导数与不等式证明绝对精华.docx
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导数与不等式证明绝对精华
二轮专题(^一)导数与不等式证明
【学习目标】
1.会利用导数证明不等式•
2.掌握常用的证明方法.
【知识回顾】
一级排查:
应知应会
1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数,利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明
问题•比如要证明对任意x[a,b]都有f(x)g(x),可设h(x)f(x)g(x),只要利用导数
说明h(x)在[a,b]上的最小值为0即可.
二级排查:
知识积累
利用导数证明不等式,解题技巧总结如下:
(1)利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来),如函数的单调性、最值等,服务于第二问要证明的不等式•
(2)多用分析法思考.
(3)对于给出的不等式直接证明无法下手,可考虑对不等式进行必要的等价变形后,再去证
明•例如采用两边取对数(指数),移项通分等等.要注意变形的方向:
因为要利用函数的性质,力求变形后不等式一边需要出现函数关系式•
(4)常用方法还有隔离函数法,f(x)ming(x)max,放缩法(常与数列和基本不等式一起考
查),换元法,主元法,消元法,数学归纳法等等,但无论何种方法,问题的精髓还是构造辅助函数,将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题.
(5)建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式,有许多题都是利用泰勒展开式
放缩得来.
三极排查:
易错易混用导数证明数列时注意定义域
【课堂探究】
一、作差(商)法
例1、证明下列不等式:
①exx1
②Inxx1
③Inx1-丄
x
④1nx刖(xU
⑤sinx空
x(0,匚)
二、利用f(X)ming(X)max证明不等式
、12e
例2、已知函数f(x)axb(a1)1nx,(a,bR),g(x)x
xe2
(1)若函数f(x)在x2处取得极小值0,求a,b的值;
(2)在
(1)的条件下,求证:
对任意的xix[e,e],总有f(xj
三、构造辅助函数或利用主元法
例3、已知m,n为正整数,且1mn,求证:
(1m)n(1n)
变式:
设函数f(x)Inx,g(x)2x2(x1)
(1)试判断F(x)(x21)f(x)g(x)在定义域上的单调性;
(2)当0ab时,求证f(b)
f(a)
2a(ba)
a2b2
四、分析法证明不等式
例4、设a1,函数f(x)(1x2)exa.若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线0P平行(0是坐标原点),证明:
m3a:
1.
2
变式:
已知函数f(x)XInX.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(n)证明:
对任意的t0,存在唯一的s,使tf(s)•
(川)设(n)中所确定的s关于t的函数为sg(t),证明:
当te2时,有-lng⑴1
5Int2
五、隔离函数例5、已知函数f(x)exIn(xm).
(I)设x0是f(x)的极值点,求m并讨论f(x)的单调性;
(U)当m2时,证明:
f(x)0.
变式:
已知函数f(x)nxxn,xR,其中nN,且n2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设曲线yf(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为yg(x),求证:
对于任意的正实数X,都有f(x)g(x);
(3)
2.
若关于x的方程f(x)a(a为实数)有两个正实数根xi,X2,求证:
X2Xi
六、与数列结合
例6、已知函数f(x)alnxax3(aR).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:
ln2.ln3ln4lnn1(nN,n2)
234nn
1
),求证:
In
x1
1;
x1
x
x
11,,
1
1
Inn1
4n
2
3
变式:
(1)已知x(0,
11
(2)求证:
丄-
23
G(n
N,n2).
【巩固训练】
12
1.已知函数f(x)x2Inx,求证:
在区间(1,)上,函数f(x)的图像在函数g(x)x的
23
图像的下方•
2.已知函数fxIn1x.
1x
(I)求曲线yfx在点0,f0处的切线方程;
X3
(U)求证:
当x0,1时,fx2xx;
3
nn
3.已知0xiX2,求证:
勺X2
2
4.设函数f(x)ln(1X)(xo).
X
(1)判断f(x)的单调性;
1*
(2)证明:
(1—)ne(e为自然对数,nN).
n
5.已知函数f(x)exx.
(1)求函数f(x)的最小值;
P,求实数a的取值范围;
(2)设不等式f(x)ax的解集为P,且[0,2]
(3)设nN,证明:
6.已知f(x)ln(1x2)ax(a0).
(1)讨论f(x)的单调性;
11
(2)证明:
(1歹)034)
1*
(14)e(e为自然对数,nN,n2).
n
7.已知函数f(x)In(1x)x,g(x)xlnx
⑴求函数f(x)的最大值;
ab
⑵设0ab证明:
0g(a)g(b)2g()(ba)ln2.
2
(I)求a,b;(U)证明:
f(x)1.
9.已知函数fxexax(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线yfx在点A处的切线斜率为-1.
(I)求a的值及函数fx的极值;
(U)证明:
当x0时,x2ex;
(川)证明:
对任意给定的正数c,总存在X。
,使得当xX。
,,恒有x2cex.
10.(选作)已知f(x)(1x)ex1.
(1)证明:
当x0时,f(x)0;
(2)数列X}满足Xnexn1
ex1,X11,求证:
{Xn}递减,且Xn
1
歹.
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