第22章自回归条件异方差模型.docx
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第22章自回归条件异方差模型
©陈强,《高级计量经济学及Stata应用》课件,第二版,2014年,高等教育出版社。
第22章自回归条件异方差模型
22.1条件异方差模型的例子
Engle(1982)指出,时间序列数据也常存在一种特殊的异方差,即“自回归条件异方差”(AutoregressiveConditionalHeteroskedasticity,简记ARCH)。
Bollerslev(1986)对ARCH进行了推广,称为“GeneralizedARCH”,简记GARCH。
考察美国道琼斯股指在1953—1990年期间日收益率的波动。
图22.1美国道琼斯股指1953—1990的日收益率
从图22.1可知,方差大的观测值似乎集聚在一起,而方差小的观测值似乎也集聚在一起,称为“波动性集聚”(volatilityclustering)。
之前,由于缺乏更好的度量,一般假设时间序列的方差恒定。
由于ARCH模型考虑了方差的波动性,故可更好地预测方差,在金融领域有重要应用价值。
22.2ARCH模型的性质
考虑线性回归模型:
yt=
xt'β+εt
记扰动项ε的条件方差为σ2≡Var(ε|ε
),可随时间而变。
tttt-1
受波动性集聚启发,假设
σ2=α+αε2
t01t-1
这就是“ARCH
(1)扰动项”。
更一般地,假设
σ2=α+αε2
++αε2
t01
t-1
pt-p
这就是“ARCH(p)扰动项”。
以ARCH
(1)为例考察ARCH扰动项的性质。
假设扰动项εt的生成过程为
εt=vt
其中,v为白噪声,方差标准化为1,即Var(v)=E(v2)=1。
ttt
假定v与ε相互独立,且α>0,0<α<1(为了保证σ2为正,且
tt-101t
{εt}为平稳过程)。
由于vt与εt-1相互独立,εt的条件期望为
E(ε
|ε
)=E
v
ε
tt-1{tt-1}
=E(vt
=0
)⋅E{
εt-1}=0
类似地,εt的无条件期望为
E(ε
t)=E{vt
}=E(vt
=0
)⋅E{}=0
根据vt与εt-1独立性,εt的条件方差为
Var(ε|ε
)=E(ε2|ε)=E(v2)⋅E(α
+αε2|ε)
tt-1
tt-1t
=1
01t-1t-1
=α+αE(ε2|ε
)=α+αε2
01t-1
t-101
t-1
这就是ARCH
(1)的定义式“σ2=α+αε2”。
考察εt的无条件方差:
t01
t-1
ttt
Var(ε
)=E(ε2)=E⎡⎣v2(α
+αε2
)⎤⎦
01
t-1
=E(v2)⋅E(α+αε2
)=α+αE(ε2)
t01
=1
t-101
t-1
t
对于差分方程“E(ε2)=α
0+α1
2
E(ε
t-1
)”,由于0<α1
<1,故该差分
t
方程有稳定解。
tt-1
令E(ε2)=E(ε2
差为常数。
),可得E(ε2)=
α0
1-α1
,故ARCH扰动项的无条件方
tt-itt-i
考察εt与εt-i
(i≠
0)的序列相关:
E(εε
)=E{vv
(α+αε2)(α
+αε2)}
01
t-101
t-i
=E(vv
)⋅E{(α+αε2)(α+αε2
)}=0
tt-i
=0
01t-101
t-i
扰动项{εt}满足古典模型关于“同方差”与“无自相关”的假定,故高斯-马尔可夫定理成立,OLS是BLUE。
虽然{εt}存在条件异方差,却是白噪声!
但OLS忽略了条件异方差这一重要信息,可找到更优的非线性估计,即MLE。
22.3ARCH模型的MLE估计
对于ARCH
(1),为保证条件方差σ2=α
+αε2
始终非负,须限制
参数α0,α1均为正数。
t01
t-1
如果α<0或α<0,则可能出现“σ2<0”的情形,参见图22.2。
01t
另外,α1<1是为了保证{εt}为平稳过程。
如果α1>1,则Var(εt)将随时间而增大,不是平稳过程。
图22.2对ARCH
(1)参数的正约束
假设样本容量为T。
在ARCH
(1)模型中,{εt}并非iid,因为相邻
扰动项通过公式“ε
t=vt
”联系在一起。
由于εt仅依赖于εt-1,而不依赖于{εt-2,εt-3,},故可将{ε1,ε2,,εT}
的联合密度函数分解如下:
f(ε1,ε2,,εT)=
f(ε1)f(ε2
|ε1)f(ε3
|ε2,ε1)f
(εT
|εT-1,)
=f(ε1)f(ε2
|ε1)f(ε3
|ε2)f
(εT
|εT-1)
由于无条件密度函数
MLE)。
f(ε1)不易计算,考虑给定ε1情况下的条件
假设ε
~N(0,σ2),而σ2=α
+αε2
,可得似然函数:
ttt
01t-1
T1⎧ε2⎫
L=∏
exp⎨-t⎬
t=2
⎩2(α+αε2)⎭
01t-1
T-11T
21Tε2
lnL
=-ln2π-∑
ln(α0
+α1εt-1)-∑t
22t=2
2t=2α
+αε2
01t-1
将“εt
=yt
-
xt'β”代入上式,则lnL成为参数(α0,α1,β0,β1)的函数。
对ARCH模型进行MLE估计时,对原方程(yt=xt'β+εt)与条件方
差方程(σ2=α+αε2
)同时进行估计。
t01
t-1
如果要估计ARCH(p),则将{ε1,ε2,,εp}(即前p个观测值)视为给定,然后使用条件MLE。
即使扰动项不服从正态分布,作为QMLE,仍可能是一致的。
22.4GARCH模型
在ARCH(p)模型中,如p很大,要估计很多参数,损失样本容量。
Bollerslev(1986)提出GARCH,使待估参数减少,对条件方差的预测更准确。
t
在ARCH模型的基础上,再加上σ2的自回归部分。
GARCH(p,q)的模型设定为:
σ2=α+αε2
++αε2
+γσ2
++γσ2
t01
t-1
qt-q
1t-1
pt-p
其中,p为σ2的自回归阶数,而q为ε2的滞后阶数。
tt
t-i
t-i
在Stata中,称ε2为“ARCH项”,而称σ2为“GARCH项”。
假定扰动项εt的生成过程为
εt=vt
其中,vt为白噪声。
最常见的GARCH(1,1):
σ2=α+αε2
+γσ2
t01
t-11t-1
其中,为了保证σ2为正,α,α,γ均为正数。
t011
GARCH(1,1)扰动项εt的生成过程为
εt=vt
将方程两边平方,取(无条件)期望可得
E(ε2)=E(v2)⋅E(α
+αε2+γσ2)
tt
=1
01t-11
t-1
=α+αE(ε2)+γ
E(σ2
)(σ2
≡E(ε2|ε))
01t-11
t-1
t-1
t-1t-2
01
=α+α
E(ε2
)+γ
E⎡⎣E(ε2|ε
)⎤⎦
(迭代期望定律)
t-11
t-1
t-2
=α+αE(ε2)+γE(ε2)
01t-11t-1
=α+(α+γ)E(ε2)
011
t-1
为保证{εt}平稳,须要求α1+γ1
<1。
t-1
{ε
为何使用GARCH模型能节省待估参数?
因为σ2
中已经包含了
,ε
2
t-2
2
t-p-1
}的信息。
对GARCH模型可同样使用MLE估计。
22.5何时使用ARCH或GARCH模型
初步方法可画时间序列图,看看是否存在“波动性集聚”。
严格的统计检验包括以下三种方法。
方法一首先,用OLS估计原方程yt
=xt'β+εt,得到残差序列{et}。
其次,用OLS估计辅助回归,e2=α+αe2
++αe2+error,
t01
t-1
pt-pt
并检验原假设“H0
:
α1
=α2
==αp
=0”(不存在条件异方差)。
Engle(1982)提出进行LM检验,其检验统计量为TR2
其中T为样本容量,R2为辅助回归的可绝系数。
−d−→χ2(p),
t
t
t
方法二可以对残差平方序列{e2}进行Q检验,检验其序列相关性。
如果{e2}存在自相关,则认为ε存在条件异方差。
方法三最为直接的方法是,在估计ARCH或GARCH模型之后,看条件方差方程中的系数(即所有与γ)是否显著。
22.6ARCH与GARCH模型的扩展
1.ARCH-M
金融理论认为,金融资产的风险越高,其期望收益率也应该越高。
超出正常期望收益率的部分,称为“风险溢价”(riskpremium)。
Engle,LilienandRobins(1987)提出“ARCH-in-Mean模型”(简记
ARCH-M),假设金融资产的超额收益率满足以下方程:
y=β+δσ2+ε
ttt
riskpremium
t
其中,yt为“超额收益率”(excessreturn),即超出无风险的国库券
t
收益率的部分;εt为对超额收益率不可预见的冲击;而(β风险溢价,是条件方差σ2的增函数,即δ>0。
+δσ2)为
假设ε服从ARCH(p)过程,σ2=α+αε2
++αε2。
tt01
t-1
pt-p
可使用MLE对原方程与条件方差方程同时进行估计。
2.TARCH
“坏消息”对资产价格波动性的影响可能大于好消息的影响。
Glosten,JagannathanandRunkle(1993)提出了非对称(asymmetric)
的“门限GARCH”模型(ThresholdGARCH,简记TARCH)。
假设条件方差方程为
σ2=α+αε2
+λε2⋅1(ε>0)+βσ2
t01
t-11t-1t-1
tarch
1t-1
t-1
Stata称“ε2
⋅1(ε
t-1
>
0)”为TARCH项。
3.EGARCH
标准的GARCH模型对参数取值有限制,给MLE估计带来不便。
考虑以下对数形式的条件方差方程:
lnσ2=α+α(εσ)+λεσ
+βlnσ2
t01t-1t-11t-1t-1
1t-1
earch
earch_a
egarch
其中,(εt-1σt-1)为εt-1的标准化,表示非对称效应。
εt-1
σt-1
表示对称效应,Stata称为“earch_a”项(a表示“absolute
t
value”,即绝对值)。
Stata称lnσ2为“egarch”项。
t
无论lnσ2取何值,都有σ2
=exp(lnσ2)>0,故对所有参数都无限制。
t
tt
由于σ2为指数形式,故称为“指数GARCH”(ExponentialGARCH,简记EGARCH)。
4.带ARMA的GARCH
考虑如下线性回归模型:
yt=
xt'β+ut
其中,扰动项ut为ARMA(p,q)过程:
t
i=1
it-i
j=1
jt-jt
u=∑pρu+∑qθε+ε
其中,εt为GARCH(或ARCH)扰动项。
代入方程:
tt
i=1
it-it-i
y=x'β+∑p
ρ(y
-
x'
β)+∑qθε+ε
j=1
jt-jt
这就是“带ARMA的GARCH”(GARCHwithARMAterms)。
5.在条件方差方程中引入解释变量
例为考察911恐怖袭击后波动性是否增大,引入虚拟变量
D=⎧1,t≥2001/9/11
⎩
t⎨0,t
<2001/9/11
然后考虑以下GARCH(1,1)模型:
σ2=α+αε2
+βσ2+γD
t01
t-11t-1t
6.使用非正态扰动项
如果被解释变量(比如,某些金融变量)的分布函数存在厚尾,则小概率事件比在正态分布情况下更容易发生。
可以选择让扰动项服从t(k)分布来估计ARCH或GARCH模型。
在进行MLE估计时,将t分布的自由度k也作为待估参数。
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