学年七年级数学下册尖子生同步培优题典 专题1.docx
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学年七年级数学下册尖子生同步培优题典专题1
专题1.6整式的乘法(3)多项式乘多项式
姓名:
__________________班级:
______________得分:
_________________
注意事项:
本试卷满分100分,试题共24题,选择10道、填空8道、解答6道.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2020秋•南关区校级期中)计算(a+3)(﹣a+1)的结果是( )
A.﹣a2﹣2a+3B.﹣a2+4a+3C.﹣a2+4a﹣3D.a2﹣2a﹣3
【分析】运用多项式乘以多项式法则,直接计算即可.
解析(a+3)(﹣a+1)
=﹣a2﹣3a+a+3
=﹣a2﹣2a+3.
故选:
A.
2.(2020秋•朝阳区期中)若(x﹣3)(2x+1)=2x2+ax﹣3,则a的值为( )
A.﹣7B.﹣5C.5D.7
【分析】将题中所给等式左边利用多项式乘多项式的运算法则进行计算,再与等式右边比较即可得出答案.
解析(x﹣3)(2x+1)
=2x2+x﹣6x﹣3
=2x2﹣5x﹣3,
∵(x﹣3)(2x+1)=2x2+ax﹣3,
∴a=﹣5.
故选:
B.
3.(2020秋•偃师市期中)若(x2+px+8)(x2﹣3x+1)乘积中不含x2项,则p的值为( )
A.p=0B.p=3C.p=﹣3D.p=﹣1
【分析】先利用多项式乘多项式法则,把(x2+px+8)(x2﹣3x+1)展开合并,根据积不含x2的项,得关于p的方程,求解即可.
解析(x2+px+8)(x2﹣3x+1)
=x4+px3+8x2﹣3x3﹣3px2﹣24x+x2+px+8
=x4+(p﹣3)x3+(9﹣3p)x2+(p﹣24)x+8.
∵(x2+px+8)(x2﹣3x+1)乘积中不含x2项,
∴9﹣3p=0.
∴p=3.
故选:
B.
4.(2020秋•射洪市期中)如果(x﹣3)(3x+m)的积中不含x的一次项,则m的值为( )
A.7B.8C.9D.10
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开,再合并同类项,根据已知得出m﹣9=0,求出即可.
解析(x﹣3)(3x+m)
=3x2+mx﹣9x﹣3m
=3x2+(m﹣9)x﹣3m,
∵(x﹣3)(3x+m)的积中不含x的一次项,
∴m﹣9=0,
解得:
m=9,
故选:
C.
5.(2020秋•房县期中)若x+y=1且xy=﹣2,则代数式(1﹣x)(1﹣y)的值等于( )
A.﹣2B.0C.1D.2
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算,再变形,最后求出答案即可.
解析∵x+y=1,xy=﹣2,
∴(1﹣x)(1﹣y)
=1﹣y﹣x+xy
=1﹣(x+y)+xy
=1﹣1+(﹣2)
=﹣2,
故选:
A.
6.(2020秋•西陵区校级期中)以下表示图中阴影部分面积的式子,不正确的是( )
A.x(x+5)+15B.x2+5(x+3)
C.(x+3)(x+5)﹣3xD.x2+8x
【分析】根据长方形和正方形的面积公式得出各个部分的面积,再逐个判断即可.
解析阴影部分的面积为x(x+5)+3×5=x(x+5)+15或x2+5(x+3)或(x+3)(x+5)﹣3x,
即选项A、B、C不符合题意,选项D符合题意,
故选:
D.
7.(2020秋•路南区期中)若关于x的多项式(2x﹣m)与(3x+5)的乘积中,一次项系数为25,则m的值( )
A.5B.﹣5C.3D.﹣3
【分析】先求出两个多项式的积,再根据一次项系数为25,得到关于m的一次方程,求解即可.
解析(2x﹣m)(3x+5)
=6x2﹣3mx+10x﹣5m
=6x2+(10﹣3m)x﹣5m.
∵积的一次项系数为25,
∴10﹣3m=25.
解得m=﹣5.
故选:
B.
8.(2020秋•思明区校级期中)如图是一所楼房的平面图,下列式子中不能表示它的面积的是( )
A.x2+3x+6B.(x+3)(x+2)﹣2x
C.x(x+3)+6D.x(x+2)+x2
【分析】把楼房的平面图转化为三个矩形,求出三个矩形的面积和即可.
解析S楼房的面积=S矩形ABCD+S矩形DEFC+S矩形CFHG
=AD•AB+DC•DE+CF•FH.
∵AB=DC=AD=x,DE=CF=3,FH=2,
∴S楼房的面积=x2+3x+6.
故选:
D.
9.(2021•宁波模拟)已知a、b、c三个数中有两个奇数,一个偶数,n是整数,如果S=(a+n+1)+(b+2n+2)+(c+3n+3),那么( )
A.S是偶数
B.S是奇数
C.S的奇偶性与n的奇偶性相同
D.S的奇偶不能确定
【分析】弄清a+n+1,b+2n+2,c+3n+3的奇偶性即可.可将3数相加,可知和为偶数,再根据三数和为偶数必有一数为偶数的性质可得积也为偶数.
解析(a+n+1)+(b+2n+2)+(c+3n+3)=a+b+c+6(n+1).
∵a+b+c为偶数,6(n+1)为偶数,
∴a+b+c+6(n+1)为偶数
∴S是偶数.
故选:
A.
10.(2020秋•沙河口区期末)若(x+a)(x+b)=x2+4x+3,则a+b的值为( )
A.3B.﹣3C.4D.﹣4
【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号,进而得出a+b的值.
解析∵(x+a)(x+b)=x2+4x+3,
∴x2+(a+b)x+ab=x2+4x+3,
∴a+b=4.
故选:
C.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填写在横线上
11.(2020秋•浦东新区期中)计算:
(3x+2)(2x﹣3)= 6x2﹣5x﹣6 .
【分析】运用多项式乘多项式的法则计算即可.
解析原式=6x2﹣9x+4x﹣6
=6x2﹣5x﹣6.
故答案为:
6x2﹣5x﹣6.
12.(2020秋•香坊区校级期中)已知a﹣b=6,ab=5,则(a+1)(b﹣1)= ﹣2 .
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算,整理后将已知等式代入计算即可求出值.
解析∵a﹣b=6,ab=5,
∴(a+1)(b﹣1)=ab﹣a+b﹣1=ab﹣(a﹣b)﹣1=5﹣6﹣1=﹣2;
故答案为:
﹣2.
13.(2020秋•浦东新区期中)将关于x的多项式x2+2x+3与2x+b相乘,若积中不出现一次项,则b= ﹣3 .
【分析】根据题意,利用多项式乘多项式法则计算,确定出b的值即可.
解析根据题意得:
(x2+2x+3)(2x+b)=2x3+(4+b)x2+(6+2b)x+3b,
由积中不出现一次项,得到6+2b=0,
解得:
b=﹣3.
故答案为:
﹣3.
14.(2020秋•朝阳区期中)如图,现有A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张,若要拼一个长为(3a+b),宽为(a+2b)的大长方形,则需要 7 张C类卡片.
【分析】用长乘以宽,列出算式,根据多项式乘以多项式的运算法则展开,然后根据A、B、C类卡片的形状可得答案.
解析∵(3a+b)(a+2b)
=3a2+6ab+ab+2b2
=3a2+7ab+2b2
,
∴若要拼一个长为(3a+b),宽为(a+2b)的大长方形,则需要A类3张,B类2张,C类7张.
故答案为:
7.
15.(2020秋•沙坪坝区校级期中)已知x﹣y=7,xy=5,则(2﹣x)(y+2)的值为 ﹣15 .
【分析】认真观察题目的特点,易发现(2﹣x)(y+2)化简后会出现,x﹣y,xy,可以进行整体代入即可求得答案.
解析(2﹣x)(y+2)
=2y+4﹣xy﹣2x
=﹣xy﹣2(x﹣y)+4,
把x﹣y=7,xy=5代入,
原式=﹣5﹣2×7+4
=﹣15.
故答案为:
﹣15.
16.(2020秋•九龙坡区校级期中)已知(x﹣2)(x2+mx+n)的乘积项中不含x2和x项,则m+n= 6 .
【分析】直接利用多项式乘多项式计算,再得出m,n的值,即可得出答案.
解析(x﹣2)(x2+mx+n)=x3+mx2+nx﹣2x2﹣2mx﹣2n
=x3+(m﹣2)x2+(n﹣2m)x﹣2n
∵(x﹣2)(x2+mx+n)的乘积项中不含x2和x项,
∴m﹣2=0,n﹣2m=0,
解得:
m=2,n=4,
∴m+n=6.
故答案为:
6.
17.(2020秋•崇川区校级期中)如果(m2+n2+1)与(m2+n2﹣1)的乘积为15,那么m2+n2的值为 4 .
【分析】根据题意列出等式,再根据平方差公式进行计算,最后求出答案即可.
解析解;∵(m2+n2+1)与(m2+n2﹣1)的乘积为15,
∴(m2+n2+1)(m2+n2﹣1)=15,
∴(m2+n2)2﹣1=15,
即(m2+n2)2=16,
解得:
m2+n2=4(负数舍去),
故答案为:
4.
18.(2020秋•西峰区期末)若(x+m)(x+n)=x2﹣7x+mn,则﹣m﹣n的值为 7 .
【分析】按照多项式的乘法法则展开运算后
解析∵(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn=x2﹣7x+mn,
∴m+n=﹣7,
∴﹣m﹣n=7,
故答案为:
7.
三、解答题(本大题共6小题,共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(2020秋•南岗区期末)化简:
(1)(2x)3(﹣5xy2);
(2)(3x+2)(x+2).
【分析】
(1)先算积的乘方,然后再利用单项式乘以单项式计算法则进行计算即可;
(2)根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算即可.
解析
(1)原式=8x3•(﹣5xy2)
=﹣8x3•5xy2
=﹣40x4y2;
(2)原式=3x2+6x+2x+4
=3x2+8x+4.
20.(2020秋•淅川县期末)已知(x2+mx+n)(x﹣1)的结果中不含x2项和x项,求m、n的值.
【分析】把式子展开,合并同类项后找到x2项和x项的系数,令其为0,可求出m和n的值.
解析(x2+mx+n)(x﹣1)=x3+(m﹣1)x2+(n﹣m)x﹣n.
∵结果中不含x2的项和x项,
∴m﹣1=0且n﹣m=0,
解得:
m=1,n=1.
21.计算:
(1)(2a﹣1)(a﹣4)﹣(a+3)(a﹣1);
(2)t2﹣(t+1)(t﹣5);
(3)(x+1)(x2+x+1);
(4)(2x+3)(x2﹣x+1).
【分析】
(1)根据多项式的乘法和合并同类项解答即可;
(2)根据多项式的乘法和合并同类项解答即可;
(3)根据多项式的乘法和合并同类项解答即可;
(4)根据多项式的乘法和合并同类项解答即可.
解析
(1)(2a﹣1)(a﹣4)﹣(a+3)(a﹣1)
=2a2﹣8a﹣a+4﹣a2+a﹣3a+3
=a2﹣11a+7;
(2)t2﹣(t+1)(t﹣5)
=t2﹣t2+5t﹣t+5
=4t+5;
(3)(x+1)(x2+x+1);
=x3+x2+x+x2+x+1
=x3+2x2+2x+1;
(4)(2x+3)(x2﹣x+1)
=2x3﹣2x2+2x+3x2﹣3x+3
=2x3+x2﹣x+3.
22.(2020秋•新宾县期末)如图,某市有一块长(3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地块,规划部门计划将阴影部分进行绿化,中间空白处将修建一座雕像.
(1)求绿化的面积是多少平方米.
(2)当a=2,b=1时求绿化面积.
【分析】
(1)绿化面积=长方形的面积﹣正方形的面积;
(2)把a=2,b=1代入
(1)求出绿化面积.
解析
(1)S绿化面积=(3a+b)(2a+b)﹣(a+b)2
=6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
=5a2+3ab;
答:
绿化的面积是(5a2+3ab)平方米;
(2)当a=2,b=1时,绿化面积=5×22+3×2×1
=20+6
=26.
答:
当a=2,b=1时,绿化面积为26平方米.
23.如图1,长方形的两边分别是m+8,m+4.如图2的长方形的两边为m+13,m+3(其中m为正整数).
(1)求出两个长方形的面积S1、S2,并比较S1、S2的大小;
(2)现有一个正方形,它的周长与图1的长方形的周长相等,试证明该正方形的面积与图1的长方形的面积的差是一个常数,并求出这个常数.
【分析】
(1)利用长方形的面积=长×宽易得S1,S2的大小,并用作差的方法进行比较;
(2)利用正方形的周长与图1中的长方形的周长相等易得正方形的边长,从而得正方形的面积,再作差去解决问题.
解析
(1)∵S1=(m+8)(m+4)=m2+12m+32,S2=(m+13)(m+3)=m2+16m+39,m为正整数,
∴S1﹣S2=m2+12m+32﹣(m2+16m+39)=﹣4m﹣7<0,
∴S1<S2;
(2)∵一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等,
∴正方形的边长为2(m+8+m+4)÷4=m+6,正方形的面积为(m+6)2=m2+12m+36,
∴m2+12m+36﹣(m2+12m+32)=m2+12m+36﹣m2﹣12m﹣32=4,
∴该正方形的面积与图1的长方形的面积的差是一个常数4.
24.(2020秋•岳麓区校级月考)定义:
L(A)是多项式A化简后的项数.例如多项式A=x2+2x﹣3,则L(A)=3.一个多项式A乘以多项式B,化简得到多项式C(即C=A×B),如果L(A)≤L(C)≤L(A)+1,则称B是A的“郡园多项式”;如果L(A)=L(C),则称B是A的“郡园志勤多项式”.
(1)若A=x﹣2,B=x+3;那么B是不是A的“郡园多项式”,说明理由;
(2)若A=x﹣2,B=x2+ax+4是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”,求a的值?
(3)若A=x2﹣x+3m,B=x2+x+m是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”,求m的值?
【分析】
(1)根据多项式乘多项式的法则计算,根据“郡园多项式”的定义判断;
(2)根据多项式乘多项式的法则计算,根据“郡园志勤多项式”,得到关于a的方程,解方程即可求解;
(3)根据多项式乘多项式的法则计算,根据“郡园志勤多项式”,得到关于m的方程,解方程即可求解.
解析
(1)B是A的“郡园多项式”,
理由如下:
(x﹣2)(x+3)=x2﹣2x+3x﹣6=x2+x﹣6,
x2+x﹣6的项数比A的项数多1项,
则B是A的“郡园多项式”;
(2)(x﹣2)(x2+ax+4)=x3+ax2+4x﹣2x2﹣2ax﹣8=x3+(a﹣2)x2+(4﹣2a)x﹣8,
∵B是A的“郡园志勤多项式”,
∴a﹣2=0且4﹣2a=0,
解得a=2.
∴a的值是2;
(3)(x2﹣x+3m)(x2+x+m)=x4+x3+mx2﹣x3﹣2x2﹣mx+3mx2+3mx+3m2=x4+(4m+1)x2+2mx+3m2,
∵B是A的“郡园志勤多项式”,
∴4m+1=0或m=0,
解得m
或0.
∴m的值是
或0.
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