经济数学基础作业1电大.docx
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经济数学基础作业1电大
经济数学基础作业1
(微分学部分第1章函数—第2章极限、导数与微分)
知识要点:
1.函数概念:
函数的两个要素定义域和对应关系。
要求:
会求函数的定义域和函数值;会判断两函数是否相同。
2.函数的性质:
了解函数的四个性质,掌握函数奇偶性的判别。
3.基本初等函数和函数的复合运算:
记住五类基本初等函数的表达式,知道它们的
图形特征。
掌握函数的复合与“分解”。
4.极限的概念:
知道的意义;
知道的充分必要条件是且
5.无穷小量的概念和性质:
了解无穷小量的概念:
在某个变化过程中,以0为极限的函数。
例如若,则称当时,为无穷小量。
了解无穷小量与无穷大量的关系:
无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量。
知道无穷小量的性质:
无穷小量与有界变量的乘积为无穷小量。
例如
,因此
6.函数连续的概念和性质:
了解函数在点处连续的概念:
;了解“初等函数在定义区间连续”的结论;会判断函数在某点的连续性,会求函数的间断点。
7.导数的概念:
牢记导数定义的极限表达式;知道函数在某点导数的几何意义:
表示曲线在点处的切线的斜率;会求曲线的切线方程,曲线在处的切线方程:
。
了解导数的经济意义。
8.微分的概念:
函数的微分:
9.高阶导数的概念,特别是二阶、三阶导数的概念,比如二阶导数
10.函数极限、连续、可导与可微的关系:
可微可导连续极限存在。
11.掌握求简单极限的常用方法
求极限的常用方法有
(1)利用极限的四则运算法则;
(2)利用重要极限
第一重要极限:
特点:
当时,ⅰ)分子、分母的极限为0;
ⅱ)分子或分母中有一个含有正弦函数关系式。
第一重要极限的扩展形式:
(3)利用无穷小量的性质(有界变量乘以无穷小量还是无穷小量);
(4)利用连续函数的定义。
12.熟练掌握求导数或微分的方法。
具体方法有:
(1)利用导数(或微分)的基本公式;
(2)利用导数(或微分)的四则运算法则;
(3)利用复合函数求导或微分法;
(4)利用隐函数求导法则。
作业解答:
一.填空题
1..
解:
当时,分子、分母的极限均为0,且
因此
2.设在处连续,则
解:
由函数的连续定义知:
若在处连续,则。
因为
因此,若在处连续,则1。
3.曲线在(1,2)的切线方程是
解:
根据导数的几何意义有,曲线在(1,2)的切线方程是:
而
故切线方程是:
,即
4.设则。
解:
先求的表达式
令,则,
因为
则
则
5.设则
解:
=
二.单项选择题:
1.当时,下列变量为无穷小量的是()
A.B.
C.D.
解:
无穷小量的概念:
在某个变化过程中,以0为极限的函数。
A中:
因为时,,故时,不是无穷小量;
B中:
因为时,,故时,不是无穷小量
C中:
因为时,,,故时,不是无穷小量。
D中:
因为时,,故当时,是无穷小量。
因此正确的选项是D。
2.下列极限计算正确的是()。
A.,B.
C.D.
解:
A不正确。
注意到:
,
因此:
,
不存在。
B.正确。
C.不正确。
因为,由无穷小量的运算质量得:
D.不正确。
因为
因此正确的选项是B。
3.设则().
A.B.
C.D.
解:
因为
因此正确的选项是B。
4.函数在点处可导,则()是错误的.
A.函数在点处有定义B.但
C.函数在点处连续D.函数在点处可微。
解:
注意到函数极限、连续、可导与可微的关系:
可微可导连续极限存在。
正确的选项是B。
5.若,则().
A.B.
C.D.
解:
令,则
因为,则,
因此正确的选项是B。
三.解答题
1.求下列极限:
(1);
解:
该极限属型,先因式分解消去零因子,再利用四则运算法则计算
=
==
(2)
解:
该极限属型,先因式分解消去零因子,再利用四则运算法则计算
(3);
解:
该极限属型,分子有理化消去零因子,再利用四则运算法则计算
=
==
(4)
解:
该极限属型,注意到
分子、分母同除以,再利用四则运算法则计算
==
(5)
解:
该极限属型,注意到:
分子、分母分别除以,利用重要极限Ⅰ公式计算
==
(6)
解:
该极限属型,利用重要极限Ⅰ公式计算
=
==4
2.设
问:
(1)当为何值时,在处有极限存在?
(2)当为何值时,在处连续?
解:
(1)因为要使在处有极限存在,则要和
存在且相等,因为
=
=1
因此当,取任意实数时,函数在处有极限存在。
(2)因为要使在处连续,则要=
=
结合
(1)知:
当时,在处连续。
3.求下列导数或微分:
知识要点:
导数的基本公式:
(1),求;
解:
利用导数代数和运算法则
知识要点:
(2),求y;
解:
==
知识要点:
(3)求;
解:
=
=
知识要点:
(4),求;
解:
=
=
(5),求;
知识要点:
解:
=
=
知识要点:
(6),求;
解:
,
=
=
(7),求;
知识要点:
解:
=
=
(8),求;
知识要点:
解:
=
=
(9)求;
知识要点:
解:
=
==
知识要点:
(10)求。
解:
=
=
=
4.下列各方程中是的隐函数,试求或
(1)求
解:
方程两边对求导数得:
(2),求
解:
方程两边对求导数:
5.求下列函数的二阶导数
(1),求
解:
(1)=
==
(2),求及
解:
,,
==
=
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