中考数学二次函数角度的存在性问题教师版.docx
- 文档编号:5867622
- 上传时间:2023-01-01
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:632.16KB
中考数学二次函数角度的存在性问题教师版.docx
《中考数学二次函数角度的存在性问题教师版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学二次函数角度的存在性问题教师版.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
中考数学二次函数角度的存在性问题教师版
第2讲:
角度的存在性问题
xOy中,抛物线yax2bxc与x轴交于A(1,0)、B(4,0)
【例1】如图,在平面直角坐标系两点,与y轴交于点C(0,2);
1)求抛物线的表达式;
2)求证:
CAOBCO;
3)若点P是抛物线上的一点,且PCBACBBCO,求直线CP的表达式.
1254
参考答案】
(1)yx2x2;
(2)证明略;(3)yx2或y2.
223
思路点拨
1.设求抛物线的交点式比较简便.
2.第
(2)题求两个锐角的正切值相等,可以得到两个锐角相等.
3.第(3)题先把3个角的关系,转化为∠PCB=∠2,再按点P与CB的位置关系分两种情况讨论.
满分解答
(1)因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(4,0)两点,所以y=a(x-1)(x-4).代入点C(0,2),得a1.
2
所以抛物线的表达式为y1(x1)(x4)=1x25x2.
222
2)如图2,tan∠CAO=OC=2.如图3,tan∠BCO=OB=4=2,所以∠CAO=∠BCO.
(3)如图2,图3,由于∠CAO=∠BCO,根据等角的余角相等,得∠1=∠2.因为∠PCB+∠ACB=∠BCO,所以∠PCB=∠BCO-∠ACB=∠1=∠2.∠PCB存在两种情况:
710
2
28ax3(a0)与y轴交于点A,顶点为D,其对称轴
P(73,190).例2】已知在直角坐标系中,抛物线yax
交x轴于点B,点P在抛物线上,且位于抛物线对称轴的右侧;
1)当ABBD时(如图),求抛物线的表达式;
2)在第
(1)小题的条件下,当DP∥AB时,求点P的坐标;
1
3)点G在对称轴BD上,且AGBABD,求△ABG的面积.
2
思路点拨
1.抛物线的解析式中隐含了对称轴(点B)和点A的坐标,根据AB=BD求出点D的坐标,再代入
解析式求待定系数a.
2.看着1∠ABD,结合BA=BD,不由得让人联想起“三线合一”.
2
3.以∠ABD为外角,构造等腰三角形BAG,BG=BA,这样就满足∠ABD=2∠AGB.4.根据对称性,∠AGB的顶点G存在两种情况.
满分解答
由y=ax2-8ax+3,可得A(0,3),抛物线的对称轴为直线x=4.B(4,0),AB=5.当BD=AB=5时,D(4,5).
图3
图4
图5
考点伸展
第(3)题也可以从∠ABD的平分线开始思考:
如图5,作∠ABD的平分线与y轴交于点C.
因为∠1=∠2,∠1=∠C,所以∠2=∠C.所以AC=AB=5.
过点A作BC的平行线交抛物线的对称轴于点G,那么四边形CAGB是平行四边形.
1
所以∠1=∠G,BG=AC=5.所以∠AGB=∠ABD.此时S△ABG=10.
2
求点G′的过程同上.
【例3】在平面直角坐标系中,抛物线y3x2bxc与y轴角于点A(0,3),与x轴的正半轴交于点
5
B(5,0),点D在线段OB上,且OD1,联结AD、将线段AD绕着点D顺时针旋转90得到线段DE
过点E作直线lx轴,垂足为H,交抛物线于点F.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)联结DF,求cotEDF的值;
(3)点G在直线l上,且EDG45,求点G的坐标.
满分解答
由D(1,0)、F(4,3)、E(4,1),可得∠DFE=45°,DF=32,EF=2.
如图3,作EM⊥DF于M,那么EM=FM=2.
在Rt△DEM中,EM=2,DM=DF-FM=22,所以DE=10.
所以cos∠EDF=DM=22=25
DE105
2
图
(3)符合条件的点G有两个:
①如图4,当点G在DE上方时,所以ED2=EF·EG.所以10=2EG.
②如图5,当G′在DE下方时,△GDG′是直角三角形.此时DH2=HG·HG′.所以9=6HG′.所以HG′=3.此时G′(4,3).
由∠
EDG=∠EFD=45°,∠DEG是公共角,可得△EDG∽△EFG.所以EG=5.此时G(4,6).
x
例4】已知顶点为A(2,1)的抛物线经过点B(0,3),与x轴交于C、D两点(点C在点D的左侧);1)求这条抛物线的表达式;
2)联结AB、BD、DA,求△ABD的面积;
3)点P在x轴正半轴上,如果APB45,求点P的坐标.
参考答案:
(1)yx24x3;
(2)3;(3)(36,0).
满分解答
(1)设抛物线的顶点式为y=a(x-2)2-1,代入点B(0,3),得a=1.所以这条抛物线的解析式为y=(x-2)2-1=x2-4x+3.
(2)由y=x2-4x+3=(x-1)(x-3),得C(1,0),D(3,0).
如图2,由A(2,-1)、B(0,3)、D(3,0),可得∠BDO=45°,∠ADO=45°,BD=32,AD=2.所以S△ABD=1ADBD=1232=3.
22
(3)如图3,以AB为斜边构造等腰直角三角形GAB,以G为圆心、GB为半径画圆,与x轴交于点P(圆与x轴右侧的一个交点),根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,可知∠APB=45°.
如图4,由△BMG≌△GNA,得BM=GN,MG=NA.
设G(m,n),那么m=n+1,3-n=m-2.解得m=3,n=2.所以G(3,2).
设P(x,0).根据GB2=GP2,列方程32+12=(x-3)2+22.
解得(36,0),或(36,0)(这是圆与x轴左侧的交点的横坐标,此时∠APB=135°).所以点
P的坐标为(36,0).
图2
图3
图4
【裴文通老师和顾晓琴老师提供的解法】
因为∠BDO=45°=∠1+∠3,∠APB=45°=∠2+∠3,∠ADO=45°=∠2+∠4,所以∠1=∠2,∠3=∠4.
所以△PBD∽△APD.所以DPDA.于是DP2=DA·DB=232=6.
DBDP
所以DP=6,OP=36.所以P(36,0).
B(m,m1),
【例5】已知在平面直角坐标系xOy中,二次函数yx2mxn的图像经过点A(3,0),且与y轴相交于点C;
(1)求这个二次函数的解析式并写出其图像顶点D的坐标;
(2)求CAD的正弦值;
(3)设点P在线段DC的延长线上,且PAOCAD,求点P的坐标.
Ox
293mn01)将A(3,0)、B(m,m+1)两点分别代入y=-x2+mx+n,得
nm1.
解得m=2,n=3.
所以y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.所以C(0,3),顶点D(1,4).
(2)如图2,作DE⊥y轴于E.
由A(3,0)、C(0,3)、D(1,4),可得∠ACO=∠DCE=45°,AC=32,DC=2.
所以∠ACD=90°.所以AD2=AC2+DC2=18+2=20.所以AD=25.
所以tan∠CAD=DC=2=1,sin∠CAD=DC=2=10.
AC323AD2510
(3)直线CD的解析式为y=x+3,于是可设P(x,x+3).作PH⊥x轴于H,当∠PAO=∠CAD时,由tan∠PAO=tan∠CAD,得PH1.
AH3
①当P在x轴上方时,x31.解得x3.此时P(3,3)(如图2所示).
3x3222
②当P在x轴下方时,(x3)1.解得x=-6.此时P(-6,-3)(如图3所示).
【例6】如图,在平面直角坐标系中xOy中,抛物线yx2bxc与x轴相交于点A(-1,0)和点B,与y轴相交于点C(0,3),抛物线的顶点为点D,联结AC、BC、DB、DC.
(1)求这条抛物线的表达式及顶点D的坐标;
(2)求证:
△ACO∽△DBC;
(3)如果点E在x轴上,且在点B的右侧,∠BCE=∠ACO,求点E的坐标.
满分解答
(1)由抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于点A(-1,0),设y=-(x+1)(x-m).代入点C(0,3),得m=3.
所以y=-(x+1)(x-3)=-(x2-2x-3)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.所以点B的坐标为(3,0),顶点D的坐标为(1,4).
(2)如图2,由B(3,0)、C(0,3)、D(1,4),可知B、C两点间的水平距离、竖直距离都是3,C、D
两点间的水平距离、竖直距离都是1.因此BC、DC与y轴的夹角都是45°.
所以∠BCD=90°,
tan∠DBC=DC=2=1.
BC323
由A(-1,0)、C(0,3),得OA=1,OC=3,所以tan∠ACO=OC所以∠ACO=∠DBC.所以△ACO∽△DBC.
(3)设CE与BD交于点G.由∠BCE=∠ACO=∠DBC,得GB=GC.于是可得CG是Rt△DBC斜边上的中线,点G是BD的中点.所以G(2,2).
达标检测
【1】如图,抛物线yax2bx5(a0)经过点A(4,5),与x轴的负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC5OB,抛物线的顶点为D.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)联结AB、BC、CD、DA,求四边形ABCD的面积;
(3)如果点E在y轴的正半轴上,且BEOABC,求点E的坐标.
参考答案】解:
(1)∵抛物线yax2bx5与y轴交于点C,∴C(0,5),∴OC5.∵OC5OB,∴OB1.又点B在x轴的负半轴上,∴B(1,0).
∵抛物线经过点A(4,5)和点B(1,0),
16a4b55a12
∴,解得.∴这条抛物线的表达式为yx24x5.
ab50b4
(2)由yx24x5,得顶点D的坐标是(2,9).联结AC.
∵点A的坐标是(4,5),点C的坐标是(0,5),
11
又SABC24510,SACD2448,∴S四边形ABCDSABCSACD18.
3)过点C作CHAB,垂足为点H.
∵SABC1ABCH10,AB52,∴CH22.
2
在RtBCH中,BHC90,BC26,BHBC2CH232;
2】如图,抛物线y=x2+bx+5与x轴交于点A与B(5,0)点,与y轴交于点C,抛物线的顶点为点P.1)求抛物线的表达式并写出顶点P的坐标;
2)在x轴上方的抛物线上有一点D,若?
ABD?
ABP,试求点D的坐标;
3)设在直线BC下方的抛物线上有一点Q,若SDBCQ=15,试写出点Q坐标.
满分解答
(1)将点B(5,0)代入y=x2+bx+5,得.解得b=-6.所以y=x2-6x+5=-(x-3)2-4,顶点P的坐标为(3,-4).
2)如图2,作DN⊥x轴于N.设抛物线的对称轴与x轴交于点M.
由tan∠ABD=tan∠ABP,得DNPM
BNBM
2
x26x54
5x2
设BC边上的高为h,那么S△BCQ=152h=15.解得h32.
2
如图3,设y轴上点C下方的点G到直线BC的距离GH=32,那么CG=6,G(0,-1).
练习1】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线yax2bx1经过点A(2,1),它的对称轴与x轴
相交于点B;
(1)求点B的坐标;
(2)如果直线yx1与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于点D,且BDCACB,求此抛物线的表达式.
510
参考答案】
(1)B(1,0);
(2)y53x2130x1.
满分解答
1)将点A(2,-1)代入y=ax2+bx-1,得1-=4a+2b-1.所以b=-2a.
抛物线的对称轴x=b=2a=1.所以点B的坐标为(1,0).
2a2a
(2)如图2,由y=x+1,得C(1,2).所以BC=2.
由A(2,-1)、B(1,0),得BA2,∠2=45°
DC2.
22.
2.所以D(3,4).
因为直线y=x+1与坐标轴的夹角为45°,由此可知∠1=45°.所以∠1=∠2.根据等角的邻补角相等,可知∠DCB=∠CBA.
当∠BDC=∠ACB时,△DCB∽△CBA.所以DCCB,即CBBA
所以DC22.因此D、C两点间的水平距离、竖直距离都是
将点D(3,4)代入y=ax2-2ax-1,得4=9a-6a-1.解得
所以抛物线的表达式是y5x210x1.
33
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 中考 数学 二次 函数 角度 存在 问题 教师版