专题19 三垂直模型解析版.docx
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专题19三垂直模型解析版
中考常考几何模型
专题19三垂直模型
如图,∠D=∠BCA=∠E=90°,BC=AC。
结论:
Rt△BCD≌Rt△CAE。
模型精练
1.(2020•浙江自主招生)如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=3,BC=5,将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE,连接AE,则△ADE的面积是 3 .
【点睛】由旋转可得△DHC≌△DFE,可求得EF,可求得△ADE的面积.
【解析】解:
如图,过D作DH⊥BC于点H,则HC=BC﹣BH=BC﹣AD=5﹣3=2,
∵旋转,
∴△DHC≌△DFE,
∴EF=HC=2,且∠EFA=∠DHC=90°,
∴S△ADE
AD•EF
3×2=3,
故答案为:
3.
2.(2019•九龙坡区期中)如图,AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于点E,AE⊥DE,∠1+∠2=90°,M、N分别是
BA,CD延长线上的点,∠EAM和∠EDN的平分线交于点F.下列结论:
①AB∥CD;②∠AEB+∠ADC=180°;③DE平分∠ADC;④∠F为定值.
其中结论正确的有 ①③④ .
【点睛】先根据AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于点E,AE⊥DE,∠1+∠2=90°,∠EAM和∠EDN的平分线交于点F,由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论.
【解析】解:
∵AB⊥BC,AE⊥DE,
∴∠1+∠AEB=90°,∠DEC+∠AEB=90°,
∴∠1=∠DEC,
又∵∠1+∠2=90°,
∴∠DEC+∠2=90°,
∴∠C=90°,
∴∠B+∠C=180°,
∴AB∥CD,故①正确;
∴∠ADN=∠BAD,
∵∠ADC+∠ADN=180°,
∴∠BAD+∠ADC=180°,
又∵∠AEB≠∠BAD,
∴AEB+∠ADC≠180°,故②错误;
∵∠4+∠3=90°,∠2+∠1=90°,而∠3=∠1,
∴∠2=∠4,
∴ED平分∠ADC,故③正确;
∵∠1+∠2=90°,
∴∠EAM+∠EDN=360°﹣90°=270°.
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F,
∴∠EAF+∠EDF
270°=135°.
∵AE⊥DE,
∴∠3+∠4=90°,
∴∠FAD+∠FDA=135°﹣90°=45°,
∴∠F=180°﹣(∠FAD+∠FDA)=180﹣45°=135°,故④正确.
故答案为:
①③④
3.(2020•孝南区校级月考)如图,已知AE=DE,AE⊥DE,AB⊥BC,DC⊥BC.求证:
AB+CD=BC.
【点睛】通过全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△ECD,则AB=EC,BE=CD,所以易证得结论.
【解析】证明:
如图,∵AE⊥DE,AB⊥BC,DC⊥BC,
∴∠AED=∠B=∠C=90°,
∴∠BAE=∠CED(同角的余角相等),
∴在△ABE与△ECD中,
,
∴△ABE≌△ECD(AAS),
∴AB=EC,BE=CD,
∴AB+CD=EC+BE=BC,即AB+CD=BC.
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D,AD=7cm,BE=3cm,求DE的长.
【点睛】易证∠CAD=∠BCE,即可证明△CDA≌△BEC,可得CD=BE,CE=AD,根据DE=CE﹣CD,即可解题.
【解析】解:
∵∠ACB=90°,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D,
∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠CAD=∠BCE,
在△CDA和△BEC中,
,
∴△CDA≌△BEC(AAS),
∴CD=BE,CE=AD,
∵DE=CE﹣CD,
∴DE=AD﹣BE,
∵AD=7cm,BE=3cm,
∴DE=7﹣3=4cm.
5.如图,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点P为BC边上一动点(BP<CP),分别过B、C作BE⊥AP于E,CF⊥AP于F.
(1)求证:
EF=CF﹣BE.
(2)若点P为BC延长线上一点,其它条件不变,则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系?
画图并直接写出你的结论.
【点睛】
(1)由BE⊥AP,CF⊥AP可以得出∠AEB=∠AFC=90°,根据∠BAC=90°就可以求出∠BAE=∠ACF,就可以得出△ABE≌△CAF,而得出AE=CF,BE=AF得出结论;
(2)如图2,同样由BE⊥AP,CF⊥AP可以得出∠AEB=∠AFC=90°,根据∠BAC=90°就可以求出∠BAE=∠ACF,就可以得出△ABE≌△CAF,而得出AE=CF,BE=AF得出结论EF=BE+CF.
【解析】解:
(1)证明:
∵BE⊥AP,CF⊥AP,
∴∠AEB=∠AFC=90°.
∴∠FAC+∠ACF=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAE+∠FAC=90°,
∴∠BAE=∠ACF.
在△ABE和△CAF中,
,
∴△ABE≌△CAF(AAS),
∴AE=CF,BE=AF.
∵EF=AE﹣AF,
∴EF=CF﹣BE;
(2)EF=BE+CF
理由:
∵BE⊥AP,CF⊥AP,
∴∠AEB=∠AFC=90°.
∴∠FAC+∠ACF=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAE+∠FAC=90°,
∴∠BAE=∠ACF.
在△ABE和△CAF中,
,
∴△ABE≌△CAF(AAS),
∴AE=CF,BE=AF.
∵EF=AE+AF,
∴EF=BE+CF.
6.如图,直线l上有三个正方形a、b、c,其中a、c的面积分别为5和11.求正方形b的面积.
【点睛】根据正方形的性质得出∠ACB=∠DEB=90°,AB=DB,∠ABD=90°,求出∠CAB=∠DBE,根据AAS推出△ACB≌△BED,根据全等得出AC=BE,DE=BC,根据勾股定理得出即可.
【解析】解:
∵根据正方形的性质得:
∠ACB=∠DEB=90°,AB=DB,∠ABD=90°,
∴∠CAB+∠ABC=90°,∠ABC+∠DBE=90°,
∴∠CAB=∠DBE,
在△ACB和△BED中
∴△ACB≌△BED,
∴AC=BE,DE=BC,
在Rt△ACB中,由勾股定理得:
AB2=AC2+BC2=AC2+DE2=5+11=16,
即正方形b的面积是16.
7.(2019•红塔区三模)如图,正方形ABCD中,点E、F分别是边BC、CD上的点,且BE=CF,求证:
(1)AE=BF;
(2)AE⊥BF.
【点睛】
(1)根据正方形的性质可得AB=BC,∠ABE=∠BCF,然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等,即可得出结论;
(2)根据全等三角形对应边相等可得AE=BF,全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠CAF,然后求出∠BAE+∠ABF=∠ABC=90°,判断出AE⊥BF.
【解析】证明:
(1)在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABE=∠BCF,
在△ABE和△BCF中,
,
∴△ABE≌△BCF(SAS),
∴AE=BF;
(2)∵△ABE≌△BCF,
∴∠BAE=∠CBF,
∴∠BAE+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°,
∴AE⊥BF.
8.如图,在△ABC外分别以AB,AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,AM是△ABC中BC边上的中线,延长MA交EG于点H,求证:
(1)AM
EG;
(2)AH⊥EG;
(3)EG2+BC2=2(AB2+AC2).
【点睛】
(1)延长AM到点N,使MN=MA,连接BN,先证得△MBN≌△MCA,得到∠BNM=∠CAM,NB=AC,从而得到BN∥AC,NB=AG,进一步得到∠NBA=∠GAE,根据SAS证得△NBA≌△GAE,即可证得结论;
(2)由△NBA≌△GAE得∠BAN=∠AEG,进一步求得∠HAE+∠AEH=90°,即可证得∠AHE=90°,
得到AH⊥EG;
(3)连接CE、BG,易证△ACE≌△ABG,得出CE⊥BG,根据勾股定理得到EG2+BC2=CG2+BE2,从而得到2(AB2+AC2).
【解析】
(1)证明:
延长AM到点N,使MN=MA,连接BN,
∵AM是△ABC中BC边上的中线,
∴CM=BM,
在△MBN和△MCA中
∴△MBN≌△MCA(SAS),
∴∠BNM=∠CAM,NB=AC,
∴BN∥AC,NB=AG,
∴∠NBA+∠BAC=180°,
∵∠GAE+∠BAC=360°﹣90°﹣90°=180°,
∴∠NBA=∠GAE,
在△NBA和△GAE中
∴△NBA≌△GAE(SAS),
∴AN=EG,
∴AM
EG;
(2)证明:
由
(1)△NBA≌△GAE得∠BAN=∠AEG,
∵∠HAE+∠BAN=180°﹣90°=90°,
∴∠HAE+∠AEH=90°,
∴∠AHE=90°,
即AH⊥EG;
(3)证明:
连接CE、BG,
易证△ACE≌△ABG
∴CE⊥BG,
∴EG2+BC2=CG2+BE2,
∴EG2+BC2=2(AB2+AC2).
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