编辑高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和不等问题含答案.docx
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编辑高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和不等问题含答案
用放缩法处理数列和不等问题(教师版)
一.先求和后放缩(主要是先裂项求和,再放缩处理)
例1.正数数列
的前
项的和
,满足
,试求:
(1)数列
的通项公式;
(2)设
,数列
的前
项的和为
,求证:
解:
(1)由已知得
,
时,
,作差得:
,所以
,又因为
为正数数列,所以
,即
是公差为2的等差数列,由
,得
,所以
(2)
,所以
真题演练1:
(06全国1卷理科22题)设数列
的前
项的和,
,
(Ⅰ)求首项
与通项
;(Ⅱ)设
,
,证明:
.
解:
(Ⅰ)由Sn=
an-
×2n+1+
n=1,2,3,…,①得a1=S1=
a1-
×4+
所以a1=2
再由①有Sn-1=
an-1-
×2n+
n=2,3,4,…
将①和②相减得:
an=Sn-Sn-1=
(an-an-1)-
×(2n+1-2n),n=2,3,…
整理得:
an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:
an+2n=4×4n-1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n-2n,n=1,2,3,…,
(Ⅱ)将an=4n-2n代入①得Sn=
×(4n-2n)-
×2n+1+
=
×(2n+1-1)(2n+1-2)
=
×(2n+1-1)(2n-1)
Tn=
=
×
=
×(
-
)
所以,
=
-
)=
×(
-
)<
二.先放缩再求和
1.放缩后成等比数列,再求和
例2.等比数列
中,
,前n项的和为
,且
成等差数列.
设
,数列
前
项的和为
,证明:
.
解:
∵
,
,
,∴公比
.
∴
.
.
(利用等比数列前n项和的模拟公式
猜想)
∴
.
真题演练2:
(06福建卷理科22题)已知数列
满足
(I)求数列
的通项公式;
(II)若数列
滿足
,证明:
数列
是等差数列;
(Ⅲ)证明:
.
(I)解:
是以
为首项,2为公比的等比数列
即
(II)证法一:
①
②
②-①,得
即
③-④,得
即
是等差数列
(III)证明:
2.放缩后为“差比”数列,再求和
例3.已知数列
满足:
,
.求证:
证明:
因为
,所以
与
同号,又因为
,所以
,
即
,即
.所以数列
为递增数列,所以
,
即
,累加得:
.
令
,所以
,两式相减得:
,所以
,所以
,
故得
.
3.放缩后成等差数列,再求和
例4.已知各项均为正数的数列
的前
项和为
且
.
(1)求证:
;
(2)求证:
解:
(1)在条件中,令
,得
,
,又由条件
有
,上述两式相减,注意到
得
∴
所以,
,
所以
(2)因为
,所以
,所以
;
练习:
1.(08南京一模22题)设函数
,已知不论
为何实数,恒有
且
.对于正数列
,其前n项和
,
.
(Ⅰ)求实数b的值;(II)求数列
的通项公式;
(Ⅲ)若
,且数列
的前n项和为
,试比较
和
的大小并证明之.
解:
(Ⅰ)
(利用函数值域夹逼性);(II)
;
(Ⅲ)∵
,∴
2.(04全国)已知数列
的前
项和
满足:
,
(1)写出数列
的前三项
,
,
;
(2)求数列
的通项公式;
(3)证明:
对任意的整数
,有
分析:
⑴由递推公式易求:
a1=1,a2=0,a3=2;
⑵由已知得:
(n>1)
化简得:
故数列{
}是以
为首项,公比为
的等比数列.
故
∴
∴数列{
}的通项公式为:
.
⑶观察要证的不等式,左边很复杂,先要设法对左边的项进行适当的放缩,使之能够求和。
而左边=
,如果我们把上式中的分母中的
去掉,就可利用等比数列的前n项公式求和,由于-1与1交错出现,容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩,尝试知:
,
,因此,可将
保留,再将后面的项两两组合后放缩,即可求和。
这里需要对
进行分类讨论,
(1)当
为偶数
时,
(2)当
是奇数
时,
为偶数,
所以对任意整数
,有
。
本题的关键是并项后进行适当的放缩。
3.(07武汉市模拟)定义数列如下:
求证:
(1)对于
恒有
成立;
(2)当
,有
成立;
(3)
分析:
(1)用数学归纳法易证。
(2)由
得:
……
以上各式两边分别相乘得:
,又
(3)要证不等式
,
可先设法求和:
,再进行适当的放缩。
又
原不等式得证。
本题的关键是根据题设条件裂项求和。
用放缩法处理数列和不等问题(学生版)
一.先求和后放缩(主要是先裂项求和,再放缩处理)
例1.正数数列
的前
项的和
,满足
,试求:
(1)数列
的通项公式;
(2)设
,数列
的前
项的和为
,求证:
真题演练1:
(06全国1卷理科22题)设数列
的前
项的和,
,
(Ⅰ)求首项
与通项
;(Ⅱ)设
,
,证明:
.
二.先放缩再求和
1.放缩后成等比数列,再求和
例2.等比数列
中,
,前n项的和为
,且
成等差数列.
设
,数列
前
项的和为
,证明:
.
真题演练2:
(06福建卷理科22题)已知数列
满足
(I)求数列
的通项公式;
(II)若数列
滿足
,证明:
数列
是等差数列;
(Ⅲ)证明:
.
2.放缩后为“差比”数列,再求和
例3.已知数列
满足:
,
.求证:
3.放缩后成等差数列,再求和
例4.已知各项均为正数的数列
的前
项和为
且
.
(1)求证:
;
(2)求证:
练习:
1.(08南京一模22题)设函数
,已知不论
为何实数,恒有
且
.对于正数列
,其前n项和
,
.
(Ⅰ)求实数b的值;(II)求数列
的通项公式;
graphn.图表;坐标图;曲线图(Ⅲ)若
,且数列
的前n项和为
,试比较
和
的大小并证明之.
△Halloweenn.万圣节前夕;诸圣日前夕
△AhmedAziz艾哈迈德?
阿齐兹
△SamuelLanghorneClemens塞缪尔?
兰霍恩?
克莱门斯(人名)
△stressfuladj.产生压力的;
2.(04全国)已知数列
的前
项和
满足:
,
(1)写出数列
的前三项
,
,
;
(2)求数列
的通项公式;
figuren.画像;身材;数字(3)证明:
对任意的整数
,有
makealife习惯于新的生活方式、工作等
△mimen.哑剧
trendn.趋势;倾向;走向3.(07武汉市模拟)定义数列如下:
求证:
(1)对于
恒有
成立;
(2)当
,有
成立;
(3)
electricshock触电;电休克
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