奥数讲座1年级上16讲.docx
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奥数讲座1年级上16讲
一年级奥数讲座
(一)
目录
第一讲速算与巧算
(一)
第二讲速算与巧算
(二)
第三讲数数与计数
(一)
第四讲数数与计数
(二)
第五讲数数与计数(三)
第六讲数数与计数(四)
第七讲填图与拆数
(一)
第八讲填图与拆数
(二)
第九讲分组与组式
第十讲自然数串趣题
第十一讲不等与排序
第十二讲奇与偶
第十三讲是与非
第十四讲火柴棍游戏
(一)
第十五讲火柴棍游戏
(二)
第十六讲火柴棍游戏(三)
附录一点、线、角
附录二长方形、正方形、三角形和圆
附录三多边形和扇形
附录四立体图形的认识
第一讲速算与巧算
(一)
一、凑十法:
同学们已经知道,下面的五组成对的数相加之和都等于10:
1+9=10
2+8=10
3+7=10
4+6=10
5+5=10
巧用这些结果,可以使计算又快又准。
例1计算
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
解:
对于这道题,当然可以从左往右逐步相加:
1+2=33+3=6
6+4=1010+5=15
15+6=2121+7=28
28+8=3636+9=45
45+10=55
这种逐步相加的方法,好处是可以得到每一步的结果,但缺点是麻烦、容易出错;而且一步出错,以后步步都错。
若是利用凑十法,就能克服这种缺点。
二、凑整法
同学们还知道,有些数相加之和是整十、整百的数,如:
1+19=2011+9=30
2+18=2012+28=40
3+17=2013+37=50
4+16=2014+46=60
5+15=2015+55=70
6+14=2016+64=80
7+13=2017+73=90
8+12=2018+82=100
9+11=20
又如:
15+85=10014+86=100
25+75=10024+76=100
35+65=10034+66=100
45+55=10044+56=100等等
巧用这些结果,可以使那些较大的数相加又快又准。
像10、20、30、40、50、60、70、80、90、100等等这些整十、整百的数就是凑整的目标。
例2计算
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
解:
这是求1到19共10个单数之和,用凑整法做:
例3计算
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
解:
这是求2到20共10个双数之和,用凑整法做:
例4计算
2+13+25+44+18+37+56+75
解:
用凑整法:
三、用已知求未知
利用已经获得较简单的知识来解决面临的更复杂的难题这是人们认识事物的一般过程,凑十法、凑整法的实质就是这个道理,可见把这种认识规律用于计算方面,可使计算更快更准。
下面再举两个例子。
例5计算
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20
解:
由例2和例3,已经知道从1开始的前10个单数之和以及从2开始的前10个双数之和,巧用这些结果计算这道题就容易了。
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20
=(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)+(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)
=100+110(这步利用了例2和例3的结果)
=210
例6计算5+6+7+8+9+10
解:
可以利用前10个自然数之和等于55这一结果。
5+6+7+8+9+10
=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)-(1+2+3+4)
(熟练后,此步骤可省略)
=55-10=45
四、改变运算顺序
在只有加减运算的算式中,有时改变加、减的运算顺序可使计算显得十分巧妙!
例7计算
10-9+8-7+6-5+4-3+2-1
解:
这题如果从左到右按顺序进行加减运算,是能够得出正确结果的。
但因为算式较长,多次加减又繁又慢且容易出错。
如果改变一下运算顺序,先减后加,就使运算显得非常“漂亮”。
下式括号中的算式表示先算,
10-9+8-7+6-5+4-3+2-1
=(10-9)+(8-7)+(6-5)+(4-3)+(2-1)
=1+1+1+1+1=5
五、带着“+”、“-”号搬家
例8计算
1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11
解:
这题只有加减运算,而且1-2不够减。
我们可以采用带着加减号搬家的方法解决。
要注意每个数自己的符号就是这个数前面的那个“+”号或“-”号,搬家时要带着符号一起搬。
1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11
=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10
=1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+(9-8)+(11-10)[先减后加]
=1+1+1+1+1+1
=6
在这道题的运算中,把“+3”搬到“-2”的前面,把“+5”搬到了“-4”的前面,……把“+11”搬到了“-10”的前面,这就叫带着符号搬家。
巧妙利用这种搬法,可以使计算简便。
第二讲速算与巧算
(二)
例1哥哥和妹妹分糖。
哥哥拿1块,妹妹拿2块;哥哥拿3块,妹妹拿4块;接着哥哥拿5块、7块、9块、11块、13块、15块,妹妹拿6块、8块、10块、12块、14块、16块。
你说谁拿得多,多几块?
解:
方法1:
先算哥哥共拿了多少块?
再算妹妹共拿了多少块?
72-64=8(块)
方法2:
这样想:
先算每次妹妹比哥哥多拿几块,再算共多拿了多少块。
(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)
=1+1+1+1+1+1+1+1
=8(块)
可以看出方法2要比方法1巧妙!
平时注意积累,记住一些有趣的和重要的运算结果,非常有助于速算。
比如,请同学记住几个自然数相加之和:
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
1+2+3+4+5+6=21
1+2+3+4+5+6+7=28
1+2+3+4+5+6+7+8=36
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
例2星期天,小明家来了9名小客人。
小明拿出一包糖,里面有54块。
小明说:
“咱们一共10个人,每人都要分到糖,但每人分到的糖块数不能一样多,谁会分?
”结果大家都无法分,你能帮他们分好吗?
解:
按小明提的要求确实无法分。
因为要使得每个人都得到糖,糖块数人人不等,需要糖块数最少的分法是:
第一人分到1块,第二人分到2块,…第十人分到10块。
但是,这种分法共需要有
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55(块)
而小明这包糖一共才54块,所以按这种方法无法分。
如果改变一下,有一人少得1块糖,比如说,应该得10块糖的小朋友只分到了9块,但是这样一来,他就和另一个先分得9块糖的那个小朋友一样多了,这又不符合小明提出“每人分到的糖块数不能一样多”的要求。
(注意:
“按小明提的要求无法分”就是此题的答案。
在数学上“无解”也叫问题的答案。
)
例3时钟1点钟敲1下,2点钟敲2下,3点钟敲3下,……照这样敲下去,从1点到12点,这12个小时时钟共敲了几下?
解:
这是一道美国小学奥林匹克试题,要求在3分钟内就要得出答案。
方法1:
凑十法
方法2:
如果能记住从1到10前十个自然数之和是55,计算会更快。
(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+11+12
=55+11+12=78(下)
第三讲数数与计数
(一)
例1请你数一数,下图中共有多少个“×”?
解:
①分层数
②先按“实心”三角形计算,再减去“空白”三角形中“×”的个数
(1+3+5+7+9+11+13+15+17)-(5+3+1)
例2下图所示的“塔”由4层没有缝隙的小立方块垒成,求塔中共有多少小立方块?
从顶层开始数,各层小立方块数是:
第一层:
1块;
第二层:
3块;
第三层:
6块;
第四层:
10块;
总块数1+3+6+10=20(块)。
从上往下数,第一层:
1块;
第二层:
第一层的1块加第二层“看得见”的2块等于第二层的块数:
1+2=3块;
第三层:
第二层的3块加第三层“看得见”的3块等于第三层的块数:
3+3=6块;
第四层:
第三层的6块加第四层“看得见”的4块等于第四层的块数:
6+4=10块。
总块数1+3+6+10=20(块)
例3右图是由小立方体码放起来的,其中有一些小立方体被压住看不见。
请你数一数共有多少小立方体?
解:
从右往左数,并且编号
第一排:
1块;
第二排:
7块;
第三排:
5块;
第四排:
9块;
第五排:
16块;
总数:
1+7+5+9+16=38(块)。
例4数一数下面的立体图形的面数、棱数和顶点数各是多少?
面数:
4
棱数:
6
顶点数:
4
面数:
5
棱数:
8
顶点数:
5
第四讲数数与计数
(二)
数数与计数时,注意不应漏掉,不应重复。
如果漏掉了,要加上;如果重复了,要减掉。
例1小朋友排队,小红前面4个人,后面3个人,问这队共有几个人?
解:
这队的总人数要数上小红,所以是4+3+1=8(人)。
例2排好队,来报数,
正着报数我报七,
倒着报数我报九,
一共多少小朋友?
解:
见下图
正着报数“我”报了一次,倒着报数“我”又报了一次,所以把两次报数加起来时,“我”被加了两次。
因此算这队的总人数时,应从两次报数之和减1。
7+9-1=15(人)。
也可以这样想:
正着报数报到我为止,倒着报数时,我就不报了,只报到我的后面相邻的那个人他应该报8,所以全队总人数是:
7+(9-1)=15(人)。
例3少先队员排成队去参观科技馆。
从排头数起刘平是第20个;从排尾数起,张英是第23个。
已知刘平的前一个是张英。
问这队少先队员共有多少人?
解:
画示意图,用点代表少先队员。
由图可见,从排头数起时,把张英和刘平数了一次。
由排尾数起时,又把刘平和张英数了一次,可见把他两人多数了一次,所以点总人数时,应减去多数的那一次才对。
20+23-2=41(人)。
例445个小朋友排成一队去春游。
从排头往后数,小刚是第19个;从排尾往前数,小莉是第12个,问小刚和小莉中间有几个人?
解:
画示意图。
用点“·”代表人
由图可见,小刚和小莉中间的人数是:
45-(19+12)=14(人)。
例5一班同学做花,做红花的有38人,做黄花的有39人,没有做花的有3人。
如果全班55人,那么既做红花又做黄花的有多少人?
解:
画图如下:
由图可见,做花的人:
55-3=52(人)。
图中阴影部分表示两色花都做的人:
38+39-52=25(人)。
第五讲数数与计数(三)
例1
小朋友,张开手,
五个手指人人有。
手指之间几个“空”,
请你仔细瞅一瞅?
(注)“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。
解:
见右图看一看、数一数可知:
5个手指间有4个“空”。
“空”又叫“间隔”,也就是,人的一只手有5个手指4个间隔。
例2小朋友在一段马路的一边种树。
每隔1米种一棵,共种了11棵,问这段马路有多长?
解:
画示意图如下:
由图可见,这段马路的11棵树之间有10个“空”,也就是10个间隔。
每个间隔长1米,10个间隔长10米。
也就是说这段马路长10米。
像这类问题一般叫做“植树问题”。
可以得出一个公式:
当两头都种树时:
例3把一根粗细一样的木头锯成5段,需要4分钟。
①如果把这根木头锯成10段,需要几分钟?
②如果把这根木头锯成100段,需要几分钟?
解:
画出示意图:
由图可见,把木头锯成5段,只需锯4次。
所以锯一次需1分钟。
①同样道理,把这根木头锯成10段,只需锯9次,所以需9分钟。
②同理,把这根木头锯成100段,只需锯99次,所以需99分钟。
例4鼓楼的钟打点报时,5点钟打5下需要4秒钟。
问中午12点时打12下需要几秒钟?
解:
画示意图。
钟打一下用一个点代表,打5下画5个点。
由图可见,钟打5下中间有4个时间间隔,4个间隔是4秒钟,每个间隔就是1秒钟。
由此推理钟打12下时有12-1=11个时间间隔,故用11秒钟。
第六讲数数与计数(四)
本讲采用枚举法解决数数与计数的问题。
比如老奶奶数鸡蛋,她小心翼翼地把鸡蛋从蓝子里一个一个地往外拿,边拿边数。
篮子里的鸡蛋拿光了,有多少个鸡蛋也就数出来了。
这种最简单的数数与计数的方法就叫做枚举法。
例1用
分别写有数字1和2的两张纸片,能够排出多少个不同的二位数?
解:
用代表这两张纸片。
把所有可能的排法枚举出来,可知能排出两个二位数来。
它们是:
例2用分别写有数字0,1,2的三张纸片
能排出多少个不同的二位数?
解:
因为“0”不能作为首位数字,所以只能排出4个二位数,它们是:
1作十位数字,0或2作个位数字:
2作十位数字,0或1作个位数字:
例3用分别写有数字1,2,3的三张纸片
能排出多少不同的三位数?
解:
用枚举法,即把所有可能排出的每一个三位数都写出来。
再数一数共有多少个。
共6个不同的三位数。
例4小明左边抽屉里放有三张数字卡片
右边抽屉里也放有三张卡片
。
如果他每次从左右两边抽屉里任意各拿一张出来,组成一个二位数,在纸上记下来之后,再把卡片放回各自原来的抽屉里。
然后再拿、再组数、再记、再放回……这样一直做下去,问他一共可能组成多少个不同的二位数?
解:
不妨假设小明先从左边抽屉拿,把拿出的数字卡片排在十位;再从右边抽屉拿,把拿出的数字卡片排在个位。
下面是记下来的所有不同的二位数:
11,12,13,21,22,23,31,32,33。
共9个不同的二位数。
例5有一群人,若规定每两个人都握一次手而且只握一次手,求他们共握多少次手?
假设这群人是:
①两个人,②三个人,③四个人
解:
画图。
用点“·”代表人。
如果两人握一次手就在两个点之间连一条线。
那么,点和点之间连线的条数就代表握手的次数。
见以下的图。
①两个人:
两点之间只能连一条线,表示两个人共握1次手。
②三个人:
三点之间有三条连线,表示三个人共握3次手。
③四个人:
四点之间有六条连线,表示四个人共握6次手。
例6铁路上的火车票价是根据两站距离的远近而定的,距离愈远,票价愈高。
如果一段铁路上共有五个车站,每两站间的距离都不相等,问这段铁路上的火车票价共有多少种?
解:
如图所示,用一条线段表示这段铁路,用线段上的五个点代表五个车站,各点间距离不同表示各车站间距离不同,因而票价不同。
由图可见,各段长度不同的线段就表示各种不同的票价。
数一数,票价种数是:
4+3+2+1=10种。
例7小明到小华家有甲、乙两条路,小华到小英家有a,b,c三条路(如下图所示)。
小明经过小华家去找小英,他想每次都不走完全重复的路线,问有多少种不同的走法?
解:
共有6种不同的走法,见下图。
第七讲填图与拆数
(一)
例1如右图,把3、4、6、7四个数填在四个空格里,使横行、竖行三个数相加都得14。
怎样填?
解:
先看竖行,最上格中已有个5。
要使5+()=14,括号里的数就要填9。
把9拆成两个数:
9=3+6,(因为3和6是题中给出的数)分别填在竖行的两个空格里。
但进一步想,应该把哪一个填在中间空格里呢?
这就需要看横行。
横行两头的空格应填剩下的两个数4和7,因为4和7相加和为11,而11+3=14,可见中间空格应填3。
例2如图所示。
在圆圈里填上不同的数,使每条直线上三个数相加之和都等于12。
解:
见下图
(1)、
(2)、(3)。
把12分拆成三个不同的数相加之和,得七种分拆方式:
12=9+2+112=8+3+1
12=7+4+112=7+3+2
12=6+5+112=6+4+2
12=5+4+3
从各式中选择有一个相同加数的两个式子。
12=1+5+6和12=1+4+7两式,将相同的加数1填在中间圆圈里,不同的加数分别填在横行和竖行的其他圆圈里。
答案有很多种不同的填法,这里只填了三种,同学们还可以自己选择另外的填法。
例3如右图所示。
把1、2、3、4、5五个数填入五个圆圈里,要求分别满足以下条件:
(1)使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于8;
(2)使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于9;
(3)使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于10。
解:
见下图
(1)、
(2)、(3)
(1)将8分拆成三个数之和(注意,这三个数要从1、2、3、4、5中选取)
8=1+2+58=1+3+4
因为中间圆圈里的数是要公用的,所以应把“1”填在中间圆圈里其他四个数填在边上;
(2)解法思路与
(1)相同,分拆方式如下:
9=1+3+59=2+3+4
(3)解法思路与
(1)相同
10=1+4+510=2+3+5。
第八讲填图与拆数
(二)
本讲主要介绍在填图与拆数中找关键数的思考方法。
例1如右图所示。
把三个1、三个2、三个3分别填在九个格内,使横行、竖行、斜行三个数加起来的和都等于6。
解:
找关键数先填。
因为中间格的数和横行、竖行、斜行都有关,所以它是关键数,确定了它,其他各格就容易填了。
(1)尝试法:
若中间填“1”,再填其他格,如右图。
结果有一条斜线上的数都是1,其和为3,不合题目要求。
若中间格填“3”,再填其他格,如右图结果有一条斜行上的数都是3,其和为9,不合题目要求。
若中间格填“2”,再填其他格,经检查,符合题目要求,如图。
(2)分析法:
显然在每一横行、竖行和斜行只能填一个“1”或一个“3”。
因为若填两个1后,即使再填一个最大的3,这一行的这三个数之和才是5,小于6,不符合题目要求;同样,若填两个3后,即使再填一个最小的数1,这一行的三个数之和就是7,大于6,也不符合题目要求。
如果在一行里填入两个“2”,即使在此行里再填一个2,这一行的三个数之和也可等于6,符合题要求。
由此得出,中间方格必须填“2”。
中间方格填好之后其他各格中的数也就容易填出了。
例2如图。
把1、2、3、4、5填入右图的圆圈中,使每条斜线上的三个数相加之和都是8。
解:
中间圆圈里的数是个关键数,应该首先确定它。
如何确定它呢?
这样想:
假如我们已经按题目要求把1、2、3、4、5填入了五个圆圈中,这样每条斜线上的三个数相加都得8。
那么当我们把两条斜线上的数都加起来,它们的和应为8+8=16,
但是五个圆圈中所填数之和应为
1+2+3+4+5=15,
两个和数之差是1,即:
16-15=1。
这个差是如何产生的呢?
这是因为把两条斜线上的和数相加时,中间圆圈中的数被加了两次,即多加了一次。
把一个数多加了一次和就多了1,可见此数是1。
然后,再求每条斜线两端的数。
可求出两数之和应为8-1=7把7分拆成两个数,有两种分拆方式:
把2和5填入一条斜线两端的圆圈中。
把3和4填入另一条斜线两端的圆圈中。
例3如图所示。
把1、2、3、4、5、6、7七个数填在右图中的七个圆圈里,每个数只能用一次,使每条线上的三个数相加之和都等于12。
解:
见图。
中间圆圈里的数是关键数,应该如何确定它呢?
与例2的想法类似。
假设已经按题目要求把数全部填入了圆圈,那么每条线上的三个圆圈中的数相加应该都得12。
我们如果进一步把三条直线上的数都加起来,得数应为:
12+12+12=36。
不难看出,这样就把中间圆圈里那个数加了三次。
因而它比七个圆圈中的数相加之和:
1+2+3+4+5+6+7=28
多了36-28=8
也就是8应是中间圆圈里的数的2倍所以中间圆圈里的数应是8的一半,
即8÷2=4
下面再确定每条线上另外的两个圆圈里的数,方法如下:
12-4=8
例4如图所示。
把1、2、3、4、5、6六个数分别填入右图的圆
圈里,使三角形每条边上三个数之和都等于9。
解:
见图。
三个角上圆圈里的数是关键数,因为它们中的每个都是两条边上共有的数。
先确定关键数。
这样想:
六个数之和是1+2+3+4+5+6=21每条边上三个数之和是9,9+9+9=27这样算每个角上圆圈里的数都被加了两次,因此角上三个圆圈中的数之和是
27-21=6
把6分拆成三个数之和:
6=1+2+3;
把1、2、3分别填入三个角上的圆圈里,其余的圆圈里的数就容易填了。
第九讲分组与组式
课本上的算题,多数是已经列好算式要求计算出结果。
但在这一讲里,往往是知道结果或要达到的目标,请你回答如何才能得出这种结果或达到目标值。
为此就要求同学们在掌握好以前所学数学知识的基础上,还要进一步做到:
仔细地观察,发现题中给出的一些数中存在的规律,并且大胆地进行尝试,培养思维的灵活性和敏捷性。
例1如下图所示把1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字分成两部分,再组成两个数,填入下面的两个方框里,使两个数的和等于99999
解:
把九个数字分成两部分,组成两个数,要求相加之和由五个9组成,可见一个数应是五位数,且9应在最高位,另一个是四位数。
把除9之外的其余八个数字分成四对,每对的和是9,它们应是1和8,2和7,3和6,4和5。
它们可以组成以下算式,如:
可见分组方法是多种多样的。
例2给你1、2、3、4、16、17、18、19这八个数,要求:
①把它们分成四组,使每组的两个数相加之和相等。
②再用这八个数组成如下的两个算式。
□+□-□=□
□+□-□=□
①解:
仔细观察可发现:
在这八个数中,前四个都是一位数,且后一个数比前一个数大1;后四个都是两位数,也是后一个数比前一个数大1。
因此把它们互相搭配后,可使每组的两数之和相等。
分组如下:
(1,19);(2,18);(3,17);(4,16)。
可以看出,每组的两数之和都等于20。
②解:
如下图所示,由于
1+19=2+18,3+17=4+16
因此可以组成符合题目要求的算式如下:
注意:
符合题目要求的算式不只这些,同学们自己还可以再写出一些。
例3在1、2、3、4、5、6、7之间放几个“+”号,使它们的和等于100,试试看。
1234567=100
解:
对这类题目一是要大胆尝试,边想边写,千万不要只想不写!
二是可以先考虑与目标值(此题是100)较接近的大数,再考虑用较小的数进行调整、修正,使式子的得数逐渐接近目标值,也就是使之转化为较简单的情况。
(1)对此题可考虑先在6
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- 讲座 年级 16