全等三角形之婆罗摩笈多模型.docx
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全等三角形之婆罗摩笈多模型
婆罗摩笈多模型
【人物背景】婆罗摩笈多(Brahmagupta)是七世纪时的印度数学家,在世时间约是公元598年~660年。
他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。
《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角形、四边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究,《肯达克迪迦》则是天文方面的著作,研究了关于月食、日食、行星的合
等问题。
他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位,比如负数。
(知中点证垂直;知垂直证中点)
【题目】分别以三角形ABC的边AB、AC为边,向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG,N为EG的中点,M、A、N三点共线。
求证:
AM⊥BC;BC=2AN;S△ABC=S△AEG。
【证明】:
(倍长中线)
延长AN到W,使NW=NA,连接EW。
在∆WEN和∆AGN中,
NW=NA(已作)
∠WNE=∠ANG(对顶角)
EN=GN(已知)
∴∆WEN≌ ∆AGN(SAS)
∴EW=GA,∠EWN=GAN
∵∠EWN=GAN
∴EW//GA
∴∠WEA+∠EAG=180°(平行线同旁内角)
∵∠GAC=90°,∠EAB=90°
∴∠EAG+∠CAB=180°
∴∠WEA=∠CAB
∵EW=GA
又∵GA=AC
∴EW=AC
在∆EWA和∆ACB中
EA=AB
∠WEA=∠CAB
EW=AC
∴∆EWA ≌ ∆ACB(SAS)
∴WA=CB,∠EAW=∠ABC
∵∆ABC ≌ ∆EAW
∴S∆EWA = S∆ACB
∵∆WEN≌ ∆AGN
∴S∆WEN= S∆AGN
∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN+S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG
∵WN=AN
∴BC=2AN
∵∠WAB=∠EAB+∠EAW
又∵∠WAB=∠ABM+∠AMB(三角形外角性质)
∴∠EAB+∠EAW=∠ABM+∠AMB
∵∠EAW=∠ABC(∠ABC即∠ABM)
∴∠EAB+∠ABM=∠ABM+∠AMB
∴∠EAB=∠AMB
∴∠AMB=90,即AM⊥BC,证毕。
【题目】分别以∆ABC的边AB、AC为边,向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG,AM⊥BC。
求证:
N为EG的中点;BC=2AN ;S△ABC=S△AEG。
【证明一】:
作EW//AG,交AN的延长线于W
∵EW//AG
∴∠WEA+∠EAG=180°
∵∠EAB和∠GAC为正方形的角,所以两个角均为90°
∴∠EAG+∠BAC=180°
∴∠WEA=∠BAC
∵EW//AG
∴∠EWN=∠GAN
∵∠GAN+∠MAC=90°
∵AM⊥BC
∴∠MAC+∠MCA=90°
∴∠MCA=∠GAN
∴∠MCA=∠EWN
在∆ABC和∆EAW中,
∠BCA=∠AWE
∠CAB=∠WEA
AB=EA
∴∆ABC ≌ ∆EAW(AAS)
∴AW=BC
∴WE=CA
∵CA=AG
∴WE=AG
∵EW//AG
∴∠WEN=∠AGN
在∆WEN和∆AGN中,
∠WEN=∠AGN
WE=AG
∠ENW=GNA
∴∆WEN≌ ∆AGN(ASA)
∴EN=GN,即N为EG的中点
∴WN=AN
∴BC=AW=2AN
∵∆ABC ≌ ∆EAW
∴S∆EWA = S∆ACB
∵∆WEN≌ ∆AGN
∴S∆WEN= S∆AGN
∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN+S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG,证毕。
【证明二】:
延长AN,使AW=BC
∵∠EAB=90°
∴∠EAW+∠BAM=90°
∵AM⊥BC
∴∠ABC+BAM=90°
∴∠EAW =∠ABC
在∆ABC和∆EAW中,
AB=EA(正方形)
∠ABC=∠EAW(已证)
BC=AW(已作)
∆ABC ≌ ∆EAW(SAS)
∴AC=EW,∠ACB=∠EWA
∵GA=AC
∴GA=EW
∵∠GAC=90°
∴∠NAG+∠MAC=90°
∵AM⊥BC
∴∠ACM+∠MAC=90°
∴∠NAG=∠ACM
又∵∠ACB=∠EWA
∴∠NAG=∠EWA
在∆WEN和∆AGN中,
∠EWN=∠GAN
EW=GA
∠ENW=GNA
∴∆WEN≌ ∆AGN(ASA)
∴EN=GN,即N为EG的中点,证毕。
(说明:
BC=2AN ;S△ABC=S△AEG方法同证明一)
【证明三】:
(基于三垂直模型)
作EX⊥AN,交AN的延长线于X,作GY⊥AN,将AN于Y。
∵AM⊥BC
∴∠ABM+∠BAM=90°
∵∠EAB=90°
∴∠EAN+∠BAM=90°
∴∠ABM=∠EAN
在Rt∆ABM和Rt∆EAX中,
∵∠ABM=∠EAN
∴∠AEX=∠BAM
在Rt∆ABM和Rt∆EAX中,
∠BAM=∠AEX
AB=EA
∠ABM=∠EAX
∴Rt∆ABM ≌Rt∆EAX (ASA)
∴AM=EX
同理可证:
∴Rt∆AYG ≌Rt∆CMA (ASA)
∴GY=AM
∵AM=EX
∴GY=EX
在Rt∆EXN和Rt∆GYN中,
∠ENX=∠GNY
∠EXN=∠GYN
EX=GY
∴Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN(AAS)
∴EN=GN,即N为EG的中点
∵Rt∆ABM ≌Rt∆EAX
∴S∆ABM =S∆EAXBM=AX
∵Rt∆AYG ≌Rt∆CMA
∴S∆AYG =S∆CMACM=AY
∵Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN
∴S∆EXN = S∆GYNXN=YN
∴S△ABC=S∆ABM+S∆CMA =S∆EAX+S∆AYG=S∆EAN+S∆ENX+S∆ANG-S∆GNY=S∆AEG
∴BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN,证毕。
完结......
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