微元法在物理中的应用.docx
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微元法在物理中的应用
微元法在物理中的应用
微元法在物理中的应用
积分知识在物理中的应用主要是围绕研究的。
一般情况下,知道其中的两个量,就可以轻易地求出第三个量,或也可以从能量角度求解。
但有时,加速度并不是一直不变的,而是随着或的变化而变化的,此时一般的思维讲不再适用。
【简单模型】
某辆汽车从静止开始以加速度做加速直线运动,其中为常数,当运动时间为时,汽车通过的位移为,求此时小车的速度大小。
【解析】:
因为此题中加速度是随着不断变化的,所以要想利用求解是不可能的;若从能量角度分析,根本就求不出汽车受力的做功情况,所以也不可以解出,对于此类在不断变化的提型,应该应用微元法进行求解。
此式两边同时求和,依然相等
∴
∴
所以解得时刻时速度大小为。
这中积分思想在考试中通常放在电磁感应中考查,同学们认为这种题型难度很大,其实不然,我认为被这种题型吓到的主要原因不是因为这真正有多大难度,而是被它所特有的“微元”思想吓怕,事实上,真正理解的上述的“简单模型”,积分思想也是比较容易掌握的。
【典型例题讲解】
1.如图所示,质量为导体棒垂直放在光滑足够长的型导轨的底端,导体棒电阻为,其余电阻不计,导轨宽度为。
导轨和棒长相等且接触良好,导轨平面与水平面成角,整个装置处在与导轨平面垂直的匀强磁场中,现给导体棒沿导轨向上的初速度,经过时间导体棒到达最高点,是求出导体棒上升的最大高度。
【解析】:
此题中导体棒在上升过程中,速度在不断减小,对应的电场力也在不断变小,所以导体棒的加速度也不断变化,无论是从简单的运动学公式还是从能量角度解题,几乎是不可能的。
上升过程中,当速度为时,
则∴
(;;。
)
∴
解得,
2.如图所示,水平放置的光滑型导轨处在竖直向下的匀强磁场中,磁场强度为,轨道宽度为。
有一导体棒静止在a-b处,现用一水平向右的恒力向右拉导体棒,当导体棒运动到c-d处时恰好开始做匀速直线运动,此时导体棒的运动位移为,运动过程中,导体棒始终与导轨垂直,导体棒内阻为,其余内阻不计,重力加速度为。
求此过程中拉力的平均功率。
【解析】本题中,要求的平均功率,做的功是很好求的,关键是求这段位移的时间。
设导体棒的最终速度为。
,
∴
时,b又恰好进入第2个磁场区域.且a.b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相.求b穿过第2个磁场区域过程中,两导体棒产生的总焦耳热Q;
⑶对于第⑵问所述的运动情况,求a穿出第k个磁场区域时的速率v.
⑴a和b不受安培力作用,由机械能守恒得
⑵设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为,刚离开无磁场区域时的速度为,两棒产生的总焦耳热为
由能量守恒得:
在磁场区域有:
在无磁场区域:
解得:
⑶在无磁场区域有:
且平均速度:
在有磁场区域,对a棒:
且:
则有:
解得:
解得
所以由题意知
2.(2009.江苏)如图所示,两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上,导轨间距为、足够长且电阻忽略不计,导轨平面的倾角为,条形匀强磁场的宽度为,磁感应强度大小为、方向与导轨平面垂直。
长度为的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置,总质量为,置于导轨上。
导体棒中通以大小恒为的电流(由外接恒流源产生,图中未图出)。
线框的边长为,电阻为,下边与磁场区域上边界重合。
将装置由静止释放,导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回,导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。
重力加速度为。
求:
(1)装置从释放到开始返回的过程中,线框中产生的焦耳热;
(2)线框第一次穿越磁场区域所需的时间;
(3)经过足够长时间后,线框上边与磁场区域下边界的最大距离。
(1)设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中,作用在线框上的安培力做功为。
由动能定理
且
解得
(2)设线框刚离开磁场下边界时的速度为,则接着向下运动
由动能定理
装置在磁场中运动时收到的合力
感应电动势
感应电流=
安培力
由牛顿第二定律,在到时间内,有
则
有
解得
(3)经过足够长时间后,线框在磁场下边界与最大距离之间往复运动
由动能定理
解得
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- 微元法 物理 中的 应用