数学.docx

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数学

1、如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=2,AC=BC=1,∠ACB=90°,点E是AB的中点,点F在侧棱BB1上,且EF⊥CA1.

（1）求二面角C-A1F-E的大小；

（2）求点E到平面CA1F的距离

解法一:

（1）过E作EG⊥FA1，垂足为G，连结CG.

在直三棱柱ABC—A1B1C1中，面A1B⊥面ABC,

又AC=BC，E为AB中点,

∴CE⊥AB.∴CE⊥面A1B.

∴CG⊥A1F.

∴∠CGE为二面角CA1FE的平面角.                                                                     

又∵CE⊥面A1B,

∴CE⊥EF.

而EF⊥CA1,∴EF⊥面A1CE.∴EF⊥A1E.                                                              

∴△A1AE∽△EBF.

∴BF=.

在RT△A1AE中，A1E=.在RT△EBF中，EF=,

∴A1F=.

∴EG=.                                                                     

又CE=,

∴tan∠CGE==1.∴∠CGE=45°,                                                                     

即二面角CA1FE的大小为45°.

（2）设顶点E到平面A1CF的距离为d，

由

（1）CG=1，CE⊥面A1B，A1F⊥EF，

VE—A1CF=VC—A1EF,

∴CE·A1E·EF=×·CG·A1F·d.

∴.

∴d=,

即点E到平面CA1F的距离为.                                                                                 

解法二:

（1）如图，分别以CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,并设BF=x，则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），E（，，0），F（0，1，x），A1（1，0，2），则=（-,,x）,=（1,0,2）.

∵EF⊥CA1，则·=0,

∴-×1+×0+2x=0,

x=.∴F（0,1,）.                                                                                               

设向量n=（x,y,z）为平面A1CF的法向量，则n·=0,

n·=0.

又=（1,0,2）,=（0,1,）,∴

令x=2，则x=-1,y=.∴n=（2,,-1）.

由题意CA=CB，E为AB的中点，∴CE⊥AB.

又三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱,

∴CE⊥平面A1EF,

=（,，0）为平面A1EF的法向量.                                                                

∴Cos〈n,〉=.

∴〈n,〉=45°.

∴二面角CA1FE的大小为45°.                                                                              

（2）向量在平面CA1F的法向量n上的射影的长为d=.

向量CE在平面A1CF的法向量n上的投影长即为点E到平面A1CF的距离.

∴点E到平面A1CF的距离为.                                                                                 

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3、如果直线a∥平面α，则（）

A:

平面α内有且只有一条直线与a平行

B:

平面α内有无数条直线与a平行

C:

平面α内不存在与a垂直的直线

D:

平面α内有且仅有一条与a垂直的直线

答案:

B

解析:

过直线a可作无数个平面与平面α相交，这一组交线都与a平行。

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若动点P（x，y）与两定点M（-a，0），N（a，0）连线的斜率之积为常数k（ka≠0），则P点的轨迹一定不可能是（　　）

A. 除M、N两点外的圆

B. 除M、N两点外的椭圆

C. 除M、N两点外的双曲线

D. 除M、N两点外的抛物线

11、如果直线a∥平面α，则（）

A:

平面α内有且只有一条直线与a平行

B:

平面α内有无数条直线与a平行

C:

平面α内不存在与a垂直的直线

D:

平面α内有且仅有一条与a垂直的直线

答案:

B

解析:

过直线a可作无数个平面与平面α相交，这一组交线都与a平行

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