第九章 92两条直线的位置关系学生版.docx
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第九章92两条直线的位置关系学生版
1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( )
(3)已知直线l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.( )
(4)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为
.( )
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
(6)若点A,B关于直线l:
y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-
,且线段AB的中点在直线l上.( )
2、过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )
A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0
3、已知点(a,2)(a>0)到直线l:
x-y+3=0的距离为1,则a等于( )
A.
B.2-
C.
-1D.
+1
4、已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( )
A.x+y-2=0B.x-y+2=0
C.x+y-3=0D.x-y+3=0
5、设直线l1:
(a+1)x+3y+2=0,直线l2:
x+2y+1=0,若l1∥l2,则a=________,若l1⊥l2,则a=________.
无
题型一 两条直线的平行与垂直
例1
(1)设不同直线l1:
2x-my-1=0,l2:
(m-1)x-y+1=0.则“m=2”是“l1∥l2”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
(2)已知直线l1:
ax+2y+6=0和直线l2:
x+(a-1)y+a2-1=0.
①试判断l1与l2是否平行;
②当l1⊥l2时,求a的值.
【同步练习】
1、已知两直线l1:
x+ysinα-1=0和l2:
2x·sinα+y+1=0,求α的值,使得:
(1)l1∥l2;
(2)l1⊥l2.
题型二 两条直线的交点与距离问题
例2
(1)求经过两条直线l1:
x+y-4=0和l2:
x-y+2=0的交点,且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为________________.
(2)直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为________________.
【同步练习】
(1)如图,设一直线过点(-1,1),它被两平行直线l1:
x+2y-1=0,l2:
x+2y-3=0所截的线段的中点在直线l3:
x-y-1=0上,求其方程.
(2)若动点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在直线l1:
x-y-5=0,l2:
x-y-15=0上移动,则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是( )
A.
B.5
C.
D.15
1.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行:
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2,若其斜率分别为k1、k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.
(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
②两条直线垂直:
(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在,设为k1、k2,则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组
的解.
2.几种距离
(1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离
|P1P2|=
.
(2)点P0(x0,y0)到直线l:
Ax+By+C=0的距离d=
.
(3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)间的距离d=
.
【知识拓展】
1.一般地,与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C);与之垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0.
2.过直线l1:
A1x+B1y+C1=0与l2:
A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件:
(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.
题型三 对称问题
命题点1 点关于点中心对称
例3 过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:
2x+y-8=0和l2:
x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________________.
命题点2 点关于直线对称
例4 如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( )
A.3
B.6C.2
D.2
命题点3 直线关于直线的对称问题
例5 已知直线l:
2x-3y+1=0,求直线m:
3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程.
【同步练习】
1、已知直线l:
3x-y+3=0,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点;
(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程;
(3)直线l关于(1,2)的对称直线.
题型五妙用直线系求直线方程
一、平行直线系
由于两直线平行,它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,因此两直线平行时,它们的一次项系数与常数项有必然的联系.
典例1 求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程.
二、垂直直线系
由于直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件为A1A2+B1B2=0.因此,当两直线垂直时,它们的一次项系数有必要的关系.可以考虑用直线系方程求解.
典例2 求经过A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.
三、过直线交点的直线系
典例3 求经过两直线l1:
x-2y+4=0和l2:
x+y-2=0的交点P,且与直线l3:
3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
(1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
(3)求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.
(4)利用距离公式应注意:
①点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化为相等.
1.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:
ax+2y-1=0与直线l2:
x+(a+1)y+4=0平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
2.已知两条直线l1:
x+y-1=0,l2:
3x+ay+2=0且l1⊥l2,则a等于( )
A.-
B.
C.-3D.3
3.从点(2,3)射出的光线沿与向量a=(8,4)平行的直线射到y轴上,则反射光线所在的直线方程为( )
A.x+2y-4=0B.2x+y-1=0
C.x+6y-16=0D.6x+y-8=0
4.一只虫子从点O(0,0)出发,先爬行到直线l:
x-y+1=0上的P点,再从P点出发爬行到点A(1,1),则虫子爬行的最短路程是( )
A.
B.2C.3D.4
5.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
6.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n等于( )
A.
B.
C.
D.
7.已知两直线l1:
ax-by+4=0和l2:
(a-1)x+y+b=0,若l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等,则a+b=________.
8.已知直线l1:
ax+y-1=0,直线l2:
x-y-3=0,若直线l1的倾斜角为
,则a=________;若l1⊥l2,则a=________;若l1∥l2,则两平行直线间的距离为________.
9.点P(2,1)到直线l:
mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是________.
10.在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是________.
11.已知两条直线l1:
ax-by+4=0和l2:
(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.
(1)l1⊥l2,且直线l1过点(-3,-1);
(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
12.已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,求直线BC的方程.
*13.已知三条直线:
l1:
2x-y+a=0(a>0);l2:
-4x+2y+1=0;l3:
x+y-1=0,且l1与l2间的距离是
.
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:
①点P在第一象限;
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的
;
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是
∶
.
若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.
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