中考数学复习教材回归知识讲解+例题.docx
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中考数学复习教材回归知识讲解+例题
2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练
方程和方程组的应用
◆知识讲解
1.行程问题的几种类型及等量关系:
(1)相遇问题:
全路程=甲走的路程+乙走的路程.
(2)追及问题:
若甲为快者,则被追路程=甲走的路程-乙走的路程.
(3)流水问题:
船速+水速,逆流航速=船速-水速.
2.工程问题的基本等量关系:
甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作总量,工程问题通常把总工作量看作“1”,解工程问题的关键是先找出单位时间内的工作效率.
3.浓度问题的基本等量关系:
浓度=
×100%溶液质量=溶质质量+溶剂质量.
4.数学问题的等量关系:
n位数
=a1×10n-1+a2×10n-2+…+an.
5.增长率等量关系:
增长率=(增量÷基础量)×100%.
6.利润问题:
利润=销售价-进货价;利润率=
;销售价=(1+利润率)×进货价.
7.利息问题:
利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息.
8.其他经济类问题
◆例题解析
例1(2004,黄冈市)某超市对顾客实行优惠购物,规定如下:
(1)若一次购物少于200元,则不予优惠;
(2)若一次购物满200元,但不超过500元,按标价给予九折优惠;
(3)若一次购物超过500元,其中500元以下部分(包括500元)给予九折优惠,超过500元部分给予八折优惠.
小李两次去该超市购物,分别付款198元和554元,现在小张决定一次性地购买和小李分两次购买同样多的物品,他需付多少元?
【分析】首先要求出小李两次去超市购物付款198元和554元的实际购物所值金额,因为付款198元时,小李购物可能不超过200元,也可能超过200元,而付款554元时,小李购物肯定超过554元,所以小李两次购物中,第一次购物有两种情况,因此本题应分类求解.
【解答】
(1)小李第一次购物付款198元.
①当小李购买的物品不超过200元时,不予优惠,此时实际购买198元的物品;
②当小李购买的物品超过200元时,设小李购买x元的物品,依题意可得:
x×90%=198,解之,得x=220即小李实际购买220元的物品.
(2)小李第二次购物付款554元,因为554>500,故第二次小李购物超过500元,设第二次小李购物y元,依题意可得:
(y-500)×80%+500×90%=554,解之得y=630,即小李实际购买630元的物品.
当小张决定一次性购买和小李分两次购买同样多的物品时,小张应购买的物品为:
198+630=828(元)或者220+630=850(元),此时应付款为:
500×90%+(828-500)×80%=712.4(元)
或者:
500×90%+(850-500)×80%=730(元)
答:
小张应付款712.4元或730元.
【点评】解答本例要注意三点:
(1)由于超市实际购物优惠,所以顾客购买物品时,所付金额数与购物金额数不一定相等;
(2)要根据付款金额数正确确定顾客购物时所符合的优惠条款,从而利用该条款求出该顾客的购物金额;(3)若顾客所付金额数属于两种或两种以上优惠条款时,应分情况讨论求解,切忌遗漏.
例2(2004,哈尔滨市)某通信器材商场,计划用60000元从厂家购进若干部新型手机,以满足市场需求,已知该厂家生产三种不同型号的手机,出厂价分别为甲种手机每部1800元,乙种手机每部600元,丙种手机每部1200元.
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部,并将60000元恰好用完,请你帮助商场计算一下如何购买;
(2)若商场同时购进三种不同型号的手机共40部,并将60000元恰好用完,并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部,请你求出商场每种型号的手机的购买数量.
【分析】
(1)题中将60000元恰好用完容易理解,即所选的两种手机的总钱数等于60000元;共有三种不同型号的手机,购其中两种不同型号的手机共40部,需要分三种情况考虑:
①选甲,丙两种手机共40部;②选甲,丙两种手机共40部;③选乙,丙两种手机共40部;
(2)题中告诉了乙种手机买数的范围,可得乙种手机的购买数量可能的取值为6,7,8,若设甲种手机购x部,丙种手机购y部,则可列3个不同的方程组,即
①
②
③
【解答】
(1)①选购甲,乙两种型号的手机,设甲种手机购x部,乙种手机购y部.
依题意:
,解这个方程组得
②选购甲,丙两种型号的手机,设甲种手机购a部,丙种手机购b部.
依题意,得
解这个方程组,得
③选购乙,丙两种型号的手机,设购乙种手机m部,购丙种手机n部,依题意得
解这个方程组,得
(不合实际,舍去).
答:
有两种购买方案:
①甲种手机购30部,乙种手机购买10部;②甲种手机购20部,丙种手机购20部.
(2)由乙种手机的购买数量不少于6部且不多于8部,则乙种手机的购买数量有三种可能,即6部,7部,8部.
设购甲种手机x部,丙种手机y部,由以上分析可列三个方程组:
①
②
③
解方程组①得:
,解方程组②:
得
,解方程组③得:
.
答:
若购买乙种手机6部,则甲种手机购26部,丙种手机购8部;若购买乙种手机7部,则甲种手机购27部,丙种手机购6部;若购买乙种手机8部,则甲种手机购28部,丙种手机购4部.
【点评】在现有的可能条件下,运用所学知识探寻最佳、最优方案,以获取最佳效益,是每个经营者所追求的目标,也是每个学生走进社会后所应具备的基本素质,这类题体现了素质教育的要求,必奖是今后中考的热点题型.同时,本题只有题设条件,结论不具体、不唯一,这对解题思路的探寻也是一种挑战,解题者必须具备创造性思维,不能囿于传统解法的限制.
本例的解题关键在于依题合理分类考虑,不能漏掉存在的任何一种可能,其次是对所得的结果检验,看其是否满足生活实际.
例3为了营造人与自然和谐共处的生态环境,某市近年加快实施城乡绿化一体化工程,创建国家城市绿化一体化城市.某校甲,乙两班师生前往郊区参加植树活动.已知甲班每天比乙班少种10棵树,甲班种150棵树所用的天数比乙班种120棵树所用的天数多2天,求甲,乙两班每天各植树多少棵?
【分析】这是一道工程问题.本题提供的关键信息有:
①甲班种150棵树所用的天数=乙班种120棵树所用的天数+2天;②甲班每天植树的棵树+10棵=乙班每天植树的棵树.
我们可以从不同的角度入手.
【解答】
(1)从工作时间入手,寻求解题的途径(直接设解法):
设甲班每天植树x棵,那么乙班每天植树(x+10)棵.
由①中的数量关系列方程,得
=
+2.
150(x+10)=120x+2x(x+10).
150x+1500=120x+2x+20x.
2x2-10x-1500=0.
x2-5x-750=0.
(x-30)(x+25)=0,x1=30,x2=-25.
经检验知:
x1=30,x2=-25都是原方程的解.但x=-25不符合题意舍去.
∴当x=30时,x+10=40.
(2)从工作效率入手,寻求解题途径(间接设解法):
设乙班植树x天,那么甲班植树(x+2)天,甲班每天植树
棵,乙班每天植树
棵.
由②中的数量关系列方程得
+10=
.
去分母,整理,得x2+5x-24=0.
解得x1=-8,x2=3,经检验:
x1=-8,x2=3都是原方程的解.
又∵x>0,
∴x=-8舍去,只取x=3.
∴
=30(棵),
=40(棵).
答:
甲班每天植树30棵;乙班每天植树40棵.
◆强化训练
一、填空题
1.某班学生为希望工程共捐款131元,比每人平均2元还多35元,设这个班的学生有x人,根据题意,列方程为_______.
2.一种药品经过两次降价后,每盒的价格由原来的60元降至48.6元,那么平均每次降价的百分率是_______.
3.轮船顺水航行40km所需的时间和逆水航行30km所需的时间相同,已知水流速度为3km/h,设轮船在静水中的速度xkm/h,可列方程_______.
4.杉杉打火机厂生产某种型号的打火机.每只的成本为2元,毛利润为25%.工厂通过改进工艺,降低成本,在售价不变的情况下,毛利率增加了15%,则这种打火机每只的成本降低了_____元(精确到0.01元,毛利率=
×100%).
5.高温煅烧石灰石(CCO3)可以制取生石灰(CaO)和二氧化碳(CO2),如果不考虑杂质及损耗,生产生石灰14t就需要煅烧石灰石25t.那么生产生石灰224t,需要石灰石_______t.
6.为了绿色北京,北京市在执行严格的机动车尾气排放标准,同时正在不断设法减少工业及民用燃料所造成的污染.随着每年10亿m3的天然气输到北京,北京每年将少烧300万t煤,这样,到2006年底,北京的空气质量将会基本达到发达国家城市水平.某单位1个月用煤30t,若改用天然气,1年大约要用_______m2的天然气.
7.李明计划在一定日期内读完200页的一本书,读了5天后改变了计划,每天多读5页,结果提前一天读完,求他原计划平均每天读几页书.
解题方案
设李明原计划平均每天读书x页,用含x的代数式表示:
(1)李明原计划读完这本书需用_____天;
(2)改变计划时,已读了_____页,还剩____页;
(3)读了5天后,每天多读5页,读完剩余部分还需______天;
(4)根据问题中的相等关系,列出相应方程________;
(5)李明原计划平均每天读书_______页(用数字作答).
8.依法纳税是公民应尽的义务,根据我国税法规定,工资所得不超过1600元不必纳税,超过1600元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表累加计算:
全月应纳税所得额
税率
不超过500元部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
超过2000元至5000元的部分
15%
……
…
某人本月纳税150.1元,则他本月的工资收入为______元.
二、选择题
9.一件商品按成本价提高40%后标价,再打8折(标价的80%)销售,售价为240元.设这件商品的成本价为x元,根据题意,下面所列的方程正确的是()
A.x×40%×80%=240B.x(1+40%)×80%=240
C.240×40%×80%=xD.x×40%=240×80%
10.刘刚同学买了两种不同的贺卡共8张,单价分别是1元和2元,共用10元,设刘刚买的两种贺卡分别为x张,y张,则下面的方程组正确的是()
A.
B.
C.
D.
11.小萍要在一幅长90cm,宽40cm的风景画的四周外围,镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂图(图4-5),使风景画的面积是整个挂图面积的54%.设金色纸边的宽为xcm,根据题意所列方程为()
A.(90+x)(40+x)×54%=90×40
B.(90+2x)(40+2x)×54%=90×40
C.(90+x)(40+2x)×54%=90×40
D.(90+2x)(40+x)×54%=90×40
12.某商场第一季度的利润是82.75万元,其中一月份的利润是25万元,若利润平均月增长率为x,则依题意列方程为()
A.25(1+x)2=82.75B.25+50x=82.75
C.25+75x=82.75D.25[1+(1+x)+(1+x)]=82.75
13.为了贫困家庭子女能完成初中作业,国家给他们免费提供教科书,下表是某中学免费提供教科书补助的部分情况:
七
八
九
合计
每人免费补助金额/元
109
94
47.5
---
人数/人
40
120
免费补助总金额/元
1900
10095
若设获得免费提供教科书补助的七年级为x人,八年级为y人,根据题意列出方程组为()
A.
B.
C.
D.
14.古代有这样一个寓言故事:
驴和骡子一同走,它们驮着不同袋数的货物,每袋货物都是一样重的.驴抱怨负担太重,骡子说:
“你抱怨干吗?
如果你给我一袋,那我所负担的就是你的两倍;如果我给你一袋,我们才恰好驮的一样多!
”那么驴原来所驮货物的袋数是()
A.5B.6C.7D.8
15.A,B两地相距450km,甲,乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行,已知甲车速度为120km/h,乙车速度为80km/h,经过th两车相距50km,则t的值是()
A.2或2.5B.2或0C.10或12.5D.2或12.5
16.某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法:
(1)一次购买金额不超过1万元,不予优惠;
(2)一次购买金额超过1万元,但不超过3万元,给九折优惠;
(3)一次购买超过3万元的,其中3万元九折优惠,超过3万元的部分八折优惠.
某厂因库容原因,第一次在该供应商处购买原料付示7800元,第二次购买付款26100元,如果他是一次购买同样数量的原料,可少付金额为()
A.1460元B.1540元C.1560元D.2000元
三、解答题
17.(2005,湘潭市)2004年年底,东南亚地区发生海啸,给当地人民带来了极大的灾难,听到这个消息,某校初中毕业班中的30名同学踊跃捐款,支援灾区人民.其中女同学共捐款150元,男同学共捐款120元,男同学比女同学平均每人少捐款2元,男,女同学平均每人各捐款多少元?
18.(2008,温州)某皮鞋专卖店老板对第一季度男女皮鞋的销售收入进行统计,并绘制了扇形统计图(图4-6),由于三月份开展促销活动,男,女皮鞋的销售收入分别比二月份增长了40%,64%,已知第一季度男女皮鞋的销售总收入为200万元.
(1)一月份销售收入___万元,二月份销售收入____万元,三月份销售收入____万元;
(2)二月份男,女皮鞋的销售收入各是多少万元?
19.(2005,海南省)在当地农业技术部门指导下,小明家增加种植菠萝的投资,使今年的菠萝喜获丰收.图4-7所示是小明爸爸,妈妈的一段对话.请你用学过的知识帮助小明算出他们家今年菠萝的收入.(收入-投资=净赚)
20.(2005,武汉市)武汉江汉一桥维修工程中,拟由甲,乙两个工程队共同完成某项目.从两个工程队的资料可以知道:
若两个工程队合做24天恰好完成;若两个工程队合做18天后,甲工程队再单独做10天,也恰好完成.请问:
(1)甲,乙两个工程队单独完成该项目各需多少天?
(2)又已知甲工程队每天的施工费为0.6万元,乙工程队每天的施工费为0.35万元,要使该项目总的施工费不超过22万元,则乙工程队最少施工多少天?
21.(2008,连云港)“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲,乙两市,两厂原来每周生产帐篷共9千顶,现某地震灾区急需帐篷14千顶,该集团决定在一周内赶制出这批帐篷.为此,全体职工加班加点,总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍,1.5倍,恰好按时完成了这项任务.
(1)在赶制帐篷的一周内,总厂和分厂各生产帐篷多少千顶?
(2)现要将这批帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的A,B两地,由于两市通往A,B两地道路的路况不同,卡车的运载量也不同,已知运送帐篷每千顶所需的车辆数,两地所急需的帐篷数如表所示:
A地
B地
每千顶帐篷
所需车辆数
甲市
4
7
乙市
3
5
所急需帐篷数(单位:
千顶)
9
5
请设计一种运送方案,使所需的车辆总数最少.说明理由,并求出最少车辆总数.
22.(2008,广州市)2008年初我国南方发生雪灾,某地电线被雪压断,供电局的维修队要到30km远的郊区进行抢修.维修工骑摩托车先走,15min后,抢修车装载所需材料出发,结果两车同时到达抢修点.已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍,求这两种车的速度.
答案
1.2x+35=1312.10%3.
=
4.0.215.4006.1.2×105
7.
(1)
(2)5x,200-5x(3)
(4)
-(
+5)=1
(5)20
8.31019.B10.D11.B12.D13.A14.A15.A16.A
17.设男同学平均每人捐款x元,则女同学平均每人捐款为(x+2)元
依题得:
=30
化简得:
x2-7x-8=0
解之得x=-1或x=8
经检验它们都是原方程的根,但x=-1<0(舍去)
答:
男同学平均每人捐款8元,女同学平均每人捐款10元.
18.
(1)50;60;90
(2)解:
设二月份男,女皮鞋的销售收入分别为x万元,y万元,根据题意,得
解得
答:
二月份男,女皮鞋的销售收入分别为35万元,25万元.
19.设小明家去年种植菠萝的收入为x元,投资y元,依题意,得
解方程组,得
∴小明家今年菠萝的收入应为:
(1+35%)x=1.35×12000=16200元
20.
(1)设甲工程队单独完成该项目需x天,乙工程队单独完成该项目需y天.
依题意得
,解之得
经检验
是原方程的解,并且符合题意.
答:
甲,乙两工程队单独完成此项目各需40天,60天.
(2)设甲工程队施工a天,乙工程队施工b天时总的施工费用不超过22万元,
根据题意得
解之得b≥40
答:
要使该项目总的施工费用不超过22万元,乙工程队最少施工40天.
21.
(1)设总厂原来每周制作帐篷x千顶,分厂原来每周制作帐篷y千顶.
由题意,得
解得
所以1.6x=8(千顶),1.5y=6(千顶).
答:
在赶制帐篷的一周内,总厂,分厂各生产帐篷8千顶,6千顶.
(2)设从(甲市)总厂调配m千顶帐篷到灾区的A地,则总厂调配到灾区B地的帐篷为(8-m)千顶,(乙市)分厂调配到灾区,A,B两地的帐篷分别为(9-m)千顶和(m-3)千顶.甲,乙两市所需运送帐篷的车辆总数为n辆.
由题意,得n=4m+7(8-m)+3(9-m)+5(m-3)(3≤m≤8),
即n=-m+68(3≤m≤8).
因为-1<0,所以n随m的增大而减小.
所以,当m=8时,n有最小值60.
答:
从总厂运送到灾区A地帐篷8千顶,从分厂运送到灾区A,B两地帐篷分别为1千顶,5千顶时所用车辆最少,最少的车辆为60辆.
22.设抢修车的速度为xkm/h,则吉普车的速度为1.5xkm/h.
由题意得
,解得x=20.
经检验,x=20是原方程的解,且x=20,1.5x=30都符合题意.
答:
抢修车的速度为20km/h,吉普车的速度为30km/h.
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