数值分析历年考题.docx
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数值分析历年考题
数值分析历年考题
数值分析A试题
2007.1
第一部分:
填空题105
1.设,则______________________
2.将分解成,则对角元为正的下三角阵___________
3.已知数据
1
2
3
4
1.65
2.72
4.48
7.39
请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数中的参数:
______________________
4.方程在上有个根,若初值取,迭代方法的收敛阶是
5.解方程的迭代方法为___________,其收敛阶为___________
6.设为三次样条函数,则______________________
7.要想求积公式:
的代数精度尽可能高,参数______________________此时其代数精度为:
___________
8.用线性多步法来求解初值问题其中,该方法的局部截断误差为___________,设其绝对稳定性空间是___________
9.用线性多步法来求解初值问题其中,希望该方法的阶尽可能高,那么______________________,此时该方法是几阶的:
___________
10.已知上的四次legendre多项式为,求积分___________其中为常数。
第二部分:
解答题(共5题,其中1,2,5题必做,3,4选做一题)
1.(14分)已知方程组其中
(1)用迭代收敛的充要条件,分别求出是Jacobi和Gauss-seidel迭代法收敛的的取值范围,并给出这两种迭代法的渐进收敛速度比。
(2)当时,写出SOR方法迭代矩阵的表达式和SOR方法计算公式的分量形式,并取初值,求
(3)取,用迭代公式,试求使该迭代方法收敛的的最大取值范围,最优=?
2(14分)用单步法求解初值问题:
(1)求出局部截断误差以及局部截断误差主项,该方法是几阶的?
(2)求绝对稳定性区间。
(写出求解过程)
(3)用该方法解初值问题时,步长满足什么条件才能保证方法的绝对稳定性。
3(14分)已知非线性方程组,在矩形域内有解。
提示:
(1)取初值,用Newton迭代。
(2)记,并设。
试证明不动点迭代法在处具有局部收敛性。
4(14分)试构造Gauss型求积公式:
其中,权函数构造步骤如下:
(1)构造区间上权函数为的首项系数为1的二次正交多项式,求出Gauss点
(2)写出求积系数,并给出求积公式代数精确度的次数
(3)写出求积公式的余项表达式并化简
5(8分)设A为n阶非奇异阵,B是奇异阵,求证,其中为矩阵从属范数,为常数,且
第二份(2004.6)
1.给定二阶RK基本公式,求相容阶数,判断是否收敛,考虑稳定性后对h的要求
2.给定一个分段函数,求全函数为1区间的最佳二次平方逼近
3.给定对称正定矩阵(3*3),判断SOR收敛性()、给定初值算一步,估计5次迭代误差
4.给定求积表达式,要求有最大的代数精度,确定参数和代数精度
从0积到2
5.给定两个矩阵(均为3*3),将A变化为三对角阵,用QR方法对算一步求
6.
(1)设B奇异,证明,其中为算子范数。
(2)证明最佳n次平方逼近函数奇偶性与相同
第三份,韩老师2002.1
1.单步法
(1)收敛阶
(2)绝对稳定区间
(3)对在时讨论数值扰动的稳定性
2.
(1)的逼近
(2)
确定,判断代数精度,是否高斯
3.给定
(1),证明局部收敛
(2)给定,用牛顿算两步
4.含未知数
(1)求,使存在
(2)给定,用算L
(3)给定,判断是否收敛
(4)给定,SOR算一步
5.给定
(1)算p,
(2)对做QR
(3)算一步QR迭代,得到
6.,证明可逆,并证明
第四份,郑老师2006年
填空:
1.3.1425926是的几位有效数字
2.,求均差
3.公式得代数精度是几阶
4.积分系数的和是多少
5.,求
6.,求的最佳一次平方逼近,最佳一次一致逼近
7.拉格朗日插值基函数,是相异节点,求
简答:
1.高斯积分,,使代数精度最高,求
2.,用LU分解求解
3.变换成准上三角阵,用givens变换,第一种原点位移QR分解求一步,求
4.证明严格对角占优矩阵A可逆,且
除第一份是完整试卷外,其余皆为回忆版,可能有错误之处,大家凑合看,抓住要点即可。
2002年12月30晚7:
20-9:
20
B卷
一.
(1)函数f(x)=|x|在[-1,1]上积分,求在空间span{1,x2}和span{x,x^3}上权函数p(x)=1的最佳平方逼近函数,并说明
(2)对f(x)在[-1,1]上积分,求A0,A1,A2,x0,x2, 使得A0*f(x0)+A1*f(0)+A2*f(x2)对求积公式有最高的代数精度,并求代数精度
二. A=[2 0 1;0 2 -1;1 -1 1]
(1)求householder变换矩阵P,使得A1=PAP为三对角矩阵
(2)用Givens变换,对A1进行QR分解;
(3)若用QR方法求A1特征值,迭代一步,求A2,并证明A2和A相似
三.线性二步法 y(n+2)=y(n)+h*(fn-fn+2)
fi=f(ti,yi)
(1)求局部截断误差及主部,方法是几阶收敛
(2)用根条件判断收敛性
(3)绝对收敛域
四.A为对称正定矩阵,最大特征值和最小特征值分别是λ1和λn,
迭代X(k+1)=(I-w*A)*X(k)+w*b
求w的范围,使迭代法收敛,并求w'使收敛速度最快。
五. 非线性方程组
F(x)=[x1^2-10*x1+x2^2+8;x1*x2^2+x1-10*x2+8]'=0
令G(x)=[1/10*(x1^2+x2^2+8)
1/10*(x1*x2^2+x1+8)]
(1)若0 唯一的不动点; (2)判断G(x)是否收敛? (3)写出牛顿迭代法的公式,并且取初值x0=(0.5,0.5)T, 求出x1 六. A,B为n*n阶矩阵,A非奇异,||A-B||< 1/||A^(-1)|| 证明: (1) B非奇异 (2) ||B^(-1)|| <= ||A^(-1)||/(1-||A^(-1)||*||A-B||) (3) ||A^(-1)-B^(-1)|| <= ||A^(-1)||^2*||A-B||/(1-||A^(-1)||*||A-B||) 1.三点高斯-勒让得积分公式 最佳平方逼近,f(x)=|x|,(-1,1)分别在span{1,x^2}和span{x,x^3}中求 2.书上P236第31题第2小问原题,只是没告诉α的范围,要你求 3.书上P257原题 加了两问,证明收敛,再算一步 4.householder变换 Givens做QR分解 5.Y(n+2)=Y(n)+h(fn+f(n+2)) 求局部TE,相容,根条件,绝对稳定区间 6.定理1.12和推论,以及P167式3.4的应用 ||A-B||<1/||inv(A)|| 要证B可逆,||inv(B)||<=||inv(A)||/(1-||A-B||*||inv(A)||) ||inv(A)-inv(B)||<=(||inv(A)||)^2*||A-B||/(1-||A-B||*||inv(A)||) 填空: 1 A=[1,1/2;1/2,1/3]求||A||2和cond2(A) 2 J,GS迭代有关 3 f(x)=x^2+3x+2,在-2,-1,0,1,2五点确定得拉格朗日多项式插值多项式 4 一个稳定得算法计算一个良态得问题是否一定稳定(大致) 计算 1 F(x)=.... (1)证明x(k+1)=x(k)-1/4F'(x)收敛到其解x*=[1,1,1]' (2)用牛顿法在给定初值x0=[...]'下计算两步 2 显式和隐式欧拉法得局部截断误差和阶数,写出梯形法,及其阶数..... 3 A=[4,1,1;1,1,1;1,1,2];b=[...]' (1)housholder变换求A得QR变换 (2)用QR变换结果计算Ax=b 证明 已知Ax=b,A(x+deltaX)=b+deltaB 证明||deltaX||/||x||<=cond(A)*||deltaB||/||b|| 1. (1)求f(x)=|x|,区间[-1,1]上权函数为ρ(x)=1,在span{1,x2}上的最佳平方逼 近 (2)[0,1]上权函数为ρ(x)=1,求积分公式Af(0)+Bf(x1)+Cf (1)的参数使得代数精 度尽可能高 2。 A=[0 3 4;3 0 0;4 0 1] (1)求householder变换使A1=PAP为对称三对角阵 (2)用givens变换求A1的QR分解 (3)用不带原点位移的QR算A的特征值,A1迭代一次得A2,证明A2与A1相似 3。 不动点迭代 F(x)=0,F(x)=[x1+x2^2-x1^2+x2] 等价于x=G(x),G(x)=[-x2^2 x1^2] (a)证明D={(x1,x2)T|-0.25<=x1,x2<=0.25}上,G有唯一不动点 (b)写出newton公式,取x(0)=(1,1)T,求x (1) 4.初值问题dy/dt+y=0,y(0)=1 (a)tn=nh,用梯形法求数值解yn (b)h趋于0时,证明数值解收敛于准确解y=exp(-t) (c)梯形法的局部阶段误差主项 (d)梯形法的绝对稳定区域 5 (1)A为n*m矩阵,列满秩,w与ATA的特征值有什么关系时 x(k+1)=x(k)+wAT(b-Ax(k)) 收敛到ATAx=ATb的唯一解 (2)B为n阶方阵,x*=Bx*+C,迭代公式x(k+1)=Bx(k)+C 若||B||<=β<1且||x(k)-x(k-1)||<=ε(1-β)/β 证明||x*-x(k)||<=ε 6.A对称正定,φ(x)=0.5xTAx-xTb,p为非零向量 定义ψ(α)=φ(x+αp),求α为何值时ψ(α)最小 证明对此α定义下的x*=x+αp,有b-Ax*与p正交 1、给定2阶RK基本公式,求相容阶数,判断是否收敛,考虑稳定性后对h的要求 yn+1=yn+h/2*(k1+k2) k1=f(tn,yn) k2=f(tn+3/5*h,yn+3/5*h*k1) 2、给定一个分段函数,求全函数为1区间[0,2]的最佳二次平方逼近 3、给定对称正定矩阵(3*3),判断SOR收敛性(w=1.2)、给定初值算一步、估计5次迭代误差 4、给定求积表达式,要求有最大的代数精度,确定参数和代数精度 f(x)从0积到2= r1*f(x1)+r2*f(x2) 5、给定两个矩阵A、A1(均为3*3),将A变化为三对角阵,用QR方法对A1算一步求A2 6、 (1)以前试题的变形,设B奇异,证明(||A-B||/||A||)〉=1/(||inv(A)||||A||),其中||为算子范数 (2)证明最佳n次平方逼近函数奇偶性与f(x)相同 5道大题,若干小题,卷面成绩满分70 1. (1)求f(x)=sqrt(1-x^2)在span{1,x,x^2}上,权函数为rou=1/sqrt(1-x^2)的最佳平方逼近多项式 (2)求证高斯
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- 数值 分析 历年 考题