届中考数学总复习与圆有关的位置关系.docx
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届中考数学总复习与圆有关的位置关系
2014年中考总复习——
与圆有关的位置关系
知识点一、点与圆的位置关系
1、点与圆的位置关系有种,若圆的半径为r,点P到圆心的距离为d。
则:
点P在圆内
;点P在圆上
;
点P在圆外
。
2、过三点的圆:
⑴过同一直线上三点作圆,过三点,有且只有一个圆;
⑵三角形的外接圆:
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的,外接圆的圆心叫做三角形的,这个三角形叫做这个圆的。
⑶三角形外心的形成:
三角形的交点,
外心的性质:
到相等。
知识点二、直线与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系有种:
当直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆,这时直线叫圆的线,;
当直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆,这时直线叫圆的线;
当直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆,这时直线叫圆的线。
2、设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则:
直线l与⊙O相交
直线l与⊙O相切
直线l与⊙O相离
3、切线的性质和判定:
⑴性质定理:
圆的切线垂直于经过切点的。
【谈重点】根据这一定理,在圆中遇到切线时,常常连接圆心和切点,即可得垂直关系。
⑵判定定理:
经过半径的且这条半径的直线是圆的切线。
【谈重点】在切线的判定中,当直线和圆的公共点标出时,用判定定理证明。
当公共点未标出时,一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切。
4、切线长定理:
⑴切线长定义:
在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。
⑵切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的相等,并且圆心和这一点的连线平分的夹角
5、三角形的内切圆:
⑴与三角形各边都的圆,叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的;
⑵三角形内心的形成:
是三角形的交点;
(3)内心的性质:
到三角形各的距离相等,内心与每一个顶点的连接线平分。
【谈重点】三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s,内切圆半径为r,则s=,若△ABC为直角三角形,则r=
知识点三、圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系有种,若⊙O1半径为R,⊙O2半径为r,圆心距为d;
当⊙O1与⊙O2外离
;
当⊙O1与⊙O2外切
;
当⊙O1与⊙O2相交
;
当⊙O1与⊙O2内切
;
当⊙O1与⊙O2内含
。
【谈重点】两圆相离(无公共点)包含和两种情况,两圆相切(有唯一公共点)包含和两种情况,注意题目中两种情况的考虑,同心圆是两圆,
此时d=。
考点一:
切线的性质
例题1(2013•义乌)已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B,PD交⊙O于点C、D,PE是⊙O的切线,E为切点,连结AE,交CD于点F.
(1)若⊙O的半径为8,求CD的长;
(2)证明:
PE=PF;
(3)若PF=13,sinA=
,求EF的长.
对应训练
1.(2013•扬州)如图,△ABC内接于⊙O,弦AD⊥AB交BC于点E,过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F,且∠ABF=∠ABC.
(1)求证:
AB=AC;
(2)若AD=4,cos∠ABF=
,求DE的长.
考点二:
切线的判定
例题2(2013•自贡)如图,点B、C、D都在⊙O上,过点C作AC∥BD交OB延长线于点A,连接CD,且∠CDB=∠OBD=30°,DB=6
cm.
(1)求证:
AC是⊙O的切线;
(2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)
对应训练
2.(2013•玉林)如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于F,若AC=FC.
(1)求证:
AC是⊙O的切线:
(2)若BF=8,DF=
,求⊙O的半径r.
考点三:
直线与圆、圆与圆的位置关系
例题3(2013•盘锦)如图,△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,D、E分别是AC、AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是( )
A.相交B.相切C.相离D.无法确定
例题4(2013•攀枝花)已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根,且两圆的圆心距等于4,则⊙O1与⊙O2的位置关系是( )
A.外离B.外切C.相交D.内切
对应训练
3.(2013•黔东南州)Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径作圆,若圆C与直线AB相切,则r的值为( )
A.2cmB.2.4cmC.3cmD.4cm
4.(2013•东营)已知⊙O1的半径r1=2,⊙O2的半径r2是方程
的根,⊙O1与⊙O2的圆心距为1,那么两圆的位置关系为( )
A.内含B.内切C.相交D.外切
【随堂练习】
1.(2013•烟台)如图,已知⊙O1的半径为1cm,⊙O2的半径为2cm,将⊙O1,⊙O2放置在直线l上,如果⊙O1在直线l上任意滚动,那么圆心距O1O2的长不可能是( )
A.6cmB.3cmC.2cmD.0.5cm
2.(2013•枣庄)如图,已知线段OA交⊙O于点B,且OB=AB,点P是⊙O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是( )
A.90°B.60°C.45°D.30°
3.(2013•济宁)如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB、AC于点E、D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为( )
A.4B.3
C.6D.2
4.(2013•日照)如图(a),有一张矩形纸片ABCD,其中AD=6cm,以AD为直径的半圆,正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠,使点A落在BC上,如图(b).则半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积为)cm2
.
5.(2013•烟台)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,连接AC交⊙O于点D,E为
上一点,连结AE,BE,BE交AC于点F,且AE2=EF•EB.
(1)求证:
CB=CF;
(2)若点E到弦AD的距离为1,cos∠C=
,求⊙O的半径.
【中考过关训练】
一、选择题
1.(2013•铜仁地区)⊙O的半径为8,圆心O到直线l的距离为4,则直线l与⊙O的位置关系是( )
A.相切B.相交C.相离D.不能确定
2.(2013•云南)已知⊙O1的半径是3cm,⊙O2的半径是2cm,O1O2=
cm,则两圆的位置关系是( )
A.相离B.外切C.相交D.内切
3.(2013•泉州)已知⊙O1与⊙O2相交,它们的半径分别是4,7,则圆心距O1O2可能是( )
A.2B.3C.6D.12
4.(2013•南京)如图,⊙O1,⊙O2的圆心在直线l上,⊙O1的半径为2cm,⊙O2的半径为3cm.O1O2=8cm,⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动,7s后停止运动.在此过程中,⊙O1和⊙O2没有出现的位置关系是( )
A.外切B.相交C.内切D.内含
5.(2013•杭州)在一个圆中,给出下列命题,其中正确的是( )
A.若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径,则这两条直线不可能垂直
B.若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径,则这两条直线与圆一定有4个公共点
C.若两条弦所在直线不平行,则这两条弦可能在圆内有公共点
D.若两条弦平行,则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径
6.(2013•河南)如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于点G,直线EF与⊙O相切于点D,则下列结论中不一定正确的是( )
A.AG=BGB.AB∥EFC.AD∥BCD.∠ABC=∠ADC
7.(2013•毕节地区)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点O为BC的中点,以O为圆心作⊙O交BC于点M、N,⊙O与AB、AC相切,切点分别为D、E,则⊙O的半径和∠MND的度数分别为( )
A.2,22.5°B.3,30°C.3,22.5°D.2,30°
8.(2013•安徽)如图,点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点,下列判断中,不正确的是()
A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形
B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥AC
C.当PO⊥AC时,∠ACP=30°
D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形
二、填空题
9.(2013•天水)已知⊙O1的半径为3,⊙O2的半径为r,⊙O1与⊙O2只能画出两条不同的公共切线,且O1O2=5,则⊙O2的半径为r的取值范围是2<r<8
.
10.(2013•平凉)已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根,且圆心距O1O2=t+2,若这两个圆相切,则t=2或0
.
11.(2013•永州)如图,已知△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,MN与⊙O相切,切点为A,若∠MAB=30°,则∠B=60
度.
12.(2013•天水)如图所示,在△ABC中,BC=4,以点A为圆心,2为半径的⊙A与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F,且∠EAF=80°,则图中阴影部分的面积是π
.
13.(2013•张家界)如图,⊙A、⊙B、⊙C两两外切,它们的半径都是a,顺次连接三个圆心,则图中阴影部分的面积是.
14.(2013•南宁)如左下图,在边长为2的正三角形中,将其内切圆和三个角切圆(与角两边及三角形内切圆都相切的圆)的内部挖去,则此三角形剩下部分(阴影部分)的面积为π
.
15.(2013•黄石)如右上图所示,在边长为3的正方形ABCD中,⊙O1与⊙O2外切,且⊙O2分别于DA、DC边外切,⊙O1分别与BA、BC边外切,则圆心距,O1O2为.
三、解答题
16.(2013•苏州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长DE交BC的延长线于点F.
(1)求证:
BD=BF;
(2)若CF=1,cosB=
,求⊙O的半径.
17.(2013•新疆)如图,已知⊙O的半径为4,CD是⊙O的直径,AC为⊙O的弦,B为CD延长线上的一点,∠ABC=30°,且AB=AC.
(1)求证:
AB为⊙O的切线;
(2)求弦AC的长;
(3)求图中阴影部分的面积.
18.(2013•湛江)如图,已知AB是⊙O的直径,P为⊙O外一点,且OP∥BC,∠P=∠BAC.
(1)求证:
PA为⊙O的切线;
(2)若OB=5,OP=
,求AC的长.
19.(2013•泸州)如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:
CD2=CA•CB;
(2)求证:
CD是⊙O的切线;
(3)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,若BC=12,tan∠CDA=
,求BE的长.
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