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数列问题解题技巧
数列问题的解题技巧2017年8月24日星期四
等差(作差)
等比(作商)
1.定义
=d
=q(q≠0)
2.
=+(n)d
=
=+(n)d
=
4.中项
2B=A+C
B2=A·C
5.角标
若m+n=p+q,则
=
若m+n=p+q,则
=
求常用的有四种方法
=(n≥2)注:
此公式适用于任何数列
累加法=
累积法=
构造法=
求常考的有三种方法
错位相减法{}(其中,一个为等差,另一个为等比数列)
分组求和法{}(其中,一个为等差,另一个为等比数列)
裂项抵消法{},例如{}={2()}
一、求,=(n≥2)
例:
已知=4,求。
解:
∵,得==4()
化简得3=4,∴==q,当n=1时,=4=,即
∴数列{}是以为首项,为公比的等比数列,∴=,(n≥2)
注:
这种题型的变异,若=+1,(n≥2),求
,得=
即=3=q,又∵=+1,即=+1=·3,=1
∴数列{}是以1为首项3为公比的等比数列
∴=,(n≥2)
二、累加法=
例:
已知=+3n+2,且=1,求
解:
∵=+3n+2
∴=+3·1+2
=+3·2+2
=+3()+2
∴=+3[1+2++()]+2()=1++2()
=,(n≥2)
三、累积法=
例:
已知=,且=1,求
解:
∵=
∴=,将=1,2,,()分别代入,得
=
=
=
∴==
∴
四、构造法(构造新数列)
形如=
例1:
已知=,且=1,求
解:
引入参数,然后利用待定系数法求出参数,
=,即=,得=1
∴==
∴=2=q
令=,==2则数列{}是以2为首项2为公比的等比数列
∴=2=,即=,∴=
形如=,解法:
两边同除
例2:
已知=,且=1,求
解法:
两边同除以的系数2的的角标次方(即)就可以约去前面的系数。
解:
∵=两边同除以得,=+
∴=+,(n≥2)
令{}={},再将=2,3,4,,分别代入=+,得
=+
=+
=+
∴=[]
=+=
∴===
求常用的有三种方法
一、错位相减法形如{}(其中,一个为等差,另一个为等比数列)
例1.求数列{(2n+1)}的前n项和。
解:
∵=(2n+1)
∴=(2×1+1)+(2×2+1)(2n+1)……….
2=(2×1+1)+(2×2+1)(2n+1)……….
=(2×1+1)222(2n+1)
∴=(2n+1)2(+)(2×1+1)
=(2n+1)6=(n)++2
小结:
本题通项为=(2n+1)从2n+1是公差为2的等差数列,是公比为2的等比数列,即本数列为差比数列,形如{},做题时,不能直接利用等差或等比数列公式,因此,可以考虑先变形再求解,此类数列中的公比是什么,就乘以什么,然后再错位相减,注意:
一定要错位,整理出符合等差或等比的求和公式进行求解。
二、分组求和法{}(其中,一个为等差,另一个为等比数列)
例:
已知数列{}中,={(2n+1)+},求。
解:
=
=[(2×1+1)+]+[(2×2+1)+(2n+1)+]
=[3+5]+()
=+
=++2n
三、裂项抵消法{},例如{}={2()}
例1:
已知数列{},=,求。
解:
∵==2()
∴=2()
=2()
=2()
∴==2()=
例2:
已知数列{},=,求。
=+.
解:
先把通项=裂开,
====1+=1+()
∴=+
=n1+()
=n+()
=n+
=
数列综合题
例1.已知等比数列{},公比q>1,且4是的一个等比中项,的等差中项是6,若数列{}满足=(n∈N+)
(1)求数列{}的通项公式
(2)求数列{}的前n项和
解:
∵=
又∵∴,==2,=2
∴=2=
又∵===n∴{}={}
∴=+
2=+
得;=++
∴==+2=()+2
例2数列{}前n项和为,且=1,=2+1(n∈N+),等差数列{}中,,(n∈N+),且++=15,+,+,+成等比数列
(1)求{},{}的通项公式
(2)求{+}前n项和.
解:
(1)得==2
∴=3
∴数列{}是以1为首项,3为公比的等比数列
∴=
∵{}是等差数列,且++=15,设{}的公差为d
∴=5
又∵+,+,+成等比数列
∴=(+)(+)
=(+)(+)
82=()()
∵,∴d=2,∴=+d,=3,∴=3+(n)d=2n+1
(2)=(+)+(+)(+)
=+++
=()+[3+5+7]
=+=+n(n+2)
例3.已知数列{}中,=1,=a(a≠0,且a≠1),其前n项和为,且当n≥2时,=
(1)求证{}是等比数列
(2)求数列{}的通项公式
(3)若a=4,=,求数列{}的前n项和
解:
(1)∵=
∴=(通分整理得)=(n≥2)
又∵==1,=+=1+a=a
∴=a,=
∴{}是以1为首项a为公比的等比数列
(2)n≥2,==
∴=
(3)a=4,,===3
===
====
=+
=++
=+=
练习
1.(2017山东文)(本小题满分12分)
已知{}是各项均为正数的等比数列,且+=6,=
(I)求数列{}的通项公式;
(II){}为各项非零的等差数列,其中n项和,已知=,求数列{}的前n项和
2.(2017新课标I文数)(12分)
记为等比数列{}的前n项和,已知=2,=6,
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求,并判断,,是否成等差数列
3.(2017新课标III文数)(12分)
设数列{}满足++=2.
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
4.(2017浙江)(15分)
已知数列{}满足:
=1,=+(n∈N*),证明:
当n∈N*时,
(I)0<<;
(II)2≤;
(III)≤≤
5.(2017北京理)(13分)
设{}和{}是两个等差数列,
记=max{,,}(n=1,2,3,),其中max{}表示这s个数中最大的数.
(1)若=n,=2n,求,,的值,并证明{}是等差数列;
(2)证明:
或者对任何正数M,存在正整数m,当n≤m时,>M;或者存在正整数m,使得,,是等差数列.
6.(2017新课标II文)(12分)
已知等差数列{}的前n项和为,等比数列{}的前n项和为,=1,.
(1)若,求{}的通项公式;
(2)若=21,求.
补充一种求和方法倒序相加法
=++
=++
例:
=sin21°+sin22°sin289°+得2=1+11=89
=sin289°+sin288°sin21°∴=
=cos21°+cos22°cos289°
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