椭圆的极坐标方程及其应用.docx
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椭圆的极坐标方程及其应用
椭圆的极坐标方程及其应用
椭圆的极坐标方程及其应用
x2y2
如图,倾斜角为且过椭圆C:
221(ab0)的右焦点F2的直线l交椭圆C于P,Q两点,椭圆
abC的离心率为e,焦准距为p,请利用椭圆的第二定义推导PF2,QF2,PQ,并证明:
x2y2
1的左、右焦点分别为F1,F2.过F1的直线交椭圆于B,D两点,例2.(07年全国Ⅰ)已知椭圆32
过F2的直线交椭圆于A,C两点,且ACBD,垂足为P,求四边形ABCD的面积的最值.
11
为定值
PF2QF2
y2
1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知练习2.(05年全国Ⅱ)P、Q、M、N四点都在椭圆x2
2
与共线,与线,且0.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.
改为:
抛物线y2
2px(p0)呢?
x2y2例1.(10年全国Ⅱ)已知椭圆C:
221(ab0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k0)的
ab2
直线与C相交于A,B两点.若AF3FB,求k。
例3.(07年重庆理)如图,中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l的方程为x12.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)在椭圆上任取三个不同点P1FP2P2FP3P3FP1,证明:
1,P2,P3,使P
111
为定值,并求此定值.
|FP||FP||FP|123
x2y2
练习1.(10年辽宁理科)设椭圆C:
221(ab0)的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于
ab
A,B两点,直线l的倾斜角为60,AF2FB,求椭圆C的离心率;
o
x2y2
推广:
已知椭圆a
2b
21(ab0),F是椭圆的右焦点,在椭圆上任取n个不同点P1,P2,,Pn,若
n
PFP12P2FP3Pn
1FPnPnFP1
则1n
,你能证明吗?
i1|PFi|epx2y2练习3.(08年福建理科)如图,椭圆.
a2b
21(ab0)的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动,值有OA2
OB2
AB2
求a的取
值范围.
作业1.(08年宁夏文)过椭圆x25y2
4
1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.
作业2.(09年全国Ⅰ)已知椭圆C:
x2
2
y21的右焦点为F,右准线l,点Al,线段AF交C于点B。
若FA3FB,求AF。
作业3.(15年四市二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的顶点都在椭圆
x2y2
a2b2
1(ab0)上,对角线AC与BD分别过椭圆的左焦点F1(1,0)和右焦点F2(1,0),且ACBD,椭圆的一条准线方程为x4
(1)求椭圆方程;
(2)求四边形ABCD面积的取值范围。
C:
x24.(08年安徽文)已知椭圆y2
练习a2b
21(a>b>0),其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知过点F(-2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A,B两点.求证:
AB1(Ⅲ)过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E,求ABDE的最小值.
作业5.已知以F为焦点的抛物线y2
4x上的两点A、B满足AF3FB,求弦AB的中点到准线的距离.
参考答案:
例
1.
练习
1.例2.
练习
2..
2
2
例3.解:
(Ⅰ)设椭圆方程为xa2y
b
21.因焦点为F(3,0),故半焦距c3.又右准线l的方程为xa2
c
,从而由已知
a2
c
12,a236,
因此a6,b
a2
c227.
故所求椭圆方程为
x236y2
27
1.(Ⅱ)方法一:
记椭圆的右顶点为A,并设AFPii(i1
2,3),不失一般性假设02213,且213,4
313
又设点Pi在l上的射影为Qi,因椭圆的离心率e
ca1
2
据椭圆第二定义得|FPa2i||PQii|e(c
c|FPi|cosi
)e1
2(9FPicosi)(i1,2,3)
1FP2(11
2
cosi)(i1,2,3).i9
1FP1121
FP31(cos2)cos(4
1cos(113)2FP3923又
cos24111cos(1
3)cos(13)cos12cos112cos11011FP12(定值)1FP2FP3
3方法二:
记椭圆的右顶点为A,并设AFPii
(i1,2,3),不失一般性假设012
3
且23,4
21313
另设点P(xi,yi),则xi|PFi|cosi3,yi|PFi
|sini点P(|PF|cosi3)2(|PF|sin2ii在椭圆上,
36i
i)27
1
1FP1
(2cosi)(i1,2,3),以下同方法一i9
1FP11FP12(定值)2FP3
3推广:
sin
(n1)n引理1:
coscos()cos
(2)cos(n)
cos(
).
sin
2
证明:
cossin
1
22[sin
(2)sin
(2)]-----------------------
(1)cos()sin1322[sin
(2)sin(
2
)]----------------------
(2)
……
cos(n)sin
212[sin(2n12)sin(2n12
)]----------(n1)将上述n1个式子相加得
[coscos()cos(n)]sin
212n11
2[sin
(2)sin
(2)]sin(n1)cos(n)
coscos()cos(n)
sin
2
证明:
记椭圆的右顶点为A,并设AFPii(i1,2,,n),不失一般性
假设0221n,且21n,4n,n
31,n1n
又设点Pi在l上的射影为Qi,据椭圆第二定义得
FPPQa2
|i||ii|e(
c
c|FPi|cosi)e(i1,2,,n)
1FPa
2(1ecosi)(i1,2,,n).ib
n
1ane[cos22(n1)
2{1cos
(1)cos(i1|PFi
|bn1n)]}在引理1中,令221,n,则cos1cos(1
n)cos(2(n1)
1n
)sinncos((n1)
(n1))1)sincos(1
0
sin
2
sin
n
n
1|
na
2.i1|PFib练习3.
解法一:
(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点,
因为△MNF为正三角形,
所以OF,
即1
2b
3
解得b
a2
b2
14,因此,椭圆方程为x2y2
43
1.(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).
(ⅰ)当直线AB与x轴重合时,
OA2OB22a2,AB2
4a2(a21),因此,恒有OA2
OB2
AB2
.
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时,
设直线AB的方程为:
xmy1,代入x2y2
a2b
21,
整理得(a2b2m2)y22b2myb2a2b2
0,所以y2b2mb2a21y2a2b2m2,yb2
1y2a2b2m2
因为恒有OA2OB2AB2
,所以AOB恒为钝角.
即OAOB(x1,y1)(x2,y2)x1x2y1y20恒成立.
x1x2y1y2(my2
11)(my21)y1y2(m1)y1y2m(y1y2)1(m21)(b2a2b2)2b2m2a2b2m2a2b2m
2
1222222mabbaba2
0.
22a2b2m2
又a2+b2m>0,所以-m2a2b2+b2-ab2+a2a2-a2b2+b对mR恒成立.
当mR时,a22b2m2最小值为0,所以a2-a2b2+b2
a
a2b2-b2,a2
-1)b2=b4,
因为a>0,b>0,所以a
2,即a2-a-1>0,解得a
a
舍去),即a综合(i)(ii),a+).
解法二。
作业
1.
作业2【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义,基础题。
解:
过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N,易知FN=1.由题意FA3FB,故|BM|2
3
.又由椭圆的第二定义,
得|BF|2
233
|AF|作业3.
作业4.
作业5.
8
3
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