江苏省连云港市学年度第一学期高一期末考试数学试题.docx
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江苏省连云港市学年度第一学期高一期末考试数学试题
江苏省连云港市2015-2016学年度第一学期高一期末考试数学试题
一、填空题:
(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1.已知集合A={x|x>2},B={2,3,4},则A∩B= .
2.若直线过点A(1,2),B(3,6),则该直线的斜率为 .
3.幂函数f(x)=xa的图象经过点(4,
),则实数a= .
4.2lg4+lg
= .
5.已知函数f(x)=x2﹣mx+1是偶函数,则f(x)的单调递增区间是 .
6.过点(﹣2,3)且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为 .
7.已知函数
,若
,则m= .
8.若直线x+2ay=2a+2与直线ax+2y=a+1平行,则实数a= .
9.已知方程log2x+x﹣m=0在区间(1,2)上有实根,则实数m的取值范围是 .
10.用半径为1cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的高为 cm.
11.已知0.2x<25,则实数x的取值范围为 .
12.若方程7x2﹣(m+13)x﹣m﹣2=0的一个根在区间(0,1)上,另一根在区间(1,2)上,则实数m的取值范围为 .
13.已知m,n,p表示不重合的三条直线,α,β,γ表示不重合的三个平面.下列说法正确的是 .(写出所有正确命题的序号).
①若m⊥p,m∥n,则n⊥p;
②若m∥β,n∥β,m⊂α,n⊂α,则α∥β;
③若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,则m⊥γ;
④若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n.
14.函数f(x)=
对于任意的实数b,函数y=f(x)﹣b至多有一个零点,则实数a的取值范围是 .
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数f(x)=
+lg(x﹣1)的定义域为集合M,函数g(x)=x2﹣2x+3在[0,3]的值域为集合M,求:
(1)M,N;
(2)M∩N,M∪N.
16.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点D在边BC上,AD⊥C1D.
(1)求证:
AD⊥平面BCC1B1;
(2)如果点E是C1B1的中点,求证:
A1E∥平面ADC1.
17.已知△ABC的三个顶点的坐标为A(1,0),B(3,2),C(2,4).求:
(1)点D的坐标,使四边形ABCD是平行四边形;
(2)点C关于直线AB对称点的坐标;
(3)△ABC的面积.
18.一副三角板如图拼成,AB=AC,∠BAC=90°,∠DBC=30°,∠BCD=90°,将△BCD沿BC折起,使得平面ABC⊥平面BCD.
(1)若AB=
,求四面体A﹣BCD的体积;
(2)求证:
平面ABD⊥平面ACD.
19.如图,在A,B两城周边有两条直线互相垂直的高速公路l1,l2,在点O外交汇,A城到高速公路l1,l2的距离分别是30km,20km,B城到高速公路l1,l2的距离分别是60km,80km,为了方便居民出行,现要在高速公路l1或l2上建造一个高速公路出入口P(不能建造在点O处),经调查,若出入口O建造在高速公路l1上,A,B两城居民的“不满意度”M1=
(PA+PB),若出入口P建造在高速公路l2上,A,B两城居民的“不满意度”M2=
.
(1)若出入口P建造在高速公路l1上,求A,B两城居民,“不满意度”的最小值;
(2)试确定出入口P建在高速公路何处,才能使A,B两城居民的,“不满意度”最小?
20.已知函数f(x)是二次函数,函数g(x)=x2﹣2,f(x)+g(x)是奇函数,且方程f(x)=3x+2有两个相等的实数根.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求x取何值时,函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的上方;
(3)是否存在实数m,n(m<n),使得函数f(x)的定义域和值域的分别为[m,n]和[2m,2n]、如果存在,求出m,n的值,请说明理由.
2015-2016学年江苏省连云港市高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题:
(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1.已知集合A={x|x>2},B={2,3,4},则A∩B= {3,4} .
【考点】交集及其运算.
【专题】计算题;定义法;集合.
【分析】由A与B,找出两集合的交集即可.
【解答】解:
∵A={x|x>2},B={2,3,4},
∴A∩B={3,4},
故答案为:
{3,4}
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2.若直线过点A(1,2),B(3,6),则该直线的斜率为 2 .
【考点】直线的斜率.
【专题】计算题;方程思想;数学模型法;直线与圆.
【分析】直接由两点坐标求斜率公式得答案.
【解答】解:
∵A(1,2),B(3,6),
∴
.
故答案为:
2.
【点评】本题考查直线的斜率,考查了由两点的坐标求直线的斜率,是基础题.
3.幂函数f(x)=xa的图象经过点(4,
),则实数a= ﹣
.
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【专题】待定系数法;函数的性质及应用.
【分析】把点的坐标代入幂函数f(x)的解析式,求出a的值即可.
【解答】解:
幂函数f(x)=xa的图象经过点(4,
),
∴4a=
,
解得a=﹣
.
故答案为:
﹣
.
【点评】本题考查了用待定系数法求幂函数解析式的应用问题,是基础题目.
4.2lg4+lg
= 1 .
【考点】对数的运算性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用对数的运算性质即可得出;
【解答】解:
原式=
═lg10=1,
故答案为:
1.
【点评】本题考查了对数的运算性质,属于基础题.
5.已知函数f(x)=x2﹣mx+1是偶函数,则f(x)的单调递增区间是 (0,+∞) .
【考点】二次函数的性质.
【专题】函数思想;分析法;函数的性质及应用.
【分析】由偶函数的图象关于y轴对称,可得m=0,再由二次函数的单调性,即可得到增区间.
【解答】解:
函数f(x)=x2﹣mx+1是偶函数,
可得f(x)的图象关于y轴对称,
即有对称轴x=
=0,即为m=0,
由f(x)=x2+1,可得增区间为(0,+∞).
故答案为:
(0,+∞).
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的求法,考查二次函数的对称轴和单调区间的求法,属于基础题.
6.过点(﹣2,3)且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为 2x+y+1=0 .
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【专题】直线与圆.
【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线x﹣2y+1=0垂直的直线方程为2x+y+c=0,再把点(﹣2,3)代入,即可求出c值,得到所求方程.
【解答】解:
∵所求直线方程与直线x﹣2y+1=0垂直,∴设方程为2x+y+c=0
∵直线过点(﹣2,3),∴﹣4+3+c=0,∴c=1
∴所求直线方程为2x+y+1=0.
故答案为:
2x+y+1=0.
【点评】本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系,以及待定系数法求直线方程,属于常规题.
7.已知函数
,若
,则m=
.
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法.
【专题】计算题.
【分析】由于函数f(x)为分段函数,故方程
可转化为不等式组,分别解得方程的解即可
【解答】解:
⇔
或
解得m=
或m=﹣1
故答案为
或﹣1
【点评】本题主要考查了分段函数的用法,函数与方程间的关系,简单的对数方程和指数方程的解法,属基础题
8.若直线x+2ay=2a+2与直线ax+2y=a+1平行,则实数a= 1 .
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【专题】方程思想;转化思想;直线与圆.
【分析】利用两条直线平行的充要条件即可得出.
【解答】解:
由于直线ax+2y=a+1存在,且两条直线平行,因此直线x+2ay=2a+2的斜率存在,a≠0.
两条直线分别化为:
y=﹣
x+
,y=
x+
,
可得:
﹣
=
,
≠
,
解得a=1.
故答案为:
1.
【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
9.已知方程log2x+x﹣m=0在区间(1,2)上有实根,则实数m的取值范围是 (1,3) .
【考点】二分法的定义.
【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】由方程log2x+x﹣m=0在区间(1,2)上有实根,则函数f(x)=log2x+x﹣m在区间(1,2)上有零点,根据函数的单调性和函数的零点存在定理可知f
(1)f
(2)<0,解得即可.
【解答】解:
方程log2x+x﹣m=0在区间(1,2)上有实根,
∴函数f(x)=log2x+x﹣m在区间(1,2)上有零点,
∵f(x)=log2x+x﹣m在区间(1,2)上单调递增,
∴f
(1)•f
(2)<0,
即(1﹣m)(3﹣m)<0,
即(m﹣1)(m﹣3)<0,
解得1<m<3,
故答案为:
(1,3).
【点评】本题考查了函数零点的存在定理,属于基础题.
10.用半径为1cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的高为
cm.
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【专题】计算题;转化思想;综合法;立体几何.
【分析】半径为1的半圆弧长为π,从而圆锥的底面圆的周长为π,其轴截面为等腰三角形,由此能求出圆锥的高.
【解答】解:
半径为1的半圆弧长为l=
=π,
∴圆锥的底面圆的周长为π,其轴截面为等腰三角形如图:
圆锥的底面半径为:
,
∴圆锥的高h=
=
.
故答案为:
.
【点评】本题考查圆锥的高的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
11.已知0.2x<25,则实数x的取值范围为 (﹣2,+∞) .
【考点】指、对数不等式的解法.
【专题】计算题;转化思想;数学模型法;不等式的解法及应用.
【分析】化为同底数,然后利用指数式的单调性转化为一次不等式得答案.
【解答】解:
由0.2x<25,
得
,即5﹣x<52,
解得:
x>﹣2.
∴实数x的取值范围为(﹣2,+∞).
故答案为:
(﹣2,+∞).
【点评】本题考查指数不等式的解法,考查指数式的单调性,是基础题.
12.若方程7x2﹣(m+13)x﹣m﹣2=0的一个根在区间(0,1)上,另一根在区间(1,2)上,则实数m的取值范围为 (﹣4,﹣2) .
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系.
【专题】数形结合;转化法;函数的性质及应用.
【分析】根据方程和函数之间的关系设f(x)=7x2﹣(m+13)x﹣m﹣2,根据一元二次方程根的分布,建立不等式关系进行求解即可.
【解答】解:
设函数f(x)=7x2﹣(m+13)x﹣m﹣2,
∵方程7x2﹣(m+13)x﹣m﹣2=0的一个根在区间(0,1)上,另一根在区间(1,2),
∴
,∴
,即
,
则﹣4<m<﹣2,
即实数m的取值范围是(﹣4,﹣2);
故答案为:
(﹣4,﹣2).
【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布,根据方程和函数之间的关系构造函数是解决本题的关键.
13.已知m,n,p表示不重合的三条直线,α,β,γ表示不重合的三个平面.下列说法正确的是 ①③ .(写出所有正确命题的序号).
①若m⊥p,m∥n,则n⊥p;
②若m∥β,n∥β,m⊂α,n⊂α,则α∥β;
③若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,则m⊥γ;
④若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n.
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【专题】综合题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.
【分析】对4个命题分别进行判断,即可得出结论.
【解答】解:
①若m⊥p,m∥n,则n⊥p,正确;
②若m∥β,n∥β,m⊂α,n⊂α,m,n相交,则α∥β,不正确;
③因为α,β垂直于同一个平面γ,故α,β的交线一定垂直于γ,即m⊥γ,正确;
④若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n或m,n异面,不正确.
故答案为:
①③.
【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质,平面与平面垂直的性质,线线垂直的判断,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
14.函数f(x)=
对于任意的实数b,函数y=f(x)﹣b至多有一个零点,则实数a的取值范围是 [﹣1,1] .
【考点】函数零点的判定定理;根的存在性及根的个数判断.
【专题】数形结合;转化法;函数的性质及应用.
【分析】由y=f(x)﹣b=0得f(x)=b,根据函数y=f(x)﹣b至多有一个零点,得到函数f(x)与y=b至多有一个交点,即函数f(x)在定义域上为单调函数,结合一元二次函数的单调性利用数形结合进行判断即可.
【解答】解:
由y=f(x)﹣b=0得f(x)=b,
∵y=f(x)﹣b至多有一个零点,
∴等价为f(x)=b至多有一个根,
即函数f(x)与y=b至多有一个交点,
在函数f(x)在定义域上为单调函数,
函数f(x)=x2+2x﹣1的对称轴为x=﹣1,
f(x)=﹣x2+2x﹣1的对称轴为x=1,
则由图象可知﹣1≤a≤1,
故答案为:
[﹣1,1]
【点评】本题主要考查函数与方程的应用,根据函数关系转化为两个函数的交点问题,以及利用数形结合是解决本题的关键.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数f(x)=
+lg(x﹣1)的定义域为集合M,函数g(x)=x2﹣2x+3在[0,3]的值域为集合M,求:
(1)M,N;
(2)M∩N,M∪N.
【考点】交集及其运算.
【专题】定义法;函数的性质及应用;集合.
【分析】
(1)求出f(x)的定义域确定出M,求出g(x)的值域确定出N即可;
(2)由M与N,找出两集合的交集,并集即可.
【解答】解:
(1)由题意
,
解得:
1<x≤3,即M=(1,3],
由y=x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2,x∈[0,3],
得到2≤y≤6,即N=[2,6];
(2)∵M=(1,3],N=[2,6],
∴M∩N=[2,3],M∪N=(1,6].
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
16.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点D在边BC上,AD⊥C1D.
(1)求证:
AD⊥平面BCC1B1;
(2)如果点E是C1B1的中点,求证:
A1E∥平面ADC1.
【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
【专题】证明题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.
【分析】
(1)推导出AD⊥C1D,从而CC1⊥平面ABC,进而AD⊥CC1,由此能证明AD⊥平面BCC1B1.
(2)由AD⊥BC,得D是BC中点,连结ED,得四边形AA1DE是平行四边形,由此能证明A1E∥平面ADC1.
【解答】证明:
(1)∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点D在边BC上,AD⊥C1D,
∴CC1⊥平面ABC,又AD⊂平面ABC,
∴AD⊥CC1,
又C1D∩CC1=C1,∴AD⊥平面BCC1B1.
(2)∵AD⊥平面BCC1B1,∴AD⊥BC,
∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=BC=AC,∴D是BC中点,
连结ED,∵点E是C1B1的中点,
∴AA1
DE,∴四边形AA1DE是平行四边形,
∴A1E∥AD,
又A1E⊄面ADC1,AD⊂平面ADC1.
∴A1E∥平面ADC1.
【点评】本题考查线面垂直的证明,考查线面平行的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
17.已知△ABC的三个顶点的坐标为A(1,0),B(3,2),C(2,4).求:
(1)点D的坐标,使四边形ABCD是平行四边形;
(2)点C关于直线AB对称点的坐标;
(3)△ABC的面积.
【考点】点到直线的距离公式;中点坐标公式.
【专题】方程思想;转化思想;直线与圆.
【分析】
(1)利用平行四边形的性质、中点坐标公式即可得出.
(2)利用垂直平分线的性质即可得出;
(3)利用两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式即可得出.
【解答】解:
(1)设AC中点为M,则
由ABCD为平行四边形知M为BD中点,而B(3,2)
故D(0,2).
(2)直线AB方程为y=x﹣1
过点C且与AB垂直的直线方程为y=﹣x+6,
由
,得交点E为
,
设点C关于直线AB的对称点为C′,
则E为C,C′的中点,故C′点坐标为(5,1).
(3)
,
点C(2,4)到直线AB:
x﹣y﹣1=0的距离为
,
∴
.
【点评】本题考查了平行四边形的性质、中点坐标公式、垂直平分线的性质、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
18.一副三角板如图拼成,AB=AC,∠BAC=90°,∠DBC=30°,∠BCD=90°,将△BCD沿BC折起,使得平面ABC⊥平面BCD.
(1)若AB=
,求四面体A﹣BCD的体积;
(2)求证:
平面ABD⊥平面ACD.
【考点】平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.
【专题】证明题;数形结合;数形结合法;立体几何.
【分析】
(1)由面面垂直的性质可知△ABC的高为棱锥的高,求出△BCD的面积和棱锥的高,代入体积公式计算;
(2)由平面ABC⊥平面BCD可得CD⊥平面ABC,故CD⊥AB,又AB⊥AC,从而可证AB⊥平面ACD,于是平面ABD⊥平面ACD.
【解答】证明:
(1)∵平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,CD⊥BC,CD⊂平面BCD,
∴CD⊥平面ABC,
∵AB=
,AB=AC,∠BAC=90°,∴AC=
,BC=2,
∵∠DBC=30°,∠BCD=90°,∴CD=1,
∴V棱锥A﹣BCD=V棱锥D﹣ABC=
S△ABC•CD=
=
.
(2)由
(1)知CD⊥平面ABC,∵AB⊂平面ABC,
∴CD⊥AB,又∵AB⊥AC,AC⊂平面ACD,CD⊂平面ACD,AC∩CD=C,
∴AB⊥平面ACD,∵AB⊂平面ABD,
∴平面ABD⊥平面ACD.
【点评】本题考查了面面垂直的性质与判定,线面垂直的判定,棱锥的体积计算,属于中档题.
19.如图,在A,B两城周边有两条直线互相垂直的高速公路l1,l2,在点O外交汇,A城到高速公路l1,l2的距离分别是30km,20km,B城到高速公路l1,l2的距离分别是60km,80km,为了方便居民出行,现要在高速公路l1或l2上建造一个高速公路出入口P(不能建造在点O处),经调查,若出入口O建造在高速公路l1上,A,B两城居民的“不满意度”M1=
(PA+PB),若出入口P建造在高速公路l2上,A,B两城居民的“不满意度”M2=
.
(1)若出入口P建造在高速公路l1上,求A,B两城居民,“不满意度”的最小值;
(2)试确定出入口P建在高速公路何处,才能使A,B两城居民的,“不满意度”最小?
【考点】两点间距离公式的应用.
【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆.
【分析】
(1)以l1,l2所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,由此能求出当A1,P,B三点共线时,即点P(40,0)时,M1取最小值,并能求出这个最小值.
(2)若点P在l2上时,设P(0,a),当a=45时,M2取最小值,从而求出出入口P应该建在高速公路l2上,且到点O距离为45km,能够使得A,B城居民的“平均不满意度”最小.
【解答】解:
(1)以l1,l2所在直线为x,y轴建立如图所示平面直角坐标系,
则A(20,30),B(80,60)…
若点P在l1上时,则点A关于则x轴的对称点为A1(20,﹣30),
故
当A1,P,B三点共线时,即点P(40,0)时,M1的最小值为
.…
(2)若点P在l2上时,设P(0,a),
…
当a=45时,M2的最小值为
…
∵
∴出入口P应该建在高速公路l2上,且到点O距离为45km,能够使得A,B城居民的“平均不满意度”最小.
答:
出入口P建在高速公路l2上,且到点O距离为45km,A,B城居民的“平均不满意度”最小.…
【点评】本题考查A,B两城居民,“不满意度”的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意直线性质的合理运用.
20.已知函数f(x)是二次函数,函数g(x)=x2﹣2,f(x)+g(x)是奇函数,且方程f(x)=3x+2有两个相等的实数根.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求x取何值时,函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的上方;
(3)是否存在实数m,n(m<n),使得函数f(x)的定义域和值域的分别为[m,n]和[2m,2n]、如果存在,求出m,n的值,请说明理由.
【考点】函数恒成立问题;二次函数的性质.
【专题】综合题;数形结合法;函数的性质及应用.
【分析】
(1)根据题意,设f(x)=ax2+bx+c,可得f(x)+g(x)的解析式,又由f(x)+g(x)是奇函数,分析可得a、c的值,结合方程f(x)=3x+2有两个相等的实数根,分析可得b的值,即可得函数f(x)的解析式;
(2)分析可得,函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的上方,即f(x)﹣g(x)>0恒成立,即﹣x2+3x+2>x2﹣2的解集为R,由二次函数的性质分析可得答案;
(3)由
(1)可得f(x)的表达式,分析可得其对称轴为x=
,分①
、②
、③
讨论其在[m,n]上的值域,综合可得答案.
【解答】解:
(1)函数f(x)是二次函数,设f(x)=ax2+bx+c,
则f(x)+g(x)=(a+1)x2+bx+c﹣2
又f(x)+g(x)是奇函数,
必有a+1=0且c﹣2=0,
故a=﹣1,c=2…
故f(x)=﹣x2+bx+2,则﹣x2+bx+2=3x+2,
即方程﹣x2+(b﹣3)x=0有两个相等的实根,故b=3
所以f(x)=﹣x2+3x+2…
(2)根据题意,函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的上方,即f(x)>g(x)恒成立,
即﹣x2+3x+2>x2﹣2的解集为R,
由f(x)的图象和g(x)的图象可得,
当
时,函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的上方…
(3)
当
时,得
,又因为m<n,
可得
,与
矛盾,故舍去…
当
时,得
,
作差得m=5﹣n,代入
(1)式得m2﹣5m+8=0,
上述方程无解,即不存在符合题意的m,n…
当
时,则
,即
若f(n)=2m,即
,得
,故不符合题意…
若f(m)=2m,得m=﹣1或2,舍去正值,
此时m=﹣1,f(﹣1)=﹣2,而
故m=﹣1,
符合题意…
【点评】本题考查函数性质的综合运用,涉及函数的定义域、值域以及解析式的求法、函数的奇偶性、函数恒成立问题等多个知识点,解题时注意结合函数的图象性质进行分析.
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- 江苏省 连云港市 学年度 第一 学期 期末考试 数学试题