分式知识点及题型总结超好用.docx
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分式知识点及题型总结超好用
分式知识点及题型
、分式的定义:
A
一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子叫做分式,A为分子,B为分母。
B
二、与分式有关的条件
1分式有意义:
分母不为0(B0)
2分式无意义:
分母为0(B0)
A
0
③分式值为0:
分子为0且分母不为0(
)
B
0
④分式值为正或大于0:
分子分母冋号(
A
0或
A
0
)
B
0
B
0
⑤分式值为负或小于0:
分子分母异号(
A
0或
A
0
)
B
0
B
0
⑥分式值为1:
分子分母值相等(A=B)
⑦分式值为-1:
分子分母值互为相反数(
A+B=0)
三、分式的基本性质
分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。
AA?
CAAC
字母表示:
A,A,其中A、B、C是整式,C0。
BB?
CBBC
拓展:
分式的符号法则:
分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,
AAAA
即:
BBBB
注意:
在应用分式的基本性质时,要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
四、分式的约分
1•定义:
根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。
2•步骤:
把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。
3•注意:
①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幕。
2分子分母若为多项式,先对分子分母进行因式分解,再约分。
4•最简分式的定义:
一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。
♦约分时。
分子分母公因式的确定方法:
1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数•
2)取各个公因式的最低次幕作为公因式的因式•
3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.
五、分式的通分
1•定义:
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。
(依据:
分式的基本性质!
)
2.最简公分母:
取各分母所有因式的最高次幕的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。
♦通分时,最简公分母的确定方法:
1•系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数
2•取各个公因式的最高次幕作为最简公分母的因式
3•如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母
六、分式的四则运算与分式的乘方分式的乘除法法则:
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
式子表示为:
分式除以分式:
把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
式子表示为:
a亠e
d
e
d
a?
e
bTd
a?
da?
dbeb?
e
分式的乘方:
把分子、分母分别乘方。
式子表示为:
分式的加减法则:
同分母分式加减法:
分母不变,把分子相加减。
式子表示为:
异分母分式加减法:
先通分,化为同分母的分式,然后再加减。
式子表示为:
eabd
整式与分式加减法:
再通分。
分式的加、减、乘、
可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是分母为
除、乘方的混合运算的运算顺序
c
adbe
bd
1的分式,
先乘方、再乘除、后加减,同级运算中,谁在前先算谁,有括号的先算括号里面的,也要注意灵活,提高解题质量。
注意:
在运算过程中,要明确每一步变形的目的和依据,注意解题的格式要规范,不要随便跳步,以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。
整数指数幂
引入负整数、零指数幕后,指数的取值范围就推广到了全体实数,
数幕一样适用。
七、
①
即:
mn
a
abn
n
ab
并且正正整数幕的法则对对负整数指
(a0)
(任何不等于零的数的零次幕都等于1)
其中
n均为整数。
八、分式方程的解的步骤:
(产生增根的过程)
⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
⑵解整式方程,得到整式方程的解。
⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:
如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0,则是原方程
的解。
产生增根的条件是:
①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为九、列分式方程一一基本步骤:
1审一仔细审题,找出等量关系。
2设一合理设未知数。
3列一根据等量关系列出方程(组)
4解一解出方程(组)。
注意检验
5答一答题。
分式典型例题
一、分式
(一)从分数到分式
题型1:
考查分式的定义
题型2:
考查分式有,
无意义,
总有意义
(1)
使分式有意义:
令分母工
0按解方程的方法去求解;
(2)
使分式无意义:
令分母
=0按解方程的方法去求解;
注意:
(x21工0)
时,分式二
x
时,
—有意义;
5
分式J
x
-有意义。
1
x,y满足关系
时,
分式-
x
2x1
例2:
分式中,当x
2x
例4:
时,分式
时,分式没有意义
-有意义
1
—无意义;
y
15
卞万iih罕岀、
8a2b、
9a5a
b
3a2
b2
2
、2-、
1
5xy
2
11x13xy3
丨八亠7J1〉、
xy
-232x
y
4
a
m
6
x22xy
a
1
中分式的个数为(
)
(A)2
(B)
3
(C)
4
(D)
5
m
练习题:
(1)下列式子中,是分式的有.
2
z2x7zx15a
⑴;⑵;(3)
x523a
2
:
⑷x
x2
:
⑸2
弓E22x—2
b2xy
(2)下列式子,哪些是分式?
a3.y.7x.
xxy.
1
b
5x24y8
x2y
4
5.
无论x取什么数时,总是有意义的分式是(
2x
A.2
x21
x
B.-
2x1
3x
x5
D.厂
x
例7:
使分式
有意义的x的取值范围为(
C.
例8:
要是分式
————没有意义,则x的值为(
(x1)(x3)
A.2B.-1或-3
C.-1D.3
题型3:
考查分式的值为零的条件
使分式值为零:
令分子=0且分母工0,注意:
当分子等于0使,看看是否使分母=0了,如果使分母=0了,那
么要舍
土去。
12a
时,分式的值为0
a1
例2:
当
时,
2
分式—
X
-的值为0
1
例3:
如果分式
-的值为为零,则a的值为(
2
A.2
B.2
C.2
D.以上全不对
例4:
能使分式
2
X
~2
X
X
的值为零的所有X的值是
1
DX
例5:
要使分式
2X29的值为0,则X
x5x6
的值为(
)A.3或-3B.3
C.-3
a
例6:
若
-1
0,则a是()A.正数
B.负数
a
题型
4:
考查分式的值为正、负的条件
【例】
】
(1)当
4
彳X为何值时,分式
-为正;
8X
(2)
当X为何值时,分式
5X2为负;
3
(X1)2
(3)
当X为何值时,分式—
2
2为非负数.
X3
C.零D.任意有理数
、分式的基本性质
a3b3()a()
题型1:
分式的基本性质的应用
A
B
A
C
A
B
AC
BC
B
CC
0
例1:
XV
6x(y
z)
+中5(3a;如果
1)
5
成立则a的取值范围是
a
aby
3(y
z)2
yz7(3a
1)
7
“〜ab2
1
bc
b
c
分式的基本性质:
分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不变
例2:
a2b
例3:
如果把分式中的a和b都扩大10倍,那么分式的值()
ab
A、扩大10倍B、缩小10倍C、是原来的20倍D、不变
例4:
如果把分式卫匚中的X,y都扩大10倍,则分式的值()
xy
A.扩大100倍B.扩大10倍C.不变D.缩小到原来的-
10
例5:
如果把分式xy中的x和y都扩大2倍,即分式的值(
xy
A、扩大2倍;
B、扩大4倍;
C、不变;
D缩小
例6:
若把分式
x——翌的x、y同时缩小
2x
12倍,则分式的值(
A.
扩大12倍
B.缩小12倍C.
不变
D.缩小6倍
7:
若x、y的值均扩大为原来的
2倍,则下列分式的值保持不变的是(
A、
竺B
2y
3x
环D
2y
3x3
例8:
根据分式的基本性质,
分式
a
可变形为(
b
例9:
不改变分式的值,使分式的分子、
分母中各项系数都为整数,
ab
0.2x0.012
x0.05
例10:
不改变分式的值,使分子、分母最高次项的系数为正数,
1x
2=
1xx
题型2:
分式的约分及最简分式
1约分的概念:
把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分
2分式约分的依据:
分式的基本性质.
3分式约分的方法:
把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式.
4约分的结果:
最简分式(分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式)
约分主要分为两类:
第一类:
分子分母是单项式的,主要分数字,同字母进行约分。
第二类:
分子分母是多项式的,把分子分母能因式分解的都要进行因式分解,再去找共同的因式约去。
x
例1:
下列式子
(1)p
x
;(3)
;(4)
x―y中正确的是
xy
()A、1个B
例2:
下列约分正确的是(
6
x3
2x
x
c、
xy
2xy2
4x2y
例3:
下列式子正确的是
A0
2xy
B.—
a
C.
c
D.-
a
例4:
下列运算正确的是
A、
2mm
2ab2
例5:
下列式子正确的是
bb2a
A.2B.
aaab
0.1a0.3b
a3b
0.2ab
2ab
2
例6:
化简m3m的结果是(
)A、
m
9m2〜「
m3
例7:
约分:
4x2y
.3
x
2
;2
6xy
x
9
m
B、
m3
C、
m
m
D、
3m
m3
1
1
1.
x
5
3
y3x5y
;2
0.6x
3xy
xy
y
axayx216
~22;-2~
xyx8x16
x2914a2bc3
3
2x621abc
a24
例8•约分:
一
4xy
a(ab)
:
约分:
2
a4a4
;2
16xy
b(a
b)
例9:
分式
a2
a23
ab4a
a2b2'12(ab)
中,最简分式有()
x2
5ab
x29
20a2b
x26x9
A.1个B.2个C.3个D.4个
题型3:
分式的通分及最简公分母:
通分:
主要分为两类:
第一类:
分母是单项式;第二类:
分母是多项式(要先把分母因式分解)分为三种类型:
“二、三”型;“二、四”型;“四、六”型等三种类型。
三”型:
指几个分母之间没有关系,最简公分母就是它们的乘积。
x
例如:
最简公分母就是x2x2。
x2x2
例如:
x
2x2
最简公分母是:
2xx2
xx2
四”型:
指其一个分母完全包括另一个分母,最简公分母就是其一的那个分母。
例如:
2x2
-最简公分母就是x4x2x2
x2x24
四、六”型:
指几个分母之间有相同的因式,同时也有独特的因式,最简公分母要有独特的;相同的都要有。
例1:
分式一,一—2的最简公分母是()
mn'mn'mn
a.(m
n)(m2n2)b.(m2
2\2
n)c.
2
(mn)(mn)d
例2:
对分式
丄,x2,1通分时,
2x3y4xy
最简公分母是(
)
A.24
x2yyB.12x2y2
c.24xy2
D.12xy2
例3:
下面各分式:
x21xyx1
22
xy
,其中最简分式有(
)个。
2‘22'
xxxyx1
22
xy
A.4
B.3
C.2
D.1
1
例4:
分式c
a4
,a的最简公分母是
2a4
例5:
分式a与1的最简公分母为
b
例6:
分式212,21的最简公分母为
xyxxy
二、分式的运算
(一)分式的乘除
(-)n.分式的乘方,是把分子、分母各自乘方
b
题型1:
分式的乘,除,乘方
分式的乘法:
乘法法测:
a
c
=ac
b
d
bd
分式的除法:
除法法则:
a.
c
a
=
d
=ad
b
d
b
c
bc
分式的乘方:
求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是
n
式子表示为:
(a)n=?
_(n为正整数)bbn
例题:
计算:
26x2?
25x4
6・7
15x39y
(2)
34
16xy
10~
125a
56x4
100a13
计算:
(3)
ab_a2b2a4a2ab
aba
(4)
2
a
a24a4
计算:
(5)
2x2
3?
5y
6x
10y
21x2
(6)
x21
x26x9
(1
x3x)?
飞x
计算:
(7)
2
a
a24a
2
a
a22a1
1
a21
求值题:
(1)
已知:
x2
x22xyy
2■x^」-的值。
2
xxy
(2)已知:
9y
2
y
2y
的值。
(3)已知:
求2x3xy
x2xyy
?
求xyX;的值。
4xyz
2
1
1
bxy
C—
D
y
1y
C.
D.
x
1
化简x
的结果是(
)A.1
y
x
B.xy
计算:
(i)
2x38x
x24x4
x2
2x4
(2)
2
X22x1
x21
22x
x1
(3)
2a2
严1}a22a1
a1
2a2
计算:
(1)
(23^3
3x
2a
(2)
b
5
(3)
3y33
2x2
23
2
23
计算:
(4)
b=
2
(5)
?
?
b2
ab4=
2a2
b
a
例题:
求值题:
(i)已知:
-丫
23
x2x
⑵已知:
x210x25y30求的值。
2xy2y
2
练习:
计算(x2y)-一y?
-yj的结果是(
xxy
(二)分式的加减:
分式加减主体分为:
同分母和异分母分式加减。
1、同分母分式不用通分,分母不变,分子相加减。
2、异分母分式要先通分,在变成同分母分式就可以了。
通分方法:
先观察分母是单项式还是多项式,如果是单项式那就继续考虑是什么类型,找出最简公分母,进行通分;如果是多项式,那么先把分母能分解的要因式分解,考虑什么类型,继续通分。
分类:
第一类:
是分式之间的加减,第二类:
是整式与分式的加减。
鬥2
2n
2a23
2a
4
例1:
例2:
2
2
m
m
a1
a
1
例3:
———
xyyx
x2y
~22
xy
y2x
-22-22
yxxy
计算:
(1)
(2)
ab
(3)
2
a
(ab)2
b2
(ba)2
5a2b3
ab2
3a2b5
ab2
8a2b
ab2
1
3
11
5
)A
.2xB
.2xc
.6xD
.6x
日八b
c
a
例6:
a
b
c
例5:
化简丄+丄+丄等于
x2x3x
2a
例7:
2
a24
例8:
3x
(x3)2
x6
x23x
2a1
练习题:
(1)
13:
14:
15:
(4)
b2
ab
b2a2
计算a
请先化简:
—的结果是
2x
-2~x
已知:
x2
4x
(三)分式的混合运算
题型1:
化简分式
4
x216
H)?
2
例10:
a
a2
a24
例11:
(2)
(5)
4
x24
(3)
a2
12
-2~
a
,然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值
12x
~2x
的值。
4x4
例2:
x
~~2
x
3?
x22x
1x24x3
x22x
2
x
2y
22
x2xyy
题型2:
分式求值问题:
1:
已知x为整数,且
22x
++
3x
x2
2:
已知x=2,y=1
2
24
y)2
3:
已知实数x满足4x2-4x+I=O,
例6:
1
xy
x2y
2
x
22
x4xy4y
x
2
x2x1
18为整数,
9
24
(xy)2
求所有符合条件的
的值.
1
则代数式2x+的值为
2x
1
例4:
已知实数a满足a2+2a—8=0,求—a1
a3
a21
¥2a1的值.
a4a3
2
a1a3a6a9
a3a2a4
(1)
x24x
x28x16
,其中x=5.
(2)
a2ab
a22abb2
其中a=-3,
b=2
(3)
a21
a24a4
;其中a=85;
/八,x2x1、x4甘宀“
(4)(二2),其中x=-1
x2xx4x4x
例5:
卄1
2x
的值是(
1
1
1
1
右x—
3求42
)•
A.
B.
C.-
D.一
x
xx
1
8
10
2
4
例6:
1已知—
1
3,求代数式
2x14xy
2y
的值
x
y
x2xy
y
例7:
先化简,再对
a取一个合适的数,代入求值
练习题:
先化简再求值
3x5
(5)先化简,再求值:
勺x+2—).其中x=-2.
2x4x2
(6)
(汽
22)a22abb2
2
a
~2a
b2
)1,其中
3b
题型3:
分式其他类型试题:
例1:
观察下面一列有规律的数:
2
3
4
5
67
••根据其规律可知第n个数应是
(n为正整
3
8
15
24
3548
数)
例2:
观察下面一列分式:
丄,
2
~,
4
8,~,
16~5,-
..,根据你的发现,
它的第8项是,第n项是
。
xxxxx
110
例3:
当x=时,分式与互为相反数.
5x23x
4ARxC
例4:
已知一二——-,则A,B,C
x(x24)xx24
例5:
已知丄A—,则()
(y1)(y2)y1y2
A.A10,B13
B.
A10,B13
C.A10,B
13D.
A10,B
13
例6:
已知2x3y,求
xy
2
-2y2的值;
xy
22
xy
例7:
先填空后计算:
11
①丄—!
—=
。
11
1
o
1=
o(3分)
nn1
n
1n2
n2
n3
1
②(本小题4分)计算:
1
1
1
n(n1)
(n1)(n2)
(n2)(n3)
(n
2007)(n
2008)
1
解:
—
1
1
1
三、分式与方程
(一)分式方程的解法
解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母,并且要检验,但对一些特殊的分式方程,可根据其特征,采取灵活的方法求解,现举例如下:
1、交叉相乘法:
例
1.
解方程:
1
3
x
x
2
2、化归法:
例2.
解
方
程:
1
2
2
0
x1
x
1
3、左边通分法:
例
3:
解方程:
x
8
1
8
x
/
7x
4、分子对等法:
例
4.
解方程:
1
a
1b
(a
b)
a
x
bx
5、观察比较法:
例
5.
解方程:
4
5x
x
2
5x2
4x
17
4
6、分离常数法:
例
6.
解方程:
x
1
x8
x2
x7
x
2
x9
x3
x8
7、分组通分法:
例
7.
解方程:
1
1
1
1
x
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