代入得,(2分)
所以双曲线C的标准方程为,右焦点F的坐标为,(3分)
此时,
抛物线E的标准方程为.(4分)
(2)①当直线的斜率不存在时,
直线的方程为,此时,,
圆M的方程为,,,.(6分)
②当直线的斜率存在时,
设直线的方程为,由题意得,
联立直线与抛物线的方程
得.
设,,
则有,,(7分)
所以,
.(8分)
设圆M的半径为r,则.(9分)
过点M作,垂足为N,
则在中,
.(10分)
所以,因而,(11分)
综上所述,的最大值为.(12分)
20.解:
(1)由题意得.(1分)
因为函数在处取得极小值,
依题意知,解得或.
当时,,
若,,则函数单调递减,
若,,则函数单调递增,
所以,当时,取得极小值,无极大值,符合题意.(3分)
当时,,
若或,,
则函数单调递增;
若,,则函数单
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