全等三角形知识点总结及对应练习题.docx
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全等三角形知识点总结及对应练习题
全等三角形专题讲解
(一)知识储备
1、全等三角形的概念:
(1)能够重合的两个图形叫做全等形。
(2)两个三角形是全等形,就说它们是全等三角形。
两个全等三角形,经过运动后一定重合,相互重合的顶点叫做对应顶点;相互重合的边叫做对应边;相互重合的角叫做对应角。
(3)全等三角形的表示:
如图,△ABC和△DEF是全等三角形,记作△ABC≌△DEF,符号“≌”表示全等,读作“全等于”。
注意:
记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
2、全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等,对应角相等。
【例1】
如图,△ABC≌△DEF,则有:
AB=DE,AC=DF,BC=EF;∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F。
3、全等三角形的判定定理:
“边角边”公理:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
【例2】
“角边角”公理:
两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等。
【例3】
“角角边”公理:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
【例4】
“边边边”公理:
三边对应相等的两个三角形全等。
【例5】
“斜边直角边“公理
斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。
【例6】
(二)双基回眸
1、下列说法中,正确的个数是()
①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等
A.4B.3C.2D.1
2、如果ΔABC≌ΔDEF,则AB的对应边是_____,AC的对应边是_____,∠C的对应角是_____,
∠DEF的对应角是_____.
3、如图,△ABC≌△BAD,A和B、C和D是对应顶点,如果AB=5,BD=6,AD=4,
那么BC等于()
A.6B.5C.4D.无法确定
4、如图,△ABC≌ΔADE,若∠B=80°,∠C=30°,∠DAC=35°,则∠EAC的度数
为()
A.40°B.35°C.30°D.25°
5、能确定△ABC≌△DEF的条件是()
A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠E
B.AB=DE,BC=EF,∠C=∠E
C.∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D
D.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E
6、如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是()
A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙
(三)例题经典
例1:
如图,ΔABC≌ΔDCB.
(1)若∠D=74°∠DBC=38°,则∠A=_____,∠ABC=_____;
(2)对应边AC=,AB=;
(3)如果ΔAOB≌ΔDOC,则AO=_,BO=_,∠A=_,∠ABC=.
例2:
如图,AB、CD相交于O点,AO=CO,OD=OB.
求证:
∠D=∠B.
例3:
如图,PM=PN,∠M=∠N.求证:
AM=BN.
例4:
如图,AC
BD.求证:
OA=OB,OC=OD.
例5:
如图,△RPQ中,RP=RQ,M为PQ的中点.
求证:
RM平分∠PRQ.
例6:
如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC.
求证:
(1)AB=DC:
(2)AD∥BC.
例6图
例7:
阅读下题及一位同学的解答过程,回答问题:
如图,AB和CD相交于点O,且OA=OB,∠A=∠C。
那么△AOD与△COB全等吗?
若全等,试写出证明过程;若不全等,请说明理由。
答:
△AOD≌△COB.
证明:
在△AOD和△COB中,
例7图
∴△AOD≌△COB(ASA)
问:
这位同学的回答及证明过程正确吗?
为什么?
例8:
如图,在△MPN中,H是高MQ和NR的交点,且MQ=NQ.求证:
HN=PM.
例9:
如图,AD=AE,∠1=∠2,点D、E在BC上,BD=CE。
求证:
△ABD≌△ACE.
例10:
如图,已知AD∥CB,AD=CB,AE=BF,
求证:
(1)△AFD≌△BEC.
(2)DF∥CE.
拓展变式
例1:
如图,∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合,过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线,为什么?
例2:
要测量河两岸相对的两点A、B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A、C、E在一条直线上,这时测得的DE的长就是AB的长。
写出已知和求证,并且进行证明。
实战演练
一、填空题
1、如图,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB,AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3,则∠α的度数为______.
2、已知:
如图,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E.欲证明BD=CE,需证明Δ_____≌△______,理由为______.
3、已知:
如图,AE=DF,∠A=∠D,欲证ΔACE≌ΔDBF,需要添加条件______,证明全等的理由是______;或添加条件______,证明全等的理由是______;也可以添加条件______,证明全等的理由是______.
4、如图,根据SAS,如果AB=AC,=,即可判定ΔABD≌ΔACE.
5、如图,BD垂直平分线段AC,AE⊥BC,垂足为E,交BD于P点,PE=3cm,则P点到直线AB的距离是___________.
第4题
E
D
C
B
A
第5题
E
C
D
P
A
B
第6题
E
D
C
B
A
6、如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于D,若AB=10,则△BDE的周长等于____.
7、如图,△ABC≌△DEB,AB=DE,∠E=∠ABC,则∠C的对应角为,BD的对应边为.
8、如图,AD=AE,∠1=∠2,BD=CE,则有△ABD≌,理由是.
9、如图,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,D、E、F是垂足,BD=CD,那么图中的全等三角形有_______对.
二、选择题
1、AD是△ABC的角平分线,作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,下列结论错误的是()
DE=DFB.AE=AFC.BD=CDD.∠ADE=∠ADF
2、下列语句中,正确的有()
(1)一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等
(2)有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
(3)有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
个个个个
3、下列说法中,正确的是()
A.相等的角是直角 B.不相交的两条线段平行
C.两直线平行,同位角互补 D.经过两点有且只有一条直线
4、如图,若△ABE≌△ACF,且AB=5,AE=2,则EC的长为()
、如图,∠1=∠2,BC=EF,欲证△ABC≌△DEF,则还须补充的一个条件是()
=DEB.∠ACE=∠DFB=ECD.∠ABC=∠DEF
6、如图,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D、E为两个顶点画位置不同的三角形,使所画的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可画出( )
个 个 个 个
7、如图,△ABC中,AD⊥BC,D为BC中点,则以下结论不正确的是()
A.△ABD≌△ACD B.∠B=∠C
是
BAC的平分线 D.△ABC是等边三角形
8、如图,∠1=∠2,∠C=∠D,AC、BD交于E点,下列结论中正确的有()
①∠DAE=∠CBE②CE=DE③△DEA≌△CBE④△EAB是等腰三角形
个 个 个个
9、如图,在△ABC中,AB>AC,AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,AB=10,△BCD的周长为18,则BC的长为()
三、解答题
1、如图,已知线段a、b,求作:
Rt△ABC,使∠ACB=90º,BC=a,AC=b(不写作法,保留作图痕迹).
2、如图,BP、CP是△ABC的外角平分线,则点P必在∠BAC的平分线上,你能说出其中的道理吗?
3、如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,EC=AD,求证:
AB=BE.
4、如图,工人师傅制作了一个正方形窗架,把窗架立在墙上之前,在上面钉了两块等长的木条GF与GE,E、F分别是AD、BC的中点.
(1)G点一定是AB的中点吗?
说明理由;
(2)钉这两块木条的作用是什么?
5、如图,已知点A、E、F、D在同一条直线上,AE=DF,BF⊥AD,CE⊥AD,垂足分别为F、E,BF=CE,试说明AB与CD的位置关系.
6、阅读下题及其证明过程:
已知:
如图,D是△ABC中BC边上一点,EB=EC,∠ABE=∠ACE,试说明∠BAE与∠CAE相等的理由.
理由:
在△AEB和△AEC中,
所以△AEB≌△AEC(第一步)
所以∠BAE=∠CAE(第二步)
问:
上面证明过程是否正确?
若正确,请写出每一步推理根据;若不正确,请指出错在哪一步?
并写出你认为正确的推理过程.
7、如图
(1),在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠DCB,AB=DC,AE=DF.
(1)试说明BF=CE的理由.
(2)当E、F相向运动,形成如图
(2)时,BF和CE还相等吗?
请说明你的结论和理由.
8、已知:
如图,AB=AC,DB=DC,
(1)若E、F、G、H分别是各边的中点,求证:
EH=FG.
(2)若连结AD、BC交于点P,问AD、BC有何关系?
证明你的结论.
9、如图,在△AFD和△BEC中,点A、E、F、C在同一条直线上,有下面四个论断:
(A)AD=CB,(B)AE=CF,(C)∠B=∠D,(D)AD∥BC.请用其中三个作为条件,余下一个作为结论,遍一道数学题,并写出解答过程.
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