丰台高三数学一模试题及答案.docx
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丰台高三数学一模试题及答案
北京市丰台区2021—2022学年度第二学期综合练习
(一)
高三数学2022.03
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合,,则
(A)
(B)
(C)
(D)
2.已知命题:
,则是
(A)
(B)
(C)
(D)
3.已知复数,则“”是“为纯虚数”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
4.已知圆,则圆心到直线的距离等于
(A)
(B)
(C)
(D)
5.若数列满足,且,则数列的前项和等于
(A)
(B)
(C)
(D)
6.在△中,,则
(A)
(B)
(C)
(D)或
7.在抗击新冠疫情期间,有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务,其中3位志愿者参加“人员流调”,另外3位志愿者参加“社区值守”.若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者.则这6位志愿者不同的分配方式共有
(A)19种(B)20种(C)30种(D)60种
8.已知是双曲线的一个焦点,点在双曲线的一条渐近线上,为坐标原点.若,则△的面积为
(A)(B)(C)(D)
9.已知函数无最小值,则的取值范围是
(A)(B)(C)(D)
10.对任意,若递增数列中不大于的项的个数恰为,且,则的最小值为
(A)8
(B)9
(C)10
(D)11
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
11.函数的定义域是.
12.已知向量,.若,则.
13.已知函数的定义域为.能够说明“若在区间上的最大值为,则是增函数”为假命题的一个函数是.
14.已知抛物线的焦点为,则的坐标为;设点在抛物线上,若以线段为直径的圆过点,则.
15.如图,在棱长为2的正方体中,分别是棱的中点,点在线段上运动,给出下列四个结论:
①平面截正方体所得的截面图形是五边形;
②直线到平面的距离是;
③存在点,使得;
④△面积的最小值是.
其中所有正确结论的序号是.
三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.(本小题共13分)
已知函数,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件,使的解析式唯一确定.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)设函数,求在区间上的最大值.
条件①:
的最小正周期为;
条件②:
为奇函数;
条件③:
图象的一条对称轴为.注:
如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.
17.(本小题共14分)
A
D
C
B
E
F
如图,在直角梯形中,,,.以直线为轴,将直角梯形旋转得到直角梯形,且.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)在线段上是否存在点,使得直线和平面所成
角的正弦值为?
若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
18.(本小题共14分)
为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向,某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查,结果如下:
毕业去向
继续学习深造
单位就业
自主创业
自由职业
慢就业
人数
200
560
14
128
98
假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立.
(Ⅰ)若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500,试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数;
(Ⅱ)从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人,记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的
人数.以样本的频率估计概率,求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查,发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的
人选择了上表中其他的毕业去向,记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为.当为何值时,
最小.(结论不要求证明)
19.(本小题共15分)
已知椭圆()的左、右顶点分别为,,且,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上不同于,的一点,直线,与直线分别交于点.若,求点横坐标的取值范围.
20.(本小题共15分)
已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线的斜率为1的切线方程;
(Ⅱ)若函数恰有两个不同的零点,求的取值范围.
21.(本小题共14分)
已知集合(且),,且.若对任意(),当时,存在(),使得,则称是的元完美子集.
(Ⅰ)判断下列集合是否是的3元完美子集,并说明理由;
①;②.
(Ⅱ)若是的3元完美子集,求的最小值;
(Ⅲ)若是(且)的元完美子集,
求证:
,并指出等号成立的条件.
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
北京市丰台区2021---2022学年度第二学期综合练习
(一)
高三数学参考答案
2022.03
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
C
C
A
A
C
D
C
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
11.12.413.(答案不唯一)
14.;515.①③
三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.(本小题共13分)
解:
选择条件①②:
(Ⅰ)由条件①及已知得,
所以.
由条件②得,
所以,即.
解得.
因为,
所以,
所以.
经检验符合题意.………………6分
(Ⅱ)由题意得,
化简得.
因为,
所以,
所以当,即时,的最大值为.………………13分
选择条件①③:
(Ⅰ)由条件①及已知得,所以.
由条件③得,
解得.
因为,
所以.
所以.………………6分
(Ⅱ)由题意得,
化简得.
因为,
所以,
所以当,即时,的最大值为.………………13分
17.(本小题共14分)
证明:
(Ⅰ)由题意得,,
所以四边形为平行四边形.
所以.
因为平面,平面,
所以平面.………………4分
(Ⅱ)线段上存在点,使得直线和平面所成角
的正弦值为,理由如下:
由题意得AD,AB,AF两两垂直.
如图,建立空间直角坐标系.
设,则,,
,,,.
所以,,,.
设,
则.
设平面的一个法向量为,
所以即
令,则,.
于是.
设直线和平面所成角为,
由题意得,
整理得,
解得或.
因为,
所以,即.
所以线段上存在点,当时,直线和平面所成角的正弦值为.
…………14分
18.(本小题共14分)
解:
(Ⅰ)由题意得,该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为.……4分
(Ⅱ)由题意得,样本中名毕业生选择“继续学习深造”的频率为.
用频率估计概率,从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生,估计该生选择“继续学习深造”的概率为.
随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.
所以,
,
,
.
所以的分布列为
0
1
2
3
.……………11分
(Ⅲ).……………14分
19.(本小题共15分)
解:
(Ⅰ)由题意得
解得,.
所以椭圆的方程是.……………….5分
(Ⅱ)设(),
由已知得,,
所以直线,的方程分别为,.
令,得点的纵坐标为,点的纵坐标为,
所以.
因为点在椭圆上,所以,
所以,即.
因为,所以,即.
所以.
整理得,解得.
所以点横坐标的取值范围是.……………….15分
20.(本小题共15分)
解:
(Ⅰ)当时,,
所以.
令,解得.
因为,所以切点坐标为.
故切线方程为.……………….5分
(Ⅱ)因为,
所以
令,解得.
当时,由,得,
所以,则在定义域上是增函数.
故至多有一个零点,不合题意,舍去.
当时,随变化和的变化情况如下表:
故在区间上单调递增,在区间上单调递减,
当时,取得最大值.
若时,,此时至多有一个零点;
若时,,又,
由零点存在性定理可得在区间和区间上各有一个零点,
所以函数恰有两个不同的零点,符合题意.
综上所述,的取值范围是.……………….15分
21.(本小题共14分)
解:
(Ⅰ)①因为,又,所以不是的3元完美子集.
②因为,且,而,
所以是的3元完美子集.……………….4分
(Ⅱ)不妨设.
若,则,,,与3元完美子集矛盾;
若,则,,而,符合题意,此时.
若,则,于是,,所以.
综上,的最小值是12.……………….8分
(Ⅲ)证明:
不妨设.
对任意,都有,
否则,存在某个,使得.
由,得.
所以是中个不同的元素,且均属于集合,
该集合恰有个不同的元素,显然矛盾.
所以对任意,都有.
于是.
即.
等号成立的条件是且.……………….14分
(若用其他方法解题,请酌情给分)
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