第5讲 手拉手模型(word版).docx
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知识目标
第5讲“手拉手”模型
1.熟练掌握“手拉手”模型的基本结构、结论和证明方法;
2.能够独立发现等腰手拉手、等腰直角手拉手、等边手拉手的全等三角形;
3.学习“手拉手”模型的相关综合应用
模块一认识“手拉手”模型
知识导航
一、手拉手的特殊形式:
(1)两个共顶点的等边三角形
A
B
D
A A
E
C D B C
C
B
D E E
已知:
△ABC,△DBE均为等边三角形;结论:
△ABD≌△CBE(SAS).
(2)两个共直角顶点的等腰直角三角形
B
A
D
E
A
A
D
E
E
C
B C
C
D B
已知:
△ABC,△DBE均为等腰直角三角形,BA=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=90°;结论:
△ABD≌△CBE(SAS).
二、手拉手的一般形式:
两个顶角相等并且共顶角顶点的等腰三角形
E
D
B
D
C
B
B E D
E
A
C A A C
已知:
△ABC,△DBE均为等腰三角形,BA=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE;结论:
△ABD≌△CBE(SAS).
题型一等边三角形手拉手
例1以点C为等边三角形顶点向左右两侧各作等边△ACD和等边△BCE,连接AE、BD交于F点,连接
CF,求证:
(1)BD=AE;
(2)∠BFE=60°;
(3)CF平分∠AFB.
F
C
D E
A
B
练习若【例1】中A、C、B三点不在一条直线上,如下图所示,其它条件不变.
(1)【例1】中的三个结论是否仍然成立?
证明你的结论;
(2)设AE交CD于M点,BD交CD于N点,试判断△CMN的形状.
E
D
F
M
N
C
A B
题型一等腰直角三角形手拉手
例2(2016-2017年武珞路八上期中第23题改编)
如图:
△ABD、△AEC中,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,DC、BE相交于点M.
(1)求证:
BE=CD
(2)求证:
CD⊥BE;
(3)求∠AMD的度数.
E
D
A
M
B
C
练习(2015-2016年洪山区八上期中第
(2)问)
如图,已知直线AB交x轴于点A(a,0),交y轴于点B(0,b),且a,b满足|a+b|+(a+4)2=0,若点C在第一象限,且BE⊥AC于点E,延长BE到D,使BD=AC,连OC,OD,CD,试判断△COD的形状,并说明理由.
y
B
E
C
A
O
x
D
题型三等腰三角形手拉手
如图,△ACD与△BCE为等腰三角形,其中CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE=α,BD、AE交于F.
(1)求证:
AE=BD
(2)求∠BFE和∠AFC的度数.
E
F
A D
B
C
模块二理解手拉手旋转全等
知识导航
在学习这部分内容时我们需要先理解什么是旋转全等?
D
C
M
N
B
A
E
如上图,若知等边△ABC和等边△ADE,可得到△ABD≌△ACE(SAS),实际上也可以理解为△ABD顺时针旋转60°得到△ACE,或者△ACE逆时针旋转60°得到△ABD,我们称这种全等为旋转全等.
我们假设△ABD的中线为AM,那么经过旋转后它在△ACE内的对应边为AN,由于是旋转得到,所以AM=AN,且AM、AN的夹角为60°.
将上述内容总结成一般结论,我们可以得到旋转全等的两个三角形内对应位置的线段相等,且夹角等于旋转角(即手拉手的顶角).
例4已知如图△ACB与△CEF为等腰直角三角形,∠ACB=∠ECF=90°,AE,BF交于点O,M是AE中点,N是BF的中点,试判断△CMN的形状.
C
N
M
O
B
E
F
A
练习已知△ABC,分别以AB,AC为边作△ABD和△ACD,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE,G,F分别是DC与BE的中点.
(1)如图,若∠DAB=60°,则∠AFG= .
A
F
G
B
C
E
D
(2)如图,若∠DAB=90°,则∠AFG= .
A
F
G
B
E
D
C
(3)如图,若∠DAB=α,则试探究∠AFG与α之间的关系.
E
A
F
D
B G
C
挑战压轴题
(2016-2017武昌区八上期中、2017-2018硚口区八上期中)如图,△AOB和△ACD是等边三角形,其中AB⊥x轴于E点.
(1)如图,若OC=5,求BD的长度;
(2)设BD交x轴于点F,求证:
∠OFA=∠DFA;
y
A
D
O
E
C x
B
y
A
D
O
E
FC x
B
y
A
C
O
E
B
x
D
(3)如图,若正△AOB的边长为4,点C为x轴上一动点,以AC为边在直线AC下方作正△ACD,连接ED,求ED的最小值.
图1 图2 图3
模块三手拉手全等综合应用
例5(2016-2017年武路八上期中第23题第(3)问)
如图,设△ADC和△CBE都是等边三角形,连接AE、AB、BD,∠ABD=80°,求∠EAB的度数.
E
A
C B
D
练习
1.(2017-2018七一中学周练、2015年洪山区八上期中)
如图,设△ABC和△CDE都是等边三角形,且∠EBD=65°,求∠AEB的度数.
A
E
B C
D
2.(2017-2018南湖中学10月考)
如图,已知AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90°,且∠EBD=42°,则∠AEB= .
例6(2014-2015年江岸区八上期中第24题第
(1)
(2)问)
如图,△AOB是等边三角形,以直线OA为x轴建立平面直角坐标系,B(a,b)且a,b满足
a 5
(b5
3)2
0,D为y轴上移动点,以AD为边做等边△ADC,直线CB交y轴于点E.
(1)如图1,求A点的坐标;
(2)如图2,D在y轴正半轴上,C在第二象限,CE的延长线交x轴于点M,当D点在y轴正半轴上运动时,M点的坐标是否发生变化,若不变,求M点的坐标,若变化,说明理由.
y
B
A
O
y
C
B
D
E
A
O
M
x x
图1 图2
拓展
(2016-2017江岸区期中T16)如图,△ABC中∠ACB=90°,记BC=a,分别以直角三角形的三边向外作正方形ABDE,正方形ACFG,正方形BCMN,过点C作BC边上的高CH并延长交正方形ABDE的边
DE于K,则四边形BDKH的面积为 .(用含a的式子表示)
M
C
a
B
H
A
F
G
N
D K E
第5讲本讲课后作业
A基础巩固
1.如图,等边△ABC,D是AB边上动点,以CD为边,向上作等边△EDC,连AE.
(1)求证:
AE∥BC.
(2)若D点运动到BA延长线上,其它条件不变,是否仍有AE∥BC?
2.
(1)如图1,△ABC和△ECD都是等边三角形,图中有一对全等三角形可以看成是旋转变换得到的,它们是 ;
(2)在
(1)中,将△ECD绕C点任意旋转一个角度得如图2,分别取AD、BE的中点M、N,连接MN、
MC、NC,请判断△MCN的形状,并证明你的结论.
A
M
E
N
C
A
E
B C D B D
3.(2015年汉阳区八上期末)
如图,已知△ABC是等边三角形,点E在线段AB上,点D在射线CB上,且DE=CE,以CE为边等边三角形CEF,连接EF.
(1)求证:
BE=AF.
(2)猜想线段AB、DB、AF之间的数量关系,并证明你的猜想.
A F
E
D B C
B综合训练
4.(2017年东西湖区八上期中)如图,设△ABC和△CDE都是等边三角形,若∠AEB=70°,求∠EBD的度数.
5.如图,△ABC为等腰直角三角形,其中AB=AC,∠BAC=90°,点A、D在BC的异侧且∠BDC=90°,连接AD,过点A作AE⊥AD交DB延长线于点E,求∠E的度数.
A
B
E
C
D
6.如图1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠ABC的平分线BE交AC于E.
(1)求证:
AE=BC;
(2)如图2,过点E作EF∥BC交AB于F,将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°<α<144°)得到△AE′F′,连接CE′,BF′,求证:
CE′=BF′.
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