第10讲 相交线与平行线word版.docx
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第10讲相交线与平行线word版
第10讲相交线与平行线
【专题简介】
同学们对两条直线相交、平行一定不陌生吧!
纵横交错的公路,棋盘中的横线和竖线,操场上的双杠,教室中的课桌面、黑板面相邻的两条边与相对的两条边……都给我们以相交线和平行线的形象。
【模块一】相交线
知识点睛
相交线
如图,任意两条相交的直线,形成四个角,像∠1和∠2有一条公共边OC,它们的另一边互为反向延长线,(∠1+∠2=),具有这种关系的两个角,互为。
∠1和∠3有一个公共顶点O,并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线,具有这种关系的两个角,互为。
因为∠1与∠2互补,∠3与∠2互补(邻补角的定义),所以∠1=∠3.我们即得到对顶角的性质:
对顶角相等。
垂直
如图,若两条直线a,b所成的夹角α=90°,我们说a,b互相,期中一条直线叫做另一条直线的,它们的交点叫做。
如图,AB⊥CD,垂足为O。
如果两条直线相交所成的四个角中任意一个角等于90°,那么这两条直线垂直,如果AB和CD交于点O,∠AOC=90°,那么AB⊥CD。
经过一点(已知直线上火直线外),能画已知直线的一条垂线,并且只能画一条垂线,即在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
如图,连接直线l外一点P与直线l上各点O,A1,A2,A3,其中PO⊥l(称PO为P到直线l的垂线段),这些连成的线段中,不难发现,最短。
于是我们得到:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简单说成:
垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。
【例1】
(1)如果∠AOB+∠DOE=180°,∠AOB和∠BOC互为邻补角,那么∠DOE与∠BOC的关系是。
(2)如图,三条直线a,b,c相交于一点,则∠1+∠2+∠3=。
【练1】
(1)下列语句:
①有公共顶点且相等的两个角是对顶角;②有公共顶点且互补的两个角是邻补角;③对顶角的平分线在同一直线上;④对顶角相等但不一定互补;⑤对顶角有公共的邻补角。
其中正确的语句有(只填序号)。
(2)如图2,EF、CD交于点O,OA⊥OB,且OD平分∠AOF,∠BOE=2∠AOE,求∠EOD的度数。
知识点睛
同位角、内错角、同旁内角
如图,直线AB,CD和EF相交(也可以说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截),构成8个角.现在我们关注那些没有公共顶点的两角的关系。
∠1和∠5这两个角分别在直线AB、CD的同一方(上方),并且都在直线EF的同侧(右侧),具有这种位置关系的一对角叫做同位角。
想一想,图中还有哪些角是构成同位角?
∠3和∠5这两个角都在直线AB、CD之间,并且分别在直线EF两侧(∠3在EF左侧,∠5在EF右侧),具有这种位置关系的一对角叫做内错角.
想一想,图中还有哪些角是构成内错角?
∠3和∠6也都在直线AB、CD之间,但它们都在直线EF的同一旁(左侧),具有这种关系的一对角叫做同旁内角.
想一想,图中还有哪些角是构成同旁内角?
总结:
同位角构成“F字型”,内错角构成“Z字型”,同旁内角构成“C字型”
同位角:
F字型
内错角:
Z字型
同旁内角:
C字型
(2)如图,直线a,b,c两两相交,形成12个角中,完成填空:
①∠1与∠2是②∠3与∠5是
③∠2与∠5是④∠7与∠12是
⑤∠6与∠7是⑥∠8与∠2是
强化挑战
【练2】
(1)(“希望杯”邀请赛)如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交,图中同旁内角共有对。
(2)在如下所示的图中,一共有对内错角。
(3)用数码标记出下图与∠1是同位角的所有角.
同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线
如图,过点B作直线a的平行线,能画几条?
再过点C画直线a的平行线,和前面点B画出的直线平行吗?
通过观察和画图,我们可以发现一个基本事实(平行公理):
经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。
由平行公理,进一步可以得到如下结论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也相互平行.
也就是说:
如果b∥a,c∥a, 那么b∥c.
平行线三大判定:
根据平行线的定义,如果平面内两条直线不相交,就可以判断两条直线平行.但是,于直线无线延伸,检验它们是否相交有困难,所以难以直接根据定义判断两条直线是否平行
判定方法1:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两条直线平行。
示意图
判定
同位角相等,两直线平行
若∠1=∠2,则AB∥CD.
判定方法2:
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两条直线平行。
示意图
判定
内错角相等,两直线平行
若∠1=∠4,则AB∥CD.
判定方法3:
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行,
示意图
判定
同旁内角互补,两直线平行
若∠1+∠3=180°,则AB∥CD.
平行线三大性质:
将平行线三大判定的条件和结论互换,就可以得到平行线的三大性质.
性质1:
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,简单说成:
两条线平行,同位角相等.
性质2:
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,简单说成:
两条线平行,内错角相等.
性质3:
两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
简单说成:
两条线平行,同旁角互补。
基础夯实
【例3】如图,己知EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°,格求∠AGD的过程朴充完整.
解:
∵EF∥CD()
∴∠2=
又∠1=∠2()
∴∠1=∠3 ()
∴AB∥()
∴∠BAC+=80°()
又∠BAC=70°()
∴∠AGD=()
【练3】如图,∠A=60°,∠ABD=∠BDC,求∠ADC的度数是多少?
强化挑战
【例4】如图,∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,求证:
CE∥DF.
【练4】已知∠1=∠2,∠5=∠6,AD∥BC,求证:
∠3=∠4。
模块三 平行线四大模型
示意图
结论
铅笔模型.
若AE∥CF,则∠P+∠E+∠F=360°
猪蹄模型.
若AE∥CF,则∠P=∠E+∠F.
船艏模型
若AE∥CF,则∠P=∠E-∠F
糖纸模型
若AE∥CF. ∠P=∠F-∠E
总结:
以上结论不要“机械地”记忆,而要在掌握它们的证明方法基础上,带着理解去记忆。
不难发现。
过P点作平行线再导角,是证明这类结论的通法。
这些模型是平行钱问题中的常见模型,同学们需熟练掌握证明过程,
强化挑战
【例5】如图,已知AB∥CD,∠EAF=
∠EAB,∠ECF=
∠ECD,求证:
∠AFC=
∠AEC,
【例8】(2013-2014洪山区期中统考)如左图,D为△ABC延长线上一点,CE∥AB.
(1)求证:
∠ACD=∠A+∠B;
(2)如右图,过A点作BC的平行线交CE于点H,CF平分∠ECD,FA平分∠HAD,若∠BAD=70°,求∠F的度数。
(3)如图,AH∥BD,G为CD上一点,Q为AC上一点,GR平分∠QGD交AH于R,QN平分∠AQG交AH于N,QM∥GR,猜想∠MQN与∠ACB的关系,说明理由。
【习1】证明:
过点O任意作7条直线,则以O为顶点的角中,必有一个小于26°。
【习2】下图中一共有对同旁内角?
【习3】己知,如图,BCE、AFE是直线,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
AD∥BE.
证明:
∵AB∥CD(已知) ∴∠4=∠()
∵∠3=∠4 (已知)
∴∠3=∠(等量代换)
∵∠1=∠2 (已知)
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF (等式的性质)
即∠BAF=∠
∴∠3=∠(等量代换).
∴AD∥BE()
【习4】如图,AB∥CD, AE平分∠BAD,CD与AE相交于F,∠CFE=CE,求证:
AD∥BC
【习5】如图,已知AB∥EF,求∠1-∠2+∠3+∠4=.
【习6】已知AB∥CD,∠FBC=
∠ABF,∠FDC=
∠FDE,求∠C、∠F的关系,
【习7】已知AB∥DE,BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE.求∠C、∠F的关系。
【习8】已知:
AB∥GF.∠B=50°,∠BCD=120°,∠E=30°,∠F=100°.求证,BC∥DE.
【习9】如图,四边形ABCD中,AE平分∠DAB,CF平分∠DCB,且AE∥CF.
(1)求证:
∠B=∠D;
(2)延长AE、BC交于G,若∠ADC=90°,∠G=55°,求∠DAB的度数.
【习10】如图,已知∠FEA=∠EAF. EA平分∠CAF.
(1)求证:
EF∥AC;
(2)若CA平分∠DAB,∠BIF与∠BAD互补,∠FEA-∠DAC=50°.求∠F.
【习11】已知,如图1,∠1+∠2=180°,∠AEF=∠HLN.
(1)判断图1中平行的直线,并给予证明;
(2)如图2,∠PMQ=2∠QMB,∠PNQ=2∠QND,请判断∠P与∠Q的数量系,并证明。
【习12】如图,在△ABC中,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED,CE是∠ACB的平分线,求证:
∠EDF=∠BDF.
【习13】如图,已知DE∥AC.CD平分∠ACB,EF平分∠DEC,∠BDC与∠ADC互余,求证:
DG∥EF.
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