七年级数学《列一元一次方程解应用题》学案.docx
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七年级数学《列一元一次方程解应用题》学案
七年级数学《列一元一次方程解应用题》学案
一、列方程解应用题的一般步骤:
(1)审题:
要明确已知什么,未知什么及其相互关系,
(2)设未知数:
用x(或其他字母)表示题中的一个合理未知数。
有时问什么设什么(直接设);有时设与所问的量相关联的某个量(间接设);
(3)根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。
(关键一步)
(4)根据相等关系,正确列出方程,即所列的方程应满足等号两边的量要相等;方程两边的代数式的单位要相同。
(5)解方程:
求出未知数的值。
(6)检验后明确地、完整地写出答案。
检验应是:
检验所求出的解既能使方程成立,又能使应用题有意义。
列方程解应用题的关键步骤是找相等关系,这是列方程的基础和前提。
主要方法有:
(1)善于分析问题中的不变量,利用不变量找等量关系,列方程;
(2)善于利用不同的方式表示同一个量,找等量关系列方程;
(3)善于利用“总量等于各个部分量之和”,寻找等量关系列方程;
(4)从题目的关键词语入手,特别要注意有关数量关系的词语,如“多”、“少”、“快”、“慢”、“共”、“提高”、“增加”、“超过”、“减少”、“倍”、“几分之几”等,从而找出等量关系。
二、列方程解应用题的思考流程:
第二节一元一次方程的应用
(2)——和差倍分问题
一、问题概述:
此类问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。
审题时要抓住关键词,确定标准量与比校量,并注意每个词的细微差别(如:
“增加了”和“增加到”等)。
本类问题的特点是:
已知两个量之间存在和差倍分关系,可以求这两个量的多少。
基本方法是:
以和倍差中的一种关系设未知数并表示其他量,选用余下的关系列出方程。
二、学习过程:
一、知识回顾
1、根据题意列代数式
(1)某校有师生共350人,有教师
人,则有学生______人;
(2)某班的男生是女生的2倍少5人,若女生是
人,则男生是___________人;
(3)一本笔记本x元,一支圆珠笔y元,买3本笔记本、4支圆珠笔共需要元;
(4)产量由
千克增长了20%,就达到千克。
2、根据下列语句列方程
(1)比
大5的数等于8;
(2)
的
与10的和等于它本身;
(3)比
多10%的数等于100_________________________________。
二、问题探究
人数
高中生
初中生
问题1:
某中学共有中学生2800人,其中初中生比高中生的2倍少200人,求初中生、高中生各有多少人?
解:
设有高中生
人,(先把
填入表格),
则有初中生人
根据“”找相等关系
列得方程
=
还有初中生:
人
答:
初中生人,高中生人。
三、练习
A组:
1、根据下列问题,完成表格再列出方程解答:
(1)用一根长1.26m的绳子围出一个长方形,使它的长比宽多0.18m,:
问长和宽应是多少?
长度
长
长
宽
解:
设宽
米,则长为米,
根据“”,
列得方程。
(2)某工厂加强节能措施,去年下半年与上半年相比,月平均用电减少2000度,全年用电15万度,这个工厂去年上半年每月平均用电多少度?
解:
设去年上半年每月平均用电
度,
月平均用电
半年(6个月)用电量
共用电
上半年
下半年
根据“”,
列得方程:
。
(3)超市里有A、B两种饮料,小明买3瓶A种饮料、4瓶B种饮料,一共花了16元,其中B种饮料比A种饮料单价贵0.5元,问买A种饮料的单价是多少?
解:
A种饮料的单价是
元,
则B种饮料的单价是元,
单价
数量
总价
A
B
根据“”,
列得方程。
(4)今年,小李的年龄是他爷爷的
,小李发现,12年之后,他的年龄变成爷爷的
,试求出今年小李的年龄。
解:
设:
今年小李的年龄为
岁,则今年小李爷爷的年龄为岁,
今年的年龄
12年后的年龄
小李
小李爷爷
根据“”,
列得方程。
B组:
1、列方程解应用题
购买数量
前年
去年
今年
(1)某校三年共购买计算机140台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买数量又是去年的两倍。
前年这个学校购买了多少台计算机?
2、某乡改种玉米为种优质杂粮后,今年农民人均收入比去年提高20%。
今年人均收入比去年的1.5倍少1200元。
这个乡去年农民人均收入是多少元?
农民人均收入
今年
去年
解:
3、男女生若干人,男生与女生数之比为4:
3,后来走了12名女生,这时男生人数恰好是女生人数的2倍,求原来的男生和女生人数?
原来
变化后
男生
女生
解:
C组:
1、长风乐园的门票价格规定如下表所列。
某校初一
(1)、
(2)两个班共104人去游长风乐园,其中
(1)班人数较少,不到50人,
(2)班人数较多,有50多人。
经估算,如果两班都以班为单位分别购票,则一共应付1240元;如果两班联合起来,作为一个团体购票,则可以节省不少钱,问两班各有多少名学生?
购票人数
1-50人
51-100人
100人以上
每人门票价
13元
11元
9元
解:
三、小结:
1.列方程解应用题的一般步骤
2.分析应用题、找相等关系的方法
课后练习:
1.一个机床厂今年第一季度生产机床180台,比去年同期的二倍多36台,去年一季度产量多少台?
2.某通信公司今年员工人均收入比去年提高20%,且今年人均收入比去年的1.5倍少了1200元,求去年人均收入?
3.“希望工程”委员会将2000元奖金发给全校25名三好学生,其中市级三好学生每人得奖金200元,校级三好学生每人得奖金50元,问全校市级三好学生、校级三好学生各有多少人?
4.一群老人去赶集,集上买了一堆梨,一人1个多一个,一人2个少2个,几位老人几个梨?
5.某学校组织10名优秀学生春游,预计费用若干元,后来又来了2名同学,原来的费用不变,这样每人可以少摊3元,则原来每人需要付费多少元?
6.本市中学生足球赛中,某队共参加了8场比赛,保持不败的记录,积18分.记分规则是:
胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分。
你知道这个胜了几场?
又平了几场吗?
7.某中学组织同学们春游,如果每辆车座45人,有15人没座位,如果每辆车座60人,那么空出一辆车,其余车刚好座满,问有几辆车,有多少同学?
8.七年级三班学生参加义务劳动,原来每组8人,后来根据需要重新编组,每组14人,这样比原来减少3组。
问这个班共有学生多少人?
第三节一元一次方程的应用(3)——工程问题
知识准备:
1.基本数量关系:
工作总量=工作效率×工作时间;
合做的效率=各单独做的效率的和。
2.当工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”,分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。
3.常用的相等关系是:
工作总量=各部分工作量之和
知识回顾:
关系:
(1)工作量=×
(2)工作时间=÷(3)工作效率=÷
(4)注意:
通常设完成全部工作的总工作量为
(5)一项工作甲独做5天完成,乙独做10天完成,那么甲每天的工作效率是,乙每天的工作效率是,两人合作3天完成的工作量是,此时剩余的工作量是。
(6)一项工作甲独做a天完成,乙独做b天完成,那么甲每天的工作效率是,乙每天的工作效率是,两人合作3天完成的工作量是,此时剩余的工作量是。
例题分析:
例题1.整理一批图书,由一个人做要40小时完成.现在计划由一部分人先做4小时,再增加两人和他们一起做8小时,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,具体应安排多少人工作?
分析:
(1)人均效率(一个人做1小时完成的工作量)为。
(2)有x人先做4小时,完成的工作量为。
再增加2人和前一部分人一起做8小时,完成的工作量为。
(3)这项工作分两段完成,两段完成的工作量之和为。
(4)列方程
例题2.整理一批图书,由一人做要80小时完成。
现计划由一些人先做2小时,再增加5人做8小时,完成这项工作的
。
怎样安排参与整理数据的具体人数?
反思提高:
1工程问题常见相等关系:
2注意一件工作完成了,总的工作量是“1”;只是完成部分,工作量要由具体情况得出
练习:
1.一项工程,甲单独做需20天完成,乙单独做需30天完成,如果先由甲单独做8天,再由乙单独做3天,剩下的由甲、乙两人合作,还需要几天完成?
2.一件工作,甲独做需30小时完成,由甲、乙合做需24小时完成,现由甲独做10小时后,剩下部分由甲、乙合作,问还需几小时完成?
3.一部稿件,甲打字员单独打20天可以完成,甲、乙两打字员合打,12天可以完成,现由两人合打7天后,余下部分由乙打,还需多少天完成?
4.一项工程,甲单独完成需要9天,乙单独完成需12天,丙单独完成要15天,若甲、丙先做3天后,甲因故离开,由乙接替甲的工作,问还需多少天能完成这项工程的 ?
5.一件工作,甲单独做6小时完成,乙单独做12小时完成,丙单独做18小时完成,若先由甲、乙合做3小时,然后由乙丙合做,问共需几小时完成?
6.某中学的学生自己动手整理操场,如果让七年级学生单独工作,需要7.5小时;如果让八年级学生单独工作,需要5小时。
如果让七、八年级学生一起工作1小时,再由八年级学生单独完成剩余部分,共需多少时间完成?
7.学校整治校园环境,清理一个多年的垃圾堆,初三年级一个班需15小时完工,初二年级一个班需20小时完工,初一年级一个班30小时完工。
现初三一个班,初二一个班合作6小时,再由初一一个班单独继续去做,还需几小时完工?
8.一个蓄水池装有甲、乙、丙三个进水管.单独开放甲管,45分可注满全池;单独开放乙管,60分可注满全池;单独开放丙管,90分可注满全池.现将三管一齐开放,多少分可注满全池?
9.一个水池设有注水管和排水管.单独开注水管2小时可注满水池,单独开排水管3小时可将一池水排完.现将注水管与排水管同时开放若干小时后,关上注水管,排水管排掉水池之水所用时间比两管同时开放的时间少10分钟.问两管同时开了多少时间?
小结:
1、通过这节课的学习,你有什么收获?
2、在解决工程问题方面你获得了哪些经验?
这些问题中的相等关系有什么特点?
第四节一元一次方程的应用(4)——行程问题
一、问题概述:
此类问题属于应用题中较为复杂的问题,在小学对这类问题已经有过接触。
按照不同的情况,可以把行程问题分为四类:
(1)相遇问题;
(2)追及问题;(3)环形跑道问题;(4)顺水(风)逆水(风)问题。
对于这类问题要抓住路程、时间、速度三者的关系,一方面要能够熟练地用其中两个量表示第三个量;另一方面要紧扣同类量(路程与路程等)的关系发现相等关系。
要解决行程问题,画示意图、列表格是帮助思考的重要方法。
二、学习过程:
(一)知识回顾:
1.行程问题中,路程、时间、速度这三者之间有那些关系?
根据它们的关系填空:
(1)汽车的速度为40km/h,它行驶xh的路程为;
(2)A、B两地相距xkm,甲的速度为10km/h,则甲走完全程需要___________h;
(3)A、B两地相距xkm,乙走完全程需要6h,则乙的速度为km/h。
(4)甲每小时走5km,乙每小时走6km,他们t小时一共行走km,乙比甲多走
Km;
(5)A、B两地相距skm,甲每小时走20km,乙每小时走15km,从A地到B地甲需要___________h,乙需要___________h,乙比甲多用___________h。
二、问题探究
类型一:
相遇问题(相向而行)
例1.A、B两地相距64km,甲从A地出发到B地,速度为14km/h;乙从B地出发到A地,速度为18km/h。
1若两人同时出发,相向而行,经过几小时两人相遇?
速度
时间
路程
甲
乙
1若两人同时出发,相向而行,经过几小时两人相距16km?
速度
时间
路程
甲
乙
2若两人同时出发,相向而行,且两人到达目的地后立即返回,经过几小时两人第二次相遇?
速度
时间
路程
甲
乙
④若他们相向而行,乙先出发20分钟,甲出发几小时后两人相遇?
速度
时间
路程
甲
乙
例2.甲、乙两人同时从A、B两地出发,相向而行.甲每小时走5km,乙每小时走3km,两人在距离A、B两地中点2km的地方相遇,求A、B两地的路程.
速度
时间
路程
甲
乙
通过以上探究。
你有什么发现?
1、相遇问题的基本题型:
①同时出发;②先后出发。
2、这类问题的常用到的相等关系是:
类型二:
追及问题(同向而行)
例3.A、B两地相距64km,甲从A地出发到B地,速度为14km/h;乙从B地出发到A地,速度为18km/h。
①若甲在前,乙在后,两人同时同向而行,几小时后乙追上甲?
速度
时间
路程
甲
乙
①若甲在前,乙在后,两人同向而行,乙比甲早1小时出发,几小时后乙追上甲?
速度
时间
路程
甲
乙
通过以上探究。
你有什么发现?
1、追及问题的基本题型:
①同时出发;②先后出发。
2、这类问题的常用到的相等关系是:
两人的路程差等于追及的路程(甲、乙同向不同地,则:
追者走的路程=前者走的路程+两地间的距离。
)
例4.从甲地到乙地,水路比公路近40千米,上午十时,一艘轮船从甲地驶往乙地,下午1时一辆汽车从甲地驶往乙地,结果同时到达终点。
已知轮船的速度是每小时24千米,汽车的速度是每小时40千米,求甲、乙两地水路、公路的长,以及汽车和轮船行驶的时间?
速度
时间
路程
轮船
汽车
练习:
1、已知甲、乙两地相距120千米,乙的速度比甲每小时快1千米,甲先从A地出发2小时后,乙从B地出发,与甲相向而行经过10小时后相遇,求甲乙的速度?
2.小明以15公里/小时的速度,小亮以30公里/小时的速度,分别骑自行车和开汽车从同一地前往另一地,小明先出发1小时,小亮几小时后才能追上小明?
3、甲、乙两地相距240千米,从甲站开出来一列慢车,速度为每小时80千米;从乙站开出一列快车,速度为每小时120千米。
问:
如果两车同向开出,同向而行(快车在后),那么经过多长时间快车可以追上慢车?
4.从甲地到乙地,公共汽车原需行驶7个小时,开通高速公路后,车速平均每时增加了20千米,只需5个小时即可到达,求甲、乙两地的路程.
5.某人骑车以每小时10千米的速度从甲地到乙地,返回时因事绕道而行,比去时多走8千米,虽然速度增加到了每小时12千米,但比去时还多用了10分钟,求甲、乙两地的距离。
6.一辆汽车以每小时60千米的速度由甲地始往乙地,车行驶了4小时30分钟后,遇雨路滑,则平均行驶速度每小时减少20千米,结果比预计时间晚45分钟到达乙地,求甲、乙两地的距离。
7.一队学生去军事训练,走到半路,队长有事要从队头通知到队尾,通讯员以18米/分的速度从队头至队尾又返回,已知队伍的行进速度为14米/分。
问:
若已知队长320米,则通讯员几分钟返回?
若已知通讯员用了25分钟,则队长为多少米?
三、小结:
1、在相遇问题、追及问题中找相等关系的方法;
2、行程问题中涉及3个量,这3个量通常已知其中一个。
解决问题时,通常设某个未知量为x,再利用关系式表示另一个未知量,并用另一个未知量之间的等式关系列出方程。
3、与“和差倍分”类问题的联系
类型三:
航行问题:
一、知识回顾:
1.航行问题中,顺(逆)水速度、静水速度、水流速度之间有那些关系?
顺水速度=静水中速度()水流速度;②逆水速度=静水中速度()水流速度。
2、填空:
(1)一艘船的静水速度为20km/h,水流速度为akm/h,它顺水行驶3h的路程为;逆水航行2h的路程为.
(2)一艘船的静水速度为15km/h,水流速度为3km/h,它顺水行驶xkm的所需时间为;逆水航行ykm的所需时间为
(3)A、B两码头相距xkm,一艘船顺水行驶需要6h,则它的顺水速度为km/h。
这艘船顺水行驶需要8h,则它的逆水速度为km/h。
二、问题探究
例1、一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了2小时;从乙码头返回甲码头逆流行驶,用了2.5小时。
已知水流的速度是3千米/时,求船在静水中的速度。
速度
时间
路程
顺水
逆水
例2、汽船从甲地顺水开往乙地,所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时。
已知船在静水的速度为18千米/小时,水流速度为2千米/小时,求甲、乙两地之间的距离
速度
时间
路程
顺水
逆水
练习:
1.已知船在静水中的速度为10米/秒,若船顺水行驶了5小时之后,又沿原路返回,行驶了7小时30分,问水速是多少?
2.一只轮船在相距80千米的码头间航行,顺水需4小时,逆水需5小时,则水流速度为多少?
3.一艘船从A港到B港顺流行驶,用了5小时;从B港返回A港逆流而行,用了7.5小时,已知水流的速度是3千米/时,求船在静水中的速度。
4.一架飞机飞行两城之间,顺风时需要5小时30分钟,逆风时需要6小时,已知风速为每小时24千米,求两城之间的距离?
5.甲、乙两船航行于A、B两地之间,由A到B航速每小时35km,由B到A航速每小时25km,今甲船由A地开往B地,乙船由B地开往A地,甲船先航行2h,两船在距B地120km处相遇,求两地的距离和相遇时甲船航行的时间.
类型四:
环形跑道上的相遇和追及问题:
①同地反向而行相当于相遇问题,两人相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度——等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程;
②同地同向而行相当于追及问题,两人相遇时,快的必须多跑一圈才能追上慢的——等量关系是两人走的路程差等于一圈的路程
例3.甲、乙两人环绕周长是400米的跑道散步,如果两人从同一地点背道而行,那么经过2分钟他们两人就要相遇。
如果2人从同一地点同向而行,那么经过20分钟两人相遇。
如果甲的速度比乙的速度快,求两人散步的速度。
解:
设甲的速度为
米/分,根据“两人从同一地点背道而行,那么经过2分钟他们两人就要相遇”,可以用x表示出乙的速度为米/分。
根据“”找相等关系
列得方程
解得:
=
则乙的速度为:
练习:
1.甲、乙两人沿圆形跑道赛跑,相向而跑时,2min相遇一次;同向而跑时,6min相遇1次,则两人每分钟跑的圈数分别是多少?
2.甲、乙两人在400m环形跑道上练习长跑,两人速度分别为200m/min和160m/min。
两人同时从起点同向出发,当两人起跑后第一次相遇时经过了多少时间?
这时他们各跑了多少圈?
3.一条环形跑道长400米,甲练习骑自行车,平均每分钟行驶550米,乙练习赛跑,平均每分钟跑250米.两人同时、同地、同向出发,经过多少时间,两人首次相遇?
其他问题:
(课外探究)
1(多次相遇问题).甲、乙二人分别由A,B两地沿同一路线同时相向而行,在离B地12千米相遇后分别到达B,A两地,然后立即返回,在第一次相遇后6小时,两人又在离A地6千米处中遇,求A,B两地的距离及甲、乙二人的速度?
2.(火车过桥问题)某桥长1000米,一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到过完桥共用60秒。
而整列火车完全在桥上的时间是40秒,求火车的速度和长度。
3.一列火车匀速前进,从它进入300m长的隧道到完全通过隧道经历了20s.隧道顶部一盏固定的灯光,在列车上照了10s,求火车车身长.
4.一列客车和一列货车在平行的轨道上同向行驶,客车的长是200米,货车的长是280米,客车的速度与货车的速度比是5:
3,客车赶上货车的交叉时间是1分钟,求各车的速度;若两车相向行驶,它们的交叉时间是多少分钟?
三、小结:
1、在航行问题、环形跑道问题中找相等关系的方法;
2、行程问题中涉及3个量,这3个量通常已知其中一个。
解决问题时,通常设某个未知量为x,再利用关系式表示另一个未知量,并用另一个未知量之间的等式关系列出方程。
第五节一元一次方程的应用(5)——调配、配套问题
一、问题概述:
1、调配问题:
劳力调配问题涉及的是人或物等的调入或调出。
在原有的基础上调入了新的力量,表明原有的量增加了,若在原有的基础上调出了,则说明原有的量减少了。
要解决这类问题,关键要搞清楚:
是调入还是调出?
从哪里向哪里调入(出)?
此类问题常见题型有:
①既有调入又有调出;②只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;③只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。
通常从调配后的数量关系中找等量关系,常见是“和、差、倍、分”关系,要注意调配对象流动的方向和数量。
2、配套问题:
如螺钉与螺母的配套,盒身与盒底的配套等都属于配套组合问题,解决这类问题的方法是:
抓住配套关系,设出未知数,根据配套关系(比例关系)列出方程,通过解方程来解决问题。
一、知识回顾:
1、填空:
甲仓库存有原料145吨,乙两仓库存有原料95吨.
(1)甲库调走x吨,则甲库还有原料吨;
(2)甲库调给乙库x吨,则甲库现有原料吨,乙库现有原料吨;
(3)甲库每天调入5吨,乙库每天调入10吨,x天后,甲库有原料吨,乙库有原料吨;
(4)若从某地又调来20吨原料,调入甲库x吨,则甲库现有原料吨,乙库现有原料吨;
二、问题探究:
例1.在甲处劳动有27人,在乙处劳动有19人。
(1)如果现调20人去支援,使在甲处的人数为在乙处人数的2倍,应调往甲、乙两处各多少人?
(2)如果从甲处抽调一部分人给乙,则从甲抽调多少人才能使甲、乙两处劳动的人数相同?
(3)现从甲、乙两地共调10人到丙处劳动,使在甲处劳动的人数是在乙处劳动人数的2倍,求应该从甲、乙两处各调走多少人?
甲处
乙处
调配前
调配
调配后
反思归纳:
1.调配问题的分析策略:
2、还有那些疑惑?
例2.某车间22名工人生产螺钉和螺母,每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个,一个螺钉要配两个螺母,为了使每天生产的产品刚好配套,应该分配多少名工人生产螺钉,多少工人生产螺母?
人数
产品数量
生产螺钉
生产螺母
分析:
设生产螺钉有
人,(先把
填入表格),则生产螺母有人
根据“产品刚好配套”,可知,螺钉、螺母的数量应满足。
这就得到本题的相等关系。
根据相等关系列得方程
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- 列一元一次方程解应用题 七年 级数 一元一次方程 应用题