版第2章212数列的递推公式选学.docx
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版第2章212数列的递推公式选学
2.1.2 数列的递推公式(选学)
1.理解递推公式的含义.重点
2.掌握递推公式的应用.难点
3.会求数列中的最大小项.易错点
[基础·初探]
教材整理 数列的递推公式
阅读教材P29~P30,完成下列问题.
1.数列递推公式
(1)两个条件:
①已知数列的第1项(或前几项);
②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.
(2)结论:
具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式.
2.数列递推公式与通项公式的关系
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系
表示an与n之间的关系
联系
(1)都是表示数列的一种方法;
(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
1.下列说法中正确的有________.(填序号)
①根据通项公式可以求出数列的任意一项;
②有些数列可能不存在最大项;
③递推公式是表示数列的一种方法;
④所有的数列都有递推公式.
【解析】 ①正确.只需将项数n代入即可求得任意项.
②正确.对于无穷递增数列,是不存在最大项的.
③正确.递推公式也是给出数列的一种重要方法.
④错误.不是所有的数列都有递推公式.例如精确到1,0.1,0.01,0.001,…的近似值排列成一列数:
1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.
【答案】 ①②③
2.已知数列{an}满足a1=1,an=2an-1+1(n≥2),则a5=________.
【解析】 因为a1=1,an=2an-1+1(n≥2),所以a2=3,a3=7,a4=15,所以a5=2a4+1=31.
【答案】 31
3.已知非零数列{an}的递推公式为a1=1,an=·an-1(n>1),则a4=________.
【解析】 依次对递推公式中的n赋值,当n=2时,a2=2;当n=3时,a3=a2=3;当n=4时,a4=a3=4.
【答案】 4
4.已知数列{an}中,a1=-,an+1=1-,则a5=______________.
【解析】 因为a1=-,an+1=1-,
所以a2=1-=1+2=3,
a3=1-=,a4=1-=-,a5=1+2=3.
【答案】 3
[小组合作型]
由递推关系写数列的项
(1)已知数列{an}满足关系anan+1=1-an+1(n∈N+)且a2016=2,则a2015等于( )
A.-B.
C.-D.
(2)已知数列{an},a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则a5=________.
【精彩点拨】 结合已知项逐步代入递推公式求解.
【自主解答】
(1)由anan+1=1-an+1,
得an+1=,
又∵a2016=2,
∴a2015=-,故选C.
(2)由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,
∴a5=a4+a3=8.
【答案】
(1)C
(2)8
由递推公式写出数列的项的方法:
(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.
(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1.
(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=.
[再练一题]
1.已知数列{an}的第一项a1=1,以后的各项由公式an+1=给出,试写出这个数列的前5项.
【导学号:
18082018】
【解】 ∵a1=1,an+1=,
∴a2==,
a3===,
a4===,
a5===.
故该数列的前5项为1,,,,.
数列的最大(小)项的求法
已知数列{an}的通项公式an=(n+1)n(n∈N+),试问数列{an}有没有最大项?
若有,求最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.
【精彩点拨】
【自主解答】 法一:
∵an+1-an=(n+2)n+1-(n+1)n=n·,
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1 故a1 所以数列中有最大项,最大项为第9、10项, 即a9=a10=. 法二: 设ak是数列{an}的最大项. 则 即 整理得 得9≤k≤10, ∴k=9或10, 即数列{an}中的最大项为a9=a10=. 求数列的最大(小)项的两种方法: 一是利用判断函数增减性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列的最大项或最小项;如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性,以此求解最大项. 二是设ak是最大项,则有对任意的k∈N+且k≥2都成立,解不等式组即可. [再练一题] 2.已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4. (1)数列中有多少项是负数? 【导学号: 18082019】 (2)n为何值时,an有最小值? 并求出最小值. 【解】 (1)由n2-5n+4<0, 解得1 ∵n∈N+,∴n=2,3.∴数列中有两项是负数. (2)法一: ∵an=n2-5n+4=-,可知对称轴方程为n==2.5. 又∵n∈N+,故n=2或3时,an有最小值,且a2=a3,其最小值为22-5×2+4=-2. 法二: 设第n项最小,由 得 解这个不等式组,得2≤n≤3, ∴n=2,3.∴a2=a3且最小. ∴a2=a3=22-5×2+4=-2. [探究共研型] 数列的递推公式与通项公式的关系 探究1 某剧场有30排座位,从第一排起,往后各排的座位数构成一个数列{an},满足a1=20, an+1=an+2,你能归纳出数列{an}的通项公式吗? 【提示】 由a1=20,an+1=an+2得a2=a1+2=22, a3=a2+2=24,a4=a3+2=26,a5=a4+2=28,…, 由以上各项归纳可知an=20+(n-1)·2=2n+18. 即an=2n+18(n∈N+,n≤30). 探究2 在数列{an}中,a1=3,=2, 照此递推关系,你能写出{an}任何相邻两项满足的关系吗? 若将这些关系式两边分别相乘你能得到什么结论? 【提示】 按照=2可得=2,=2,=2,…,=2(n≥2),将这些式子两边分别相乘可得···…·=2·2·…·2. 则=2n-1,所以an=3·2n-1(n∈N+). 探究3 在数列{an}中,若a1=3,an+1-an=2,照此递推关系试写出前n项中,任何相邻两项的关系,将这些式子两边分别相加,你能得到什么结论? 【提示】 由an+1-an=2得a2-a1=2,a3-a2=2, a4-a3=2,…,an-an-1=2(n≥2,n∈N+),将这些式子两边分别相加得: a2-a1+a3-a2+a4-a3+…+an-an-1=2(n-1),即an-a1=2(n-1), 所以有an=2(n-1)+a1=2n+1,(n∈N+). 设数列{an}是首项为1的正项数列,且an+1=an(n∈N+),求数列的通项公式. 【精彩点拨】 由递推公式,分别令n=1,2,3,得a2,a3,a4,由前4项观察规律,可归纳出它的通项公式;或利用an+1=an反复迭代;或将an+1=an变形为=进行累乘;或将an+1=an变形式=1,构造数列{nan}为常数列. 【自主解答】 因为an+1=an. 法一: (归纳猜想法)a1=1,a2=×1=,a3=×=,a4=×=… 猜想an=. 法二: (迭代法)因为an+1=an, 所以an=an-1=·an-2=…=··…·a1,从而an=. 法三: (累乘法)因为an+1=an, 所以=, 则··…·=··…·, 所以an=. 法四: (转化法)因为=, 所以=1, 故数列{nan}是常数列,nan=a1=1,∴an=. 由数列的递推公式求通项公式时,若递推关系为an+1=an+f(n)或an+1=g(n)·an,则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式,即: (1)累加法: 当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式. (2)累乘法: 当=g(n)时,常用an=··…··a1求通项公式. [再练一题] 3.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+3(n∈N+),写出这个数列的前5项,猜想an并加以证明. 【解】 a1=2, a2=a1+3=5, a3=a2+3=8, a4=a3+3=11, a5=a4+3=14, 猜想: an=3n-1. 证明如下: 由an+1=an+3得 a2=a1+3, a3=a2+3, a4=a3+3, …, an=an-1+3. 将上面的(n-1)个式子相加,得 an-a1=3(n-1), ∴an=2+3(n-1)=3n-1. 1.已知数列{an}中,a1=1,=,则数列{an}的通项公式是( ) A.an=2nB.an= C.an=D.an= 【解析】 a1=1,a2=,a3=,a4=,观察得an=. 【答案】 C 2.符合递推关系式an=an-1的数列是( ) A.1,2,3,4,…B.1,,2,2,… C.,2,,2,…D.0,,2,2,… 【解析】 由递推公式可知符合该递推公式的数列,每一项的倍为后一项,所以只有B符合. 【答案】 B 3.若数列{an}满足an+1=2an-1,且a8=16,则a6=________________ 【解析】 由an+1=2an-1,得an=(an+1+1), ∴a7=(a8+1)=,a6=(a7+1)=. 【答案】 4.若数列中的最大项是第k项,则k=________. 【导学号: 18082020】 【解析】 由题意得 化简得 又因为k∈N+,所以k=4. 【答案】 4 5.已知数列{an}满足下列条件,写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式. (1)a1=0,an+1=an+(2n-1); (2)a1=1,an+1=. 【解】 (1)∵a1=0,an+1=an+(2n-1), ∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1; a3=a2+(2×2-1)=1+3=4; a4=a3+(2×3-1)=4+5=9; a5=a4+(2×4-1)=9+7=16. 故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2. (2)∵a1=1,an+1=, ∴a2==,a3==, a4==,a5==. ∴它的前5项依次是1,,,,. 它的前5项又可写成,,,,, 故它的一个通项公式为an=.
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