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货物配送问题
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模夏令营竞赛的竞赛规则。
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写):
A
我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):
所属学校(请填写完整的全名):
参赛队员(打印并签名):
1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):
日期:
2013年8月21日
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用):
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
货物配送问题
摘要
梦想连锁是一家主营鲜猪肉的销售公司。
为了更好的提高该公司的销售量。
本文建立了相关数学模型,研究鲜猪肉销售问题,并给出了相关方案。
问题一:
首先用
作出了全省各个城镇位置的分布图,再用
算法求得各个城镇间的最短距离,从而得出2家生产基地到23家连锁店的最短距离,最后用
优化模型得到2家生产基地分别分配给23家连锁店的销售量,由公式
(元)得到最低运输成本。
问题二:
分析各个城镇需求特征,用曲线拟合的线性最小二乘法得到销售量的曲线方程
,并预测了未来的增长趋势,发现在2014年销售量达到峰值是1438吨。
得到销售量排名前5的城镇是城镇(120)>城镇(31)>城镇(63)>城镇(106)>城镇>(104);销售量排名后5位的是:
城镇(94)<城镇(30)<城镇(84)<城镇(109)<城镇(129)。
问题三:
建立0-1整数规划的优化数学模型,满足题目要求的条件下,得出需要再增加24家连锁店。
才能使全省销售量达到最大。
问题四:
在第三问的基础上,可以发现,有5个连锁店的销售量超过40吨,其中两个就有生产基地,为此,在其余3个城镇建立生产基地。
运用线性规划模型得出:
总运输成本=单位运输成本
生产基地与连锁店的距离
运输重量,
且最低运输费用为3.763
元。
问题五:
用
算法将高速公路都转化为普通公路来进行计算,并运用floyd算法求得每个城镇间的普通公路的最短距离,再用优化方案得出5个生产基地送给40个连锁店所在城镇的最优分配,建立优化模型可得最小货车数量是167辆。
【关键词】
算法
优化模型曲线拟合0-1整数规划
一、问题重述
随着经济的发展,人民的消费水平提高,需要的物质增加。
为了满足人民的需求,这就要求连锁销售公司对各连锁店进行重新分配调整。
为此,我们就梦想连锁公司的销售情况,回答以下问题:
问题一:
目前公司现有2个生产基地,23家销售连锁店,生产基地设在120号和63号城镇,为23家连锁店提供鲜猪肉。
若运输成本为0.45元/吨公里。
请你为公司设计生产与配送方案,使运输成本最低。
问题二:
请运用相关数学知识分析各城镇需求特征,并预测未来数年,何时全省鲜猪肉需求达到峰值,达到峰值时需求达到前5位和后5位的城镇是那些
问题三:
请你为公司设计增设销售连锁店方案,使全省销售量达到最大。
问题四:
在增设销售连锁店的基础上,公司决定增加生产基地,地址设立在城镇所在地,每日产品生产必须达到250吨以上,在生产与销售各环节不能有产品积压。
请你为公司设计生产基地增设方案,使运输成本最低。
问题五:
公司产品若采用载重1.5吨的小货车从生产基地运往销售连锁店,小货车在高速公路上限速100公里/小时(高速公路见附录2),在普通公路上限速60公里/小时,销售连锁店需要的产品必须当日送达。
假设每日车辆使用时间不超过8小时,小货车装满或卸完1.5吨的货物均需要半小时,本市运输车辆行驶时间可忽略不计。
在公司增设销售连锁店、增加生产基地后,为完成每日运输任务,请你为公司确定小货车的最小需求量及各车辆的调运方案。
二、问题分析
问题1:
目前公司有2个生产基地,分别在120号和63号城镇,有23家销售连锁店,运输成本为0.45元/吨公里。
为了使运输成本最低,则需要生产基地运输到销售店的距离最短。
建立
优化模型,可得出合理分配给各个销售店的量,且同时满足运输成本最低。
问题2:
根据公司近5年的全省各城镇的鲜猪肉月度需求数据,经过分析,建立曲线拟合的线性最小二乘法得到了销售量的销售曲线,就可以预测未来数年的销售量,并根据曲线方程可知销售量在某一年能达到峰值,同时可以预测达到峰值时前5位和后5为的城镇。
问题3:
是要求在原有连锁店的基础上再增设连锁店,使增加最少的连锁店来改变现有的供需状况,因此我们既要考虑连锁店距离城镇的位置,又要考虑供应与销售能力,紧接第一问,运用
软件将23个城镇化分为几个区域,然后分别在每个区域增设连锁店。
在十公里以内,需求量等于销售量的二分之一,在十公里之外,需求量为销售量的三成,来表达销售量,并且每个店的销售量要大于且等于20吨,然后求解。
问题4:
在第三问的基础上,还是用同样的方法划分区域,然后分别算出每个区域需要增设的生产基地,约束条件是每日生产为250吨,销售量要大于等于生产基地的产量。
问题5:
用线性规划来做,假设在高速公路运输需要S1辆小货车来运输,而在普通公路上需要S2辆小货车来运输。
求S1+S2的最小值。
约束条件为每日的使用时间不超过8小时,每辆货车运输所需的时间加上装货卸货的时间不得超过8小时,然后用
软件求解。
三、基本假设
(1)假设搜集的数据真实有效;
(2)假设没有其他因素的干扰;
(3)假设销售公司制度没有重大改革。
四、符号说明
符号
含义
符号
含义
各个城镇间的道路距离
产地到销地的距离
销地的需求量
产地
销地
乙基地
甲基地
年份序号
每年的总需求量
多项式系数
多项式系数
多项式系数
新增的所有连锁店的销售能力
23家连锁店现有的销售能力
未来
号城镇的需求
在不足10公里的其他城镇的销售连锁店购买
在超过10公里的其他城镇的销售连锁店购买
原有的23家店在新增连锁店前的销售能力
号城镇是否增设销售点
第
个生产基地运输货物重量
生产基地与连锁店的距离
每个连锁店所在城镇的销售能力
五、模型的构建与求解
5.1问题一模型的构建与求解
总运输成本=单位运输成本
产地和销地的距离
运输总重量
题中已给出单位运输成本,运输总重量也可由附录中的各个连锁店的销售量的总和来确定,因此仅有一项未知的因子,即产地和销地的距离。
由给出的附录全省交通网络数据,用
程序绘出该省的主要城镇图,并将主要公路和连锁店的位置重点标出,如下图:
图1主要城镇路线图
该省的主要城镇有154个,运用
算法求得各个城镇间的最短距离。
建立一个矩阵
,矩阵种元素
为各个城镇间的道路距离,没有道路相连城镇之间的数值设为无穷大,编程求解。
从程序结果中挑选出两个生产基地到各个连锁店所在城市的最短距离如下表:
表1两个生产基地到各个连锁店所在城市的最短距离表
连锁店所在城镇编号
1
10
11
16
22
24
27
31
63号城镇到其距离
187.99
108.36
179.15
157.32
168.95
128.94
135.1
114.66
120号城镇到其距离
134.31
175.67
239.26
103.64
252.61
218.39
202.41
169.37
连锁店所在城镇编号
34
36
42
63
63
64
65
79
63号城镇到其距离
162.07
193.72
153.11
0
0
7.31
19.09
28.17
120号城镇到其距离
119.54
151.19
110.58
89.45
89.45
96.76
108.54
117.62
连锁店所在城镇编号
94
106
120
120
123
141
145
63号城镇到其距离
190.98
84.51
89.45
89.45
94.56
122.56
137.83
120号城镇到其距离
170.17
63.7
0
0
5.11
61.72
72.85
根据附录1中连锁店所在的城市编号对连锁店编号及销售量进行重新排序,如下表:
表2连锁店所在的城市编号及日销售量
城镇编号
1
10
11
16
22
24
27
31
连锁店编号
1
2
3
4
5
6
7
8
日销售量(公斤)
14744
8481
6103
14783
6375
3251
9265
23947
城镇编号
34
36
42
63
63
64
65
79
连锁店编号
9
10
11
12
13
14
15
16
日销售量(公斤)
451
11503
9489
21733
28295
1840
15570
38759
城镇编号
94
106
120
120
123
141
145
连锁店编号
17
18
19
20
21
22
23
日销售量(公斤)
12773
38223
28733
32517
18081
9258
39653
由上表可以得出给每个连锁店所在城镇派送的总的鲜猪肉的重量,并将需要派送鲜猪肉的城镇进行重新编号如下:
表3每个连锁店所在城镇派送的总的鲜猪肉的重量
城镇编号
1
10
11
16
22
24
27
派送编号
1
2
3
4
5
6
7
派送货物(公斤)
14744
8481
6103
14783
6375
3251
9265
城镇编号
31
34
36
42
63
64
65
派送编号
8
9
10
11
12
13
14
派送货物(公斤)
23947
451
11503
9489
50028
1840
15570
城镇编号
79
94
106
120
123
141
145
派送编号
15
16
17
18
19
20
21
派送货物(公斤)
38759
12773
38223
61250
18081
9258
39653
题中要求设计最优生产与配送方案使得总运输费用最小,每个生产基地派送的总货物为其生产的重量,假设
分别为63号和120号两个生产基地
,
分别为上面21个需要派送鲜猪肉的城镇
,设
表示产地
运到销地
的量,
表示产地
到销地
的距离,
表示销地
的需求量。
由运输成本为0.45元/吨公里,即450元/公斤公里,建立该问题的数学模型为
目标函数
(1)
约束条件为
(2)
在
里输入相应的程序,解得:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
0.1054089E+11
目标函数值约为
元,具体派送方案如下表:
表4具体派送方案表
0
14744
8481
0
6103
0
0
14783
6375
0
3251
0
9265
0
23947
0
0
451
0
11503
0
9489
50028
0
1840
0
15570
0
38759
0
0
12733
0
38223
0
61250
0
18081
0
9258
0
39653
即按上表中的派送方案进行运输运输费最小,最小约为
元。
由上表可知,
代表乙基地,
代表甲基地,
代表每个连锁店所在城镇编号对应的派送编号,因此,乙基地分别派送到城镇10、11、22、24、27、31、63、64、65、79,派送的总重量为163619公斤即163.619吨;甲基地分别派送到城镇1、16、34、36、42、94、106、120、123、141、145,派送的总重量为230168公斤即230.168吨。
又由于每个基地的生产总量相当于每个基地派送给城镇的总重量,因此,甲基地的生产量为230.168吨,乙基地的生产量为163.619吨。
5.2问题二模型的构建与求解:
根据附录中给出的数据进行画图分析:
图22008年城镇1需求量
由2008城镇1需求量的走势图可知:
在1月至8月鲜猪肉需求量保持呈现缓慢增长,但八月后需求量增加,到十月中旬达到最大值。
再结合其他城镇在这一年销售可知与城镇1的变化情况基本一致,这说明154个城镇的销售情况也是如此。
图3城镇12008-2012年需求量
对比城镇1与其他城镇的消费情况可得结论:
销售量都是呈递增形式,在2008年至2010年,销售量增加的比较快,到2012年,销售量的虽然增加,但增加的比较缓慢。
整年过程都出现波动,这符合实际情况。
图42008-2012年月总需求量折线图
以月份的销售量作得销售图可得出:
总销售量是递增的,而且在前34个月销售量增加比较快,在以后的销售量却增加缓慢。
这与年销售量得出结果基本符合。
从以上销售图可知,虽然销售量出现局部波动,但总体呈现上升趋势,在2011年销售量趋于平缓。
对附录中的数据进行处理可得全省从2008年到2012年对该公司的总需求量,如下表:
表5全省从2008年到2012年对该公司的总需求量
年份
序号
1
2
3
4
5
年份
2008
2009
2010
2011
2012
总需求量(吨)
1304076.36
1346540.65
1382773.01
1410444
1427071.86
对数据做散点图如下:
图5全省2008-2012年总需求量的散点图
从图中可以看出,全省从2008年到2012年对该公司的总需求量近似呈抛物线的形式,因此用最小二乘法对其进行曲线拟合。
上表中已求得全省从2008年到2012年对该公司的鲜猪肉的需求量,以年份序号为
,以每年的总需求量为
,假设曲线为二次多项式
。
运用
程序对上面的数据曲线进行拟合,求出二次多项式的系数为:
所以,对上面数据进行曲线拟合所得到的曲线表达式为:
(3)
曲线拟合的图像如下:
图6曲线拟合图
由上图可以看出,曲线拟合的效果与原数据较为吻合,因此可以用拟合出的曲线表达式及二次多项式
对未来的需求量进行预测,运用
将数值代入,对未来的需求量的预测图如下:
图7未来需求量的预测图
因题中将2008年序号编为第一年,预测图中未来的需求量的峰值出现在第七年,类推即可得出,未来需求量的峰值将会出现在2014年。
根据预测,达到峰值时,销售量排名前5的城镇是:
城镇(120)>城镇(31)>城镇(63)>城镇(106)>城镇>(104);销售量排名后5位的是:
城镇(94)<城镇(30)<城镇(84)<城镇(109)<城镇(129)。
5.3问题三模型的构建与求解
为公司设计增设销售连锁店方案,使全省销售量达到最大,根据题中所给的已知条件,设
表示新增的所有连锁店的销售能力;
表示23家连锁店现有的销售能力(即增设连锁店后原有的23家连锁店的销售能力);
表示未来
号城镇的需求;
表示在不足10公里的其他城镇的销售连锁店购买,则这一部分需求量只能实现一半(成为公司产品销售量,由于距离的原因,另一半需求转向购买其他公司或个体工商户的产品);
表示超过10公里的其他城镇的销售连锁店购买,销售量只能达到需求量的三成;
表示原有的23家店在新增连锁店前的销售能力。
由以上可知,目标函数为:
(4)
约束条件为
(5)
将其编入
程序并求解得:
在该省的6,8,10,18,31,33,50,54,56,64,68,76,100,101,104,110,116,120,123,125,150,154号城镇增设连锁店,将会使全省的总销售量最低,最大值为919414公斤。
5.4问题四模型的构建与求解
在增设销售连锁店的基础上,即原有的23个连锁店以及现增设的连锁店的基础上,连锁店所在的城市分别为1,6,8,10,11,16,18,22,24,27,31,33,34,36,42,50,54,56,62,63,64,65,68,76,79,94,100,101,104,106,110,116,120,121,123,125,141,145,150,154号城镇,总共有40个城镇开设有连锁店,这40个城镇的销售能力分别为:
17692.8,23453,27491.8,35406,7323.6,1761.1,20673,7650,3901.2,11118,55474.1,20304.6,541.2,11459,5330.2,21972.8,22079.7,25328.2,23053.5,46489,25866.1,7035.5,25122,21909.5,19577.5,5134.6,21208.5,27736.1,20478,42360,22389,20382,94147.4,,40000,45370,29010.7,10270.8,3832,27089.3,22002.2公斤。
表6每个连锁店的销售能力
城镇编号
1
6
8
10
11
16
18
序号
1
2
3
4
5
6
7
销售能力
17692.8
23453
27491.8
35406
7323.6
1761.1
20673
城镇编号
22
24
27
31
33
34
36
序号
8
9
10
11
12
13
14
销售能力
7650
3901.2
11118
55474.1
20304.6
541.2
11459
城镇编号
42
50
54
56
62
63
64
序号
15
16
17
18
19
20
21
销售能力
5330.2
21972.8
22079.7
25328.2
23053.5
46489
25866.1
城镇编号
65
68
76
79
94
100
101
序号
22
23
24
25
26
27
28
销售能力
7035.5
25122
21909.5
19577.5
5134.6
21208.5
27736.1
城镇编号
104
106
110
116
120
121
123
序号
29
30
31
32
33
34
35
销售能力
20478
42360
22389
20382
94147.4
40000
45370
城镇编号
125
141
145
150
154
序号
36
37
38
39
40
销售能力
29010.7
10270.8
3832
27089.3
22002.2
为公司设计生产基地增设方案,使运输成本最低,总运输成本=单位运输成本
生产基地与连锁店的距离
运输重量,第三问中已求出增设连锁店之后,每个连锁店所在城镇的销售能力,排序得出销售能力大于40000公斤的有31,63,106,120,123号城镇,因63号和120号城镇已经设立有生产基地,所以假设在31,106,123号城镇新增生产基地使运输成本最低。
将31,106,123号生产基地分别记为
要向40个开设有连锁店的城镇进行运输,记为
。
设第
个生产基地运输货物
公斤
,生产基地与连锁店的距离为
为每个连锁店所在城镇的销售能力,
将总运输成本设为目标函数,
目标函数为
(6)
约束条件为
(7)
编写
程序并求解得:
在上面三个城镇都建立生产基地,即在31,106,123号城镇增设生产基地,使运输费用最低,最低运输费用为3.763
元。
5.5问题五模型的构建与求解
本题在公司增设连锁店和生产基地之后,求货车运货的最优方案,采用载重1.5吨的小货车从生产基地运往销售连锁店,小货车在高速公路上限速100公里/小时,在普通公路上限速60公里/小时,高速公路经过的城镇附录中已给出。
为了将思路简单化,这里将高速公路都转化为普通公路来进行计算,由题中所给条件可知,每公里高速公路相当于
的普通公路,将附录中所给的各城镇间的距离数据进行转化,并运用floyd算法求得每个城镇间的普通公路的最短距离。
小货车每日车辆使用时间不超过8小时,小货车装满或卸完1.5吨的货物均需要半小时,本市运输车辆行驶时间可忽略不计。
增设连锁店和生产基地后,共有5个生产基地,分别位于31,63,106,120,123号城镇,
求出每个生产基地与每个连锁店所在城市的距离,根据小货车的速度可以求出小货车从每个生产基地到每个城镇所用的时间,根据最短时间原则确定每个生产基地送货的城镇如下:
城镇序号即为第四问中按连锁店所在城镇重新排列的序号:
31号生产基地送货的城镇有:
4,5,7,8,9,10,11,12,13,14;
所需的时间分别为0.1050,1.3722,0.6265,1.5947,0.8637,0.5507,0,0.3678,1.3842,1.9553。
63号生产基地送货的城镇有:
2,3,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25;
。
106号生产基地送货的城镇有:
1,26,27,28,29,30,37,38;
所需的时间分别为1.8840,1.7745,1.8957,1.3897,0.5386,0,0.8878,1.0453。
120号生产基地送货的城镇有:
15,32,33,34;
所需的时间分别为1.9165,0.6128,0,0.3355。
123号生产基地送货的城镇有:
6,31,35,36,39,40;
所需的时间分别为1.6620,0.8102,0,0.2355,0.9273,1.2102。
每个连锁店所在城镇重新编号,所用时间及运输情况如下:
表7每个连锁店的运输情况
城镇编号
1
6
8
10
11
16
18
序号
1
2
3
4
5
6
7
销售
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