全国硕士研究生入学考试数学一.docx
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全国硕士研究生入学考试数学一
2006年全国硕士研究生入学考试数学
(一)
一、填空题
(1).
(2)微分方程的通解是.
(3)设是锥面()的下侧,则
.
(4)点到平面的距离=.
(5)设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则=
.
(6)设随机变量与相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则=.
二、选择题
(7)设函数具有二阶导数,且,为自变量在处的增量,与分别为在点处对应的增量与微分,若,则
(A)(B)
(C)(D)【】
(8)设为连续函数,则等于
(A)(B)
(C)(C)【】
(9)若级数收敛,则级数
(A)收敛.(B)收敛.
(C)收敛.(D)收敛.【】
(10)设与均为可微函数,且.已知是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是
(A)若,则.
(B)若,则.
(C)若,则.
(D)若,则.【】
(11)设均为维列向量,是矩阵,下列选项正确的是
(A)若线性相关,则线性相关.
(B)若线性相关,则线性无关.
(C)若线性无关,则线性相关.
(D)若线性无关,则线性无关.【】
(12)设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将的第1列的-1倍加到第2列得,记,则
(A)(B)
(C)(D)【】
(13)设为随机事件,且,则必有
(A)(B)
(C)(D)【】
(14)设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且
(A)(B)
(C)(D)【】
三解答题
15设区域D=,计算二重积分。
16设数列满足。
求:
(Ⅰ)证明存在,并求之。
(Ⅱ)计算。
17将函数展开成x的幂级数。
18设函数满足等式
(Ⅰ)验证.
(Ⅱ)若.
19设在上半平面D=内,数是有连续偏导数,且对任意的t>0都有.
证明:
对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有
20已知非齐次线性方程组
Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩
Ⅱ求的值及方程组的通解
21设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解,(Ⅰ)求A的特征值与特征向量(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得.
22随机变量x的概率密度为为二维随机变量(X,Y)的分布函数.
(Ⅰ)求Y的概率密度
(Ⅱ)
23设总体X的概率密度为,
为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值,求的最大似然估计.
题解高数
一、填空题
(1)=2
()
(2)微分方程的通解是,这是变量可分离方程。
(3)设是锥面的下侧,则
补一个曲面上侧
∴(为锥面和平面所围区域)
(为上述圆锥体体积)
而
(∵在上:
)
(4)
二、选择题
(7)设函数具有二阶导数,且,,为自变量在处的增量,与分别为在点处对应的增量与微分。
若,则
三、解答题
(18)设函数内具有二阶导数,且满足等式
(I)验证
(II)若求函数
证:
(I)
(II)令
(19)设在上半平面内,函数具有连续偏导数,且对任意都有
证明:
对D内任意分段光滑的有向简单闭曲线L,
都有
证:
把
得:
令,则
再令
所给曲线积分等于0的充分必要条件为
今
要求成立,只要
我们已经证明,,于是结论成立。
线代
(5)设A=21,2阶矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=.
-12
解:
由BA=B+2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得
|B||A-E|=|2E|=4,
计算出|A-E|=2,因此|B|=2.
(11)设α1,α2,…,αs都是n维向量,A是mn矩阵,则()成立.
(A)若α1,α2,…,αs线性相关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.
(B)若α1,α2,…,αs线性相关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关.
(C)若α1,α2,…,αs线性无关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.
(D)若α1,α2,…,αs线性无关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关.
解:
(A)
本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.
若α1,α2,…,αs线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,cs使得
c1α1+c2α2+…+csαs=0,
用A左乘等式两边,得
c1Aα1+c2Aα2+…+csAαs=0,
于是Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.
如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:
1.α1,α2,…,αs线性无关r(α1,α2,…,αs)=s.
2.r(AB)r(B).
矩阵(Aα1,Aα2,…,Aαs)=A(α1,α2,…,αs),因此
r(Aα1,Aα2,…,Aαs)r(α1,α2,…,αs).
由此马上可判断答案应该为(A).
(12)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记110
P=010,则
001
(A)C=P-1AP.(B)C=PAP-1.
(C)C=PTAP.(D)C=PAPT.
解:
(B)
用初等矩阵在乘法中的作用得出
B=PA,
1-10
C=B010=BP-1=PAP-1.
001
(20)已知非齐次线性方程组
x1+x2+x3+x4=-1,
4x1+3x2+5x3-x4=-1,
ax1+x2+3x3+bx4=1
有3个线性无关的解.
证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.
求a,b的值和方程组的通解.
解:
设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)2,从而r(A)2.
又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)2.
两个不等式说明r(A)=2.
对方程组的增广矩阵作初等行变换:
1111-11111-1
(A|β)=435-1-1®0–11–53,
a13b1004-2a4a+b-54-2a
由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:
102-42
®01-15-3.
00000
得同解方程组
x1=2-2x3+4x4,
x2=-3+x3-5x4,
求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得到方程组的通解:
(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,c1,c2任意.
(21)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.
求A的特征值和特征向量.
求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得
QTAQ=.
解:
条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即α0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关,特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.
属于3的特征向量:
cα0,c0.
属于0的特征向量:
c1α1+c2α2,c1,c2不都为0.
将α0单位化,得η0=(,,)T.
对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-,)T,η2=(-,,)T.
作Q=(η0,η1,η2),则Q是正交矩阵,并且
300
QTAQ=Q-1AQ=000.
000
概率
(6)
(13)C
(14)A
(22)
随机变量的概率密度为,令,为二维随机变量的分布函数。
(Ⅰ)求的概率密度;(Ⅱ)
解:
(Ⅰ)
;
。
所以:
这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手,对y进行适当的讨论即可,在新东方的辅导班里我也经常讲到,是基本题型。
(Ⅱ)
。
(23)
设总体的概率密度为,其中是未知参数(0<<1)。
为来自总体的简单随机样本,记N为样本值中小于1的个数。
求的最大似然估计。
解:
对样本按照<1或者≥1进行分类:
<1,≥1。
似然函数,
在<1,≥1时,
,
,所以。
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