贾雁麟 勾股定理习题一.docx
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贾雁麟勾股定理习题一
贾雁麟勾股定理知识点及练习题
2013年11月30日
一
知识点
勾股定理的证明方法,达300余种。
这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。
我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前,是非常了不起的成就。
1、勾股定理:
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那
a^2+b^2=c^2
2、勾股定理逆定理:
如果三角形三边长a,b,c满足a^2+b^2=c^2,那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的证明及简单计算。
4、勾股定理的综合应用,应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
勾股定理综合练习题
(一)
一、选择题:
1.三角形的三边长分别为6,8,10,它的最短边上的高为()
A.6B.4.5C.2.4D.8
2.下面几组数:
①7,8,9;②12,9,15;③m2+n2,m2-n2,2mn(m,n均为正整数,mn);④,,.其中能组成直角三角形的三边长的是()
A.①②B.②③C.①③D.③④
3、三角形的三边长为7、24、25,则这个三角形是()
A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形.
4.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长是( )
A.8B.25C.13D.5
5.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( )
A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2
6.直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为( )
A.121B.120C.90D.不能确定
7、记住下表规律,表中所给的每行的三个数a、b、c,有a<b<c,试根据表中已有数的规律,写出当a=19时,b,c的值,并把b、c用含a的代数式表示出来。
(学生研究完成下表)
3、4、5
32+42=52
5、12、13
52+122=132
7、24、25
72+242=252
9、40、41
92+402=412
……
……
19,b、c
192+b2=c2
8.放学以后,小红和小颖从学校分手,分别沿东南方向和西南方向回家,若小红和小颖行走的速度都是40米/分,小红用15分钟到家,小颖20分钟到家,小红和小颖家的直线距离为()
A.600米B.800米C.1000米D.不能确定
二
、填空题
9.在△ABC中,∠C=90°,AB=5,则()+()=_____
10.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为_______.
11.(记住)直角三角形的三边长为连续偶数,则这三个数分别为__________.
12一根树在离地面9米处断裂,树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有_米.
13.梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O的距离为2米,梯子的顶端B到地面的距离为7米.现将梯子的底端A向外移动到A',使梯子的底端A'到墙根O的距离等于3米,同时梯子的顶端B下降至B',那么BB'的值:
①等于1米;②大于1米5;③小于1米.其中正确结论的序号是
14.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为
三、解题
15已知:
如图,在△ABC中,∠C=60°,AB=
,AC=4,AD是BC边上的高,求BC的长。
16.(5分)已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,D在CB的延长线上。
求证:
⑴AD2-AB2=BD·CD
⑵若D在CB上,结论如何,试证明你的结论。
4.提示:
过A作AE⊥BC于E。
17、(8分)已知:
等边△ABC的边长是6cm。
⑴求等边△ABC的高。
⑵求S△ABC。
18(6分)小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门,他先横着拿不进去,又竖起来拿,结果竿比城门高1米,当他把竿斜着时,两端刚好顶着城门的对角,问竿长多少米?
19.(7分)印度数学家什迦逻(1141年-1225年)曾提出过"荷花问题":
"平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲;
出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边,
渔人观看忙向前,花离原位二尺远;
能算诸君请解题,湖水如何知深浅?
"
请用学过的数学知识回答这个问题.
20(6分)已知:
在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证:
a2+b2=c2。
分析:
利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示,等量关系为:
4S△+S小正=S大正4×
ab+(b-a)2=c2,化简可证。
21(8分)已知:
在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证:
a2+b2=c2。
左边S=4×
ab+c2
右边S=(a+b)2
左边和右边面积相等,即
4×
ab+c2=(a+b)2
22(8分).已知:
在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥BC于D,∠A=60°,CD=
,求线段AB的长。
23(6分)2.已知:
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,AB⊥AC,∠B=60°,CD=1cm,求BC的长。
24、(8分)已知:
如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AC=
,
求
(1)AB的长;
(2)S△ABC。
25.(8分)如图,直角△ABC的主要性质是:
∠C=90°,(用几何语言表示)
⑴两锐角之间的关系:
;
⑵若D为斜边中点,则斜边中线;
⑶若∠B=30°,则∠B的对边和斜边:
;
⑷三边之间的关系:
。
刘老师(贾雁麟)勾股定理知识点及练习题
2013年11月30日
一
知识点
勾股定理的证明方法,达300余种。
这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。
我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前,是非常了不起的成就。
1、勾股定理:
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那
a^2+b^2=c^2
2、勾股定理逆定理:
如果三角形三边长a,b,c满足a^2+b^2=c^2,那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的证明及简单计算。
4、勾股定理的综合应用,应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
勾股定理综合练习题
(一)
一、选择题:
1.三角形的三边长分别为6,8,10,它的最短边上的高为(D)
A.6B.4.5C.2.4D.8
2.下面几组数:
①7,8,9;②12,9,15;③m2+n2,m2-n2,2mn(m,n均为正整数,mn);④,,.其中能组成直角三角形的三边长的是(B)
A.①②B.②③C.①③D.③④
3、三角形的三边长为7、24、25,则这个三角形是(C)
A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形.
4.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长是( D )
A.8B.25C.13D.5
5.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( C )
A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2
6.直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为( C )
A.121B.120C.90D.不能确定
7、记住下表规律,表中所给的每行的三个数a、b、c,有a<b<c,试根据表中已有数的规律,写出当a=19时,b,c的值,并把b、c用含a的代数式表示出来。
(学生研究完成下表)
3、4、5
32+42=52
5、12、13
52+122=132
7、24、25
72+242=252
9、40、41
92+402=412
……
……
19,b、c
192+b2=c2
8.放学以后,小红和小颖从学校分手,分别沿东南方向和西南方向回家,若小红和小颖行走的速度都是40米/分,小红用15分钟到家,小颖20分钟到家,小红和小颖家的直线距离为(C)
A.600米B.800米C.1000米D.不能确定
二、填空题
9.在△ABC中,∠C=90°,AB=5,则()+()=__25___
10.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为___4____.
11.(记住)直角三角形的三边长为连续偶数,则这三个数分别为_6,8,10_________.
12.一根树在离地面9米处断裂,树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有_24米.
13.梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O的距离为2米,梯子的顶端B到地面的距离为7米.现将梯子的底端A向外移动到A',使梯子的底端A'到墙根O的距离等于3米,同时梯子的顶端B下降至B',那么BB'的值:
①等于1米;②大于1米5;③小于1米.其中正确结论的序号是③.
14.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为1.4m.
三、解题
15已知:
如图,在△ABC中,∠C=60°,AB=
,AC=4,AD是BC边上的高,求BC的长。
16.(5分)已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,D在CB的延长线上。
求证:
⑴AD2-AB2=BD·CD
⑵若D在CB上,结论如何,试证明你的结论。
4.提示:
过A作AE⊥BC于E。
17、(8分)已知:
等边△ABC的边长是6cm。
⑴求等边△ABC的高。
⑵求S△ABC。
分析:
勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此注意要创造直角三角形,作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。
欲求高CD,可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中,但只有一边已知,根据等腰三角形三线合一性质,可求AD=CD=
AB=3cm,则此题可解。
18(6分)小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门,他先横着拿不进去,又竖起来拿,结果竿比城门高1米,当他把竿斜着时,两端刚好顶着城门的对角,问竿长多少米?
19.(7分)印度数学家什迦逻(1141年-1225年)曾提出过"荷花问题":
"平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲;
出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边,
渔人观看忙向前,花离原位二尺远;
能算诸君请解题,湖水如何知深浅?
"
请用学过的数学知识回答这个问题.
20(6分)已知:
在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证:
a2+b2=c2。
分析:
利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示,等量关系为:
4S△+S小正=S大正4×
ab+(b-a)2=c2,化简可证。
21(8分)已知:
在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证:
a2+b2=c2。
分析:
左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等。
左边S=4×
ab+c2
右边S=(a+b)2
左边和右边面积相等,即
4×
ab+c2=(a+b)2
22(8分).已知:
在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥BC于D,∠A=60°,CD=
,求线段AB的长。
分析:
本题是“双垂图”的计算题,“双垂图”是中考重要的考点,所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练,能够灵活应用。
目前“双垂图”需要掌握的知识点有:
3个直角三角形,三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2,两对相等锐角,四对互余角,及30°或45°特殊角的特殊性质等。
另外可以画图,并正确标图。
引导学生分析:
欲求AB,可由AB=BD+CD,分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角,求出BD=3和AD=1。
或欲求AB,可由
,分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角,求出AC=2和BC=6。
23(6分)2.已知:
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,AB⊥AC,∠B=60°,CD=1cm,求BC的长。
分析:
如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,
本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积化为三角形面积。
24、(8分)已知:
如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AC=
,
求
(1)AB的长;
(2)S△ABC。
25.(8分)如图,直角△ABC的主要性质是:
∠C=90°,(用几何语言表示)
⑴两锐角之间的关系:
;
⑵若D为斜边中点,则斜边中线;
⑶若∠B=30°,则∠B的对边和斜边:
;
⑷三边之间的关系:
。
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