必修四平面向量的坐标运算附答案.docx
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必修四平面向量的坐标运算附答案
平面向量的坐标运算
[学习目标]1•了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘
向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念,要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
知识点一平面向量的坐标表示
(1)向量的正交分解:
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
⑵向量的坐标表示:
在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,
j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y使得a=xi+yj,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,a=(x,y)叫做向量的坐标表示.
⑶向量坐标的求法:
在平面直角坐标系中,若A(x,y),则OA=(x,y),若A(xi,yi),B(x2,y2),贝HAB=(x2—xi,y2—yi).
1.
思考根据下图写出向量a,b,c,d的坐标,其中每个小正方形的边长是d=(3,—3).
知识点二平面向量的坐标运算
(1)若a=(xi,yi),b=(X2,y2),贝Ua+b=(xi+x2,yi+y2),即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
⑵若a=(xi,yi),b=(x2,y2),贝Ua—b=(xi—X2,yi—y2),即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.
⑶若a=(x,y),入€R,贝U池=(入x入y,即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
⑷已知向量AB的起点A(xi,yi),终点B(x2,y2),则AB=(xg一—xi一,y2—yi).
思考已知a=OA,b=OB,c=OC,如下图所示,写出a,b,c的坐标,并在直角坐标系
内作出向量a+b,a—b以及a—3c,然后写出它们的坐标.
答案
L)
L—
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、
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c
A
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7
A
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J
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1
F
£
易知:
a=(4,1),b=(—5,3),c=(1,1),
题型一平面向量的坐标表示
例1已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,
D为AC的中点,分别求向量AB,AC,BC,BD的坐标.
解如图,正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos60°
2sin60°)
•••C(1,,3),D(1,于),
•••Ab=(2,0),Ac=(1,.3),
BC=(1—2,3—0)=(—1,.3),
t1333
BD=$—2,—0)=(—2,~2).
跟踪训练1在例1的基础上,若E为AB的中点,G为三角形的重心时,
如何求向量c5e,AG,BG,GD的坐标?
解由于B(2,0),E(1,0),C(1,3),D(1,-23),G(1,f).
所以CE=(1—1,0—3)=(0,-3),
BG=(1-2,f—0)=(—Xf),配=(2—1,子-哨=(-2诙题型二平面向量的坐标运算
例2已知平面上三点A(2,—4),B(0,6),C(—8,10),求
(1)AB—AC;
(2)AB+2BC;(3)BC—
1->
qAC.
解•/A(2,—4),B(0,6),C(—8,10).
•••AB=(0,6)—(2,—4)=(—2,10),
AC=(—8,10)—(2,—4)=(—10,14),
BC=(—8,10)—(0,6)=(—8,4).
•••
(1)AB—Ac=(—2,10)—(—10,14)=(8,—4).
(2)AB+2BC=(—2,10)+2(—8,4)=(—18,18).
t1t1
(3)BC—2AC=(—8,4)—歹—10,14)=(—3,—3).
跟踪训练2已知a=(—1,2),b=(2,1),求:
11
(1)2a+3b;
(2)a—3b;(3)?
a—尹
解
(1)2a+3b=2(—1,2)+3(2,1)
=(—2,4)+(6,3)=(4,7).
(2)a—3b=(—1,2)—3(2,1)
=(—1,2)—(6,3)=(—7,—1).
题型三平面向量坐标运算的应用
例3已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10)•若AP=AB+R),试求入为何值时,
(1)点P在一、三象限角平分线上;
(2)点P在第三象限内.
解设点P的坐标为(x,y),
则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y—3),
AB+x!
c=(5,4)—(2,3)+开(7,10)—(2,3)]
=(3,1)+?
(5,7)=(3+5人1+7为.
•/AP=AB+x"ac
x=5+5人
y=4+7Z.
(1)若P在一、三象限角平分线上,则5+5Z=4+7人
Z=2-
5+5Z0,
(2)若P在第三象限内,则4+7Z0,-1-
•••Z=2■时,点P在第一、第三象限角平分线上;Z—1时,点P在第三象限内.
跟踪训练3已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7),(4,6),(1,—2),求第四个顶点
的坐标.
解不妨设A(3,7),B(4,6),C(1,—2).第四个顶点为D(x,y).
则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形.
(1)当平行四边形为ABCD时,AB=DC,
设点D的坐标为(x,y),
•-(4,6)—(3,7)=(1,—2)—(x,y),
1—x=1,
—2—y=—1,
x=0,
"y=—1.
•D(0,—1);
(2)当平行四边形为
ABDC时,仿
(1)可得D(2,—3);
(3)当平行四边形为
ADBC时,仿
(1)可得D(6,15).
综上所述,第四个顶点的坐标可能为(0,—1),(2,—3)或(6,15).
方法探究
坐标法解决向量问题
OB=b,0C=c,
例4已知0是厶ABC内一点,/AOB=150°/BOC=90°设0A=a,
且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a,b表示c.
分析注意到两个已知的特殊角,联想到建立直角坐标系求向量坐标.
解如图,以0为原点,OA为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,
由三角函数的定义,得B(cos150°,sin150°)C(3cos240:
3sin240
!
),c(—2,
又•••A(2,0),
--c=—3a—3s3b.
常当堂检测自查自纠
1.设平面向量a=(3,5),b=(—2,1),贝Ua—2b等于()
A.(7,3)B.(7,7)C.(1,7)D.(1,3)
2.已知向量OA=(3,—2),OB=(—5,—1),则向量^AB的坐标是()
11
A.—4,B.4,—
C.(—8,1)D.(8,1)
3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(—1,—2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点D的
坐标为()
4.已知向量a=(2,
3),b=(1,2),p=(9,4),若p=ma+nb,则m+n=
5.设向量a=(1,—3),b=(—2,4),c=(—1,-2).若表示向量4a,4b—2c,2(a—c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,求向量d.
二课时精练
一、选择题
13
1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,—1),则向量尹一歹等于()
A.(—2,—1)'B.(—2,1)
C.(—1,0)D.(—1,2)
1
2•已知a—^b=(1,2),a+b=(4,—10),贝Ua等于()
A.(—2,—2)B.(2,2)
C.(—2,2)D.(2,—2)
3.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=?
1a+2eb,贝U乃,h的值分别为()
A.—2,1B.1,—2
C.2,—1D.—1,2
f1f一
4.已知M(3,—2),N(—5,—1)且MP=?
MN,则点P的坐标为()
3
A.(—8,1)B.1,2
彳3
C.—1,—2D.(8,—1)
5.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线.若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD等于()
A.(—2,—4)B.(—3,—5)
C.(3,5)D.(2,4)
6.向量AJB=(7,-5),将AB按向量a=(3,6)平移后得向量A'飞’,则A,_B'的坐标形式为
()
A.(10,1)B.(4,-11)
C.(7,-5)D.(3,6)
二、填空题
7.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为.
1t1t一
8.已知平面上三点A(2,-4),B(0,6),C(-8,10),则qAC—4BC的坐标是.
9.已知A(-1,-2),B(2,3),C(—2,0),D(x,y),且AC=2BD,则x+y=
10.已知四边形ABCD为平行四边形,其中A(5,-1),B(—1,7),C(1,2),则顶点D的坐
标为.
三、解答题
11.已知a=(2,1),b=(-1,3),c=(1,2),求p=2a+3b+c,并用基底a、b表示p.
12.已知点A(3,-4)与B(—1,2),点P在直线AB上,且|AP|=2|PB|,求点P的坐标.
13.已知点A(—1,2),B(2,8)及AC=1AB,DA=—3BA,求点c、d和Cd的坐标.
当堂检测答案
1.设平面向量a=(3,5),b=(—2,1),贝Ua—2b等于()
A.(7,3)B.(7,7)C.(1,7)D.(1,3)
2•已知向量OA=(3,—2),OB=(—5,—1),则向量%的坐标是()
11
A.—4,2B.4,—2
C.(—8,1)D.(8,1)
3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(—1,—2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点D的
坐标为()
向线段首尾相接能构成四边形,求向量d.
课时精练答案
、选择题
1•答案D
2.答案D
3.答案D
解析由入*2"=3,解得入=—1,
2入+3?
2=4.?
2=2.
4.答案C
解析设P(x,y),由(x—3,y+2)=2X(—8,1),•••x=—1,y=—|.
5•答案B
解析•/AC=AB+AD,
•••AD=AC—AB=(-1,—1)•
•••BD=AD—AB=(—3,—5).
6.答案C
解析A,_B,与AB方向相同且长度相等,
故A,_B'=AB=(7,—5).
二、填空题
34
7•答案5,—5
解析•/AB=O)B—OA=(4,—1)—(1,3)=(3,—4),
•••与AB同方向的单位向量为
AB34
=_5,—5.|AB|
8.答案(—3,6)
11
9.答案三
解析•/AC=(—2,0)—(—1,—2)=(—1,2),
BD=(x,y)—(2,3)=(x-2,y—3),又2BD=AC,即(2x—4,2y—6)=(—1,2),
2x—4=—1,
2y—6=2,
11•-x+y=
10.答案(7,
3
xc,
解得2
y=4,
—6)
解析设D(x,y),由AD=BC,
•(x—5,y+1)=(2,一5)•
•x=7,y=—6.
三、解答题
11.解p=2a+3b+c
=2(2,1)+3(—1,3)+(1,2)
=(4,2)+(—3,9)+(1,2)=(2,13).
设p=xa+yb,则有
19
x=
2x—y=27
,解得
x+3y=1324
y=〒
1924
二p=7a+〒b.
12.解设P点坐标为(x,y),|AP|=2|PB|.当P在线段AB上时,AP=2PB.
•••(x—3,y+4)=2(—1—x,2—y),
x—3=—2—2x,
y+4=4—2y,
1
x=7,解得3
y=0.
1
•P点坐标为(-,0).
3
当P在线段AB延长线上时,AP=—2PB.
•-(x—3,y+4)=—2(—1—x,2—y),
x—3=2+2x,y+4=—4+2y,
解得
x=—5,
y=8.
1
综上所述,点P的坐标为(-,0)或(—5,8).
3
13.解设点C(x1,y1),D(x2,y2),
由题意可得AC=(X1+1,y1—2),AB=(3,6),
DA=(—1—x2,2—y2),BA=(—3,—6).
•••AC=3AB,
DA=
•••(X1+1,y1—2)=3(3,6)=(1,2).
•••(—1—X2,2—y2)=—1(—3,—6)=(1,2),
X1+1=1,
—1—X2=1,
则有
和
y1—2=2
2—y2=2,
X1=0,
X2=—2,
解得
和
y1=4
y2=0.
•C,D的坐标分别为(0,4)和(—2,0),•Cd=(—2,—4).
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