直线与园的方程1与圆有关的最值问题.docx
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直线与园的方程1与圆有关的最值问题
■
二、到圆上一点距离的最值问题;
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题;
四、与圆半径有关的最值问题.
例L已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆兀2+y2—2x—2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,求四边形PACB面积的最小值。
求Spa"的最小值就是求『q的最小值'
“空站3
^32+41
.••所求面积的最小值为
S=J9_i=2^/5点评:
求切线长时总是转化为到圆心的距离和半径来求解。
二、到圆上一点距离的最值问题:
例2:
已知P是圆F+y2=1上一点,Q是直线
/:
x+2y-5=0上一点,求|PQ|的最小值。
解:
圆心C(0,0),半径r=l,作CH丄/与H
・••求圆上一点戶到0的距离可以转化为圆心C到0的距离|C0|,而|C0|的最小值就是圆心到直线的距离\CH\.
:
.\PQ\>\CQ\-1>CH-1
点评:
到圆上一点距离的最值问题总是转化为到圆心距离的最值冋题°
三、与圆上一点的坐标有关的最值冋题:
例3:
己知定M(-1,O),B(1,O)和圆(兀-3『+(y—4『=4上的动点P,求使pa|2+|pb2最值时点p的坐标。
设P(x,y)
|PA|2+|PB|2=(兀+1)2+)2+(兀_])2+『2
=2(/+y2+])
上式中兀彳+丿2相当于在(兀一3)2+©_4『=4上的点P到原点0的距离的平方。
作图不难知道,当0(0,0),P(s),(3,4)共线时,川+于有最值。
易求得P时,x2+y2最小为20
(55丿
求得耳,空]时,x2+尸最大为100
U5;
(l)3x+4y
(2)x2+
5/、、丄人fx=cosa「r
解:
(1)法一:
令q1・,则
[y=l+sma
⑶出
X+1
3x+4y=3cosor+4+4sincr=5sin(a+0)+4
3x+4j的最大值为9,最小值为-1
法二:
设3x+4y=f,直线与圆相切时取最值諏0+4凹=9或J
5
3x+4y的最大值为9,最小值为-1
(l)3x+4y
(2)x2+y2
解:
(2)法一:
由
(1)知:
(3严2
X+1
x2+y2=cos?
q+(1+sina)?
=2+2sina
/.x2+的最大值为4,最小值为0y
法二:
F+y2=(Jx2+y2)2可看作圆/+(y—1)2=1上的点到坐标原点距离
的平方的最值,亦可求解
3+sina
1+cosa
(l)3x+4y
(2)x2+y2
解:
(3)法一:
由⑴知:
(3严2
X+1
,得sina—£cosa=k_3
即+sin(a+0)=k_3
sin(a+0)=f3,贝yf3
Jl+疋IJ1+/I3
.••占有最小值为*无最大值
法二:
出=丄土S可看作圆
X+1x—(—1)
兀2+(y_1)2=1上的点与尸(_1,_2)两点的
四、与圆半径有关的最值问题:
x>0
例4:
设兀y满足]y>x
4x+3y<12
解:
设(兀_1)2+(y_3『
则圆心C(l,3),半径为匕
求(兀-1『+(丁-3『的最小值。
4x+3y=12
由图观察知,当圆与直线4x+3y-12=0相切是,半径厂最小,即厂2最小。
由圆心到直线的距离等于半径,得:
4+9-1211
a/42+325
25
/.(x-l)2+(y-3)2的最小值右
点评:
在线性规划中,求形如(兀-d『+(y-妙的最值问题,总是转化为求圆(x-6i)2+(y-fe)2=r2半径平方的最值问题。
练习2:
已矢口圆C:
x2+y2+2x-4y+3=0
(1).若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等,求切线的方程;
(2)•从圆C外一点P(x,y)向圆引切线PM,M为切点,0为坐标原点,^\PM\=\PO\,求使\PM|最小的点戶的坐标。
解:
⑴•圆C可化为心+l『+(y—2)2=2
・•・圆心C(—1,2),半径r=^/2
设圆C的切线在x轴和y轴上的截距分别为°、b当。
—b—0时,切线方程可设为y=kx即也_y=0
由点到直线的距离公式得:
••・切线方程为y=(2土&)
当q=b主0时,切线方程可设为—+—=1
ab
即兀+y=0由点到直线的距离公式得:
a=—1或q=3
「・切线方程为x+y+1=0或r+y-3=0总之,所求切线方程为丁=(2±齿)兀
x+y+1=+y—3=0
(2).连^MCjlJ|PM|2=|PC|2-|MC|2
Q\PM\=\P0\/.|PC|2-|MC|2=\POf艮叹(x+l『+(y-2『—2"+y2
•••PM
‘Q\2
*厂
=^5y2-6y+-当y=-冷=£时,|FM|最小,
33宀'
x=2x
52
33、
Ilow丿
例5:
已知与曲线C:
x2+y2-2x-2y+1=0
相切的直线/交兀轴』轴于4,3两点,0为原点,0A\=€z,|(?
5|=b(a>2,b>2).
(1)•求证曲线C与直线/相切的条件是
(a_2)(b_2)=2;
(2)•求线段4B中点的轨迹方程;
(3)•求AAOB的面积的最小值。
(1)证明:
直线/的方程为-+-=1ab
^bx+ay-ab=O
曲线C的方程为(—1)2+(y-1)2=1
圆心(1,1)到直线的距离等于1的
充要条件是1=忙凹
・・・@_2)@_2)=2
(2)•设AB中点为M(x,y)则由中点坐标公式得
a
a-lx
、b二2y
x--
2.
••
b
y=-
[2
代入⑴的结论:
(2兀-2)(2y-2)=2
1
/.(x-l)(y-l)=-
这便是中点M的轨迹方程。
=—1+q+Z?
=(q—2)+(b—2)+3\3+2j(a-2)・(b-2)=3+2^2・•・勺最小值为3+2血
练习3:
已知AABC三个顶点坐标A(0,0),B(4,0),C(0,3),点P是它的内切圆上一点,求以PA,PB,PC为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。
解:
QAABC的三边长分别为3,4,5・•・AABC是以4为直角顶点的7?
仏内切圆的圆心(1,1),半径r=1
.•.内切圆的方程为(兀—1『+(y—=1即x2+/-2x-2y+l=0
设P点坐标为(x,y)
•••5=^(M2+|pb|2+|pc|2)
练习4:
设圆满足:
(1)截y轴所得弦长为2;
(2)被x轴分成两圆弧,其弧长比为3:
1。
在满足条件⑴⑵的所有圆中,求圆心到
直线=0的距离最小的圆的方程。
由已知应有圆C截x轴所得劣弧的圆心角为兰
B2
故丨bI二-——rBP2/?
2=r2
2
截y轴所得弦长为2得亍+1二厂2得“+1=2戻
练习4:
设圆满足:
⑴截y轴所得弦长为2;
(2)被兀轴分成两圆弧,其弧长比为3:
1。
在满足条件
(1)
(2)的所有圆中,求圆心到直线/:
x_2y=0的距离最小的圆的方程。
=1a—2b\2=a2-4ab+4/?
2
5
=>r=a/2
>a2+4/?
2_2(亍+方2)=2戻_q2二1当且仅当0=耐成立,此时dmin=
a2+l=2b2
\a=b
•••所求圆方程心+1『+(丁+1)2=2或(兀-1)2+(丁_1)2=2
a/5sin-^2
-5
cosO
由解法二同样可得〃
令swe_迈二k
cos&—0
£可看成单位圆亍+j2=1上动点P(cos0,sin0)与定点Q(0,血)连线的斜率0二冬或匹时,P0与单位圆相切,IkI取到最小
44
mm「,此时
•4n=g|
•••所求圆方程心+1)2+b+1)2=2或(X_1)2+(尹_1)2=2
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