高中数学数列知识点总结.docx
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高中数学数列知识点总结
三一文库(XX)
〔高中数学数列知识点总结〕
*篇一:
高中数学数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳
1.等差数列的定义与性质
定义:
an?
1?
an?
d(d为常数),an?
a1?
?
n?
1?
d等差中项:
x,A,y成等差数列?
2A?
x?
y前n项和Sn?
?
a1?
an?
n?
na
2
1?
n?
n?
1?
d2
性质:
?
an?
是等差数列
(1)若m?
n?
p?
q,则am?
an?
ap?
aq;
(2)数列?
a2n?
1?
?
a2n?
?
a2n?
1?
仍为等差数列,Sn,S2n?
Sn,S3n?
S2n……仍为等差数列,公差为n2d;
(3)若三个成等差数列,可设为a?
d,a,a?
d(4)若an,bn是等差数列,且前n项和分别为Sn,Tn,则
amS2m?
1
?
bmT2m?
1
(5)?
an?
为等差数列?
Sn?
an2?
bn(a,b为常数,是关于n的常数项为0的二次函数)
Sn的最值可求二次函数Sn?
an2?
bn的最值;或者求出?
an?
中的正、负分界
项,
?
an?
0
即:
当a1?
0,d?
0,解不等式组?
可得Sn达到最大值时的n值.
a?
0?
n?
1?
a?
0
当a1?
0,d?
0,由?
n可得Sn达到最小值时的n值.
?
an?
1?
0(6)项数为偶数2n的等差数列?
an?
,有
S2n?
n(a1?
a2n)?
n(a2?
a2n?
1)?
?
?
n(an?
an?
1)(an,an?
1为中间两项)
S偶?
S奇?
nd,
S奇S偶
?
an
.an?
1
,有
(7)项数为奇数2n?
1的等差数列?
an?
1
S2n?
1?
(2n?
1)an(an为中间项),S奇?
SS奇偶?
an,
S?
nn?
1
.偶
2.等比数列的定义与性质
定义:
an?
1
?
q(q为常数,q?
0),an?
1an?
a1qn
.等比中项:
x、G、y成等比数列?
G2?
xy,或G?
?
na1(q?
1)前n项和:
S?
n?
?
?
a1?
1?
qn?
(要注意!
)
?
1?
q
(q?
1)性质:
?
an?
是等比数列
(1)若m?
n?
p?
q,则am·an?
ap·aq
(2)Sn,S2n?
Sn,S3n?
S2n……仍为等比数列,公比为qn.注意:
由Sn求an时应注意什么?
n?
1时,a1?
S1;
n?
2时,an?
Sn?
Sn?
1.
3.求数列通项公式的常用方法
(1)求差(商)法
如:
数列?
a12?
11
n?
,a122a2?
……?
2
nan?
2n?
5,求an
解n?
1时,1
2a1?
2?
1?
5,∴a1?
14n?
2时,12a?
11
122a2?
……?
2
n?
1an?
1?
2n?
1?
5①—②得:
1n?
1
?
14(n?
1)2nan?
2,∴an?
2,∴an?
?
?
2n?
1(n?
2)[练习]数列?
a5
n?
满足Sn?
Sn?
1?
3
an?
1,a1?
4,求an
注意到aSn?
1
n?
1?
Sn?
1?
Sn,代入得
S?
4又S1?
4,∴?
Sn?
是等比数列,n
;
2
①
②
Sn?
4n
n?
2时,an?
Sn?
Sn?
1?
……?
3·4n?
1
(2)叠乘法
an如:
数列?
an?
中,a1?
3n?
1?
,求an
ann?
1
解
3aa1a2a312n?
1
,∴n?
又a1?
3,∴an?
……n?
……
n.a1na1a2an?
123n
(3)等差型递推公式
由an?
an?
1?
f(n),a1?
a0,求an,用迭加法
?
a3?
a2?
f(3)?
?
n?
2时,?
两边相加得an?
a1?
f
(2)?
f(3)?
……?
f(n)
…………?
an?
an?
1?
f(n)?
?
a2?
a1?
f
(2)
∴an?
a0?
f
(2)?
f(3)?
……?
f(n)[练习]数列?
an?
中,a1?
1,an?
3(4)等比型递推公式
n?
1
?
an?
1?
n?
2?
,求an(
an?
1n
3?
1?
?
2)
an?
can?
1?
d(c、d为常数,c?
0,c?
1,d?
0)
可转化为等比数列,设an?
x?
c?
an?
1?
x?
?
an?
can?
1?
?
c?
1?
x令(c?
1)x?
d,∴x?
ddd?
?
,c为公比的等比数列,∴?
an?
?
是首项为a1?
c?
1c?
1c?
1?
?
∴an?
dd?
n?
1d?
n?
1d?
?
,∴?
?
a1?
·ca?
a?
c?
n?
?
1?
c?
1?
c?
1?
c?
1?
c?
1?
(5)倒数法如:
a1?
1,an?
1?
2an
,求anan?
2
由已知得:
a?
2111111?
n?
?
,∴?
?
an?
12an2anan?
1an2
?
1?
11111
·?
?
n?
1?
,∴?
?
为等差数列,?
1,公差为,∴?
1?
?
n?
1?
2a1an22?
an?
3
∴an?
(附:
2n?
1
公式法、利用
an?
?
S1(n?
1)
Sn?
Sn?
1(n?
2)、累加法、累乘法.构造等差或等比
an?
1?
pan?
q或an?
1?
pan?
f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)
4.求数列前n项和的常用方法
(1)裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项.如:
?
an?
是公差为d的等差数列,求?
1
k?
1akak?
1
n
解:
由
n
111?
11?
?
?
?
?
?
?
d?
0?
ak·ak?
1akak?
dd?
akak?
1?
n
?
111?
11?
1?
?
11?
?
11?
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
……?
?
∴?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ak?
1?
d?
?
a1a2?
?
a2a3?
k?
1akak?
1k?
1d?
ak?
anan?
1?
?
?
1?
11?
?
?
?
d?
a1an?
1?
[练习]求和:
1?
111?
?
……?
1?
21?
2?
31?
2?
3?
……?
n
1
an?
……?
……,Sn?
2?
n?
1
(2)错位相减法
若?
an?
为等差数列,?
bn?
为等比数列,求数列?
anbn?
(差比数列)前n项和,可由
Sn?
qSn,求Sn,其中q为?
bn?
的公比.
如:
Sn?
1?
2x?
3x2?
4x3?
……?
nxn?
1
①
x·Sn?
x?
2x2?
3x3?
4x4?
……?
?
n?
1?
xn?
1?
nxn①—②?
1?
x?
Sn?
1?
x?
x2?
……?
xn?
1?
nxn
4
②
x?
1时,Sn
1?
x?
nx?
?
?
n
n
?
1?
x?
2
1?
x
,x?
1时,Sn?
1?
2?
3?
……?
n?
n?
n?
1?
2
(3)倒序相加法
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.
Sn?
a1?
a2?
……?
an?
1?
an?
?
相加2Sn?
?
a1?
an?
?
?
a2?
an?
1?
?
…?
?
a1?
an?
…
Sn?
an?
an?
1?
……?
a2?
a1?
x2
[练习]已知f(x)?
,则2
1?
x
?
1?
f
(1)?
f
(2)?
f?
?
?
f(3)?
?
2?
?
1?
f?
?
?
f(4)?
?
3?
2
?
1?
f?
?
?
?
4?
?
1?
?
?
x2x21x?
?
1?
?
由f(x)?
f?
?
?
?
?
?
?
12222
x1?
x1?
x1?
x?
?
?
1?
1?
?
?
?
x?
?
∴原式?
f
(1)?
?
f
(2)?
?
(附:
?
1?
?
?
f?
?
?
?
?
f(3)?
?
2?
?
?
?
1?
?
?
f?
?
?
?
?
f(4)?
?
3?
?
?
1?
1?
?
1
f?
?
?
?
?
1?
1?
1?
3
2?
4?
?
2
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写
与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:
等差数列前n项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。
b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列,求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项:
首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。
c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前n项和。
d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
即若在数列{an·bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条
5
*篇二:
高中数学数列知识点总结
五、数列
一、数列定义:
数列是按照一定次序排列的一列数,那么它就必定有开头的数,有相继的第二个数,有第三个数,……,于是数列中的每一个数都对应一个序号;反过来,每一个序号也都对应于数列中的一个数。
因此,数列就是定义在正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,?
n})上的函数f(n),当自变量从1开始由小到大依次取正整数时,相对应的一列函数值为通常用an代替f(n),于是数列的一般形式常记为a1,a2,?
或简记为{an},f
(1),f
(2),?
;
其中an表示数列{an}的通项。
注意:
(1){an}与an是不同的概念,{an}表示数列a1,a2,?
,而an表示的是数列的第n项;
(2)数列的项与它的项数是不同的概念,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,
它是一个函数值;而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值。
S1(n?
1)?
(3)anSnan?
?
S?
S(n?
2)n?
1?
n
*
如:
已知{an}的Sn满足lg(Sn?
1)?
n(n?
N),求an。
二、等差数列、等比数列的性质:
如:
(1)在等差数列{an}中Sn?
10,S2n?
30,则S3n?
(2)在等比数列{an}中Sn?
10,S2n?
30,则S3n?
另外,等差数列中还有以下性质须注意:
(1)等差数列{an}中,若an?
m,am?
n(m?
n),则am?
n?
(2)等差数列{an}中,若Sn?
m,Sm?
n(m?
n),则Sm?
n?
(3)等差数列{an}中,若Sn?
Sm(m?
n),则am?
1?
am?
2?
?
?
an?
;Sm?
n?
;(4)若SP?
Sq,则n?
时,Sn最大。
(5)若{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别为Sn与Tn,
则
ambm
?
S______T______
;
ambn
?
?
S______T______
(6)项数为偶数2n的等差数列{an},有S2n?
间的两项)
S偶?
S奇?
n(a1?
a2n)
2
?
n2
(an?
an?
1)(an与an?
1为中
S奇S偶
?
项数为奇数2n?
1的等差数列{an},有S2n?
1?
(2n?
1)an(an为中间项)
S奇?
S偶?
S奇S偶
?
S奇?
S偶?
等比数列中还有以下性质须注意:
(1)若{an}是等比数列,则{?
an}(?
?
0),{|an|}也是等比数列,公比分别
(2)若{an}是等比数列,则{三、判定方法:
(1)等差数列的判定方法:
1an
,{an}也是等比数列,公比分别;;
2
①定义法:
an?
1?
an?
d或an?
an?
1?
d(n?
2)(d为常数)?
{an}是等差数列②中项公式法:
2an?
1?
an?
an?
2?
{an}是等差数列
③通项公式法:
an?
pn?
q(p,q为常数)?
{an}是等差数列④前n项和公式法:
Sn?
An2?
Bn(A,B为常数)?
{an}是等差数列注意:
①②是用来证明{an}
(2)等比数列的判定方法:
①定义法:
an?
1an
?
q或
anan?
1
?
d(n?
2)(q是不为零的常数)?
{an}是等比数列
②中项公式法:
an?
1?
an?
an?
2(anan?
1an?
2?
0)?
{an}是等差数列
n
③通项公式法:
an?
cq(c,q是不为零常数)?
{an}是等差数列
2
2
④前n项和公式法:
Sn?
kq?
k(k?
a1q?
1
是常数)?
{an}是等差数列
注意:
①②是用来证明{an}四、数列的通项求法:
(1)观察法:
如:
(1)0.2,0.22,0.222,……
(2)21,203,2005,20007,……
(2)化归法:
通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。
①递推式为an?
1?
an?
d及an?
1?
qan(d,q为常数):
直接运用等差(比)数列。
②递推式为an?
1?
an?
f(n):
迭加法如:
已知{an}中a1?
12
,an?
1?
an?
14n?
1
2
,求an
③递推式为an?
1?
f(n)an:
迭乘法如:
已知{an}中a1?
2,an?
1?
n?
1n
an,求an
④递推式为an?
1?
pan?
q(p,q为常数):
?
an?
1?
pan?
q
构造法:
Ⅰ、由?
相减得(an?
2?
an?
1)?
p(an?
1?
an),则
a?
pa?
qn?
1?
n?
2
{an?
1?
an}为等比数列。
Ⅱ、设(an?
1?
t)?
p(an?
t),得到pt?
t?
q,t?
为等比数列。
如:
已知a1?
1,an?
1?
2an?
5,求an⑤递推式为an?
1?
pan?
qn(p,q为常数):
两边同时除去qn?
1得再用④法解决。
如:
已知{an}中,a1?
56
qp?
1
,则{an?
qp?
1
an?
1q
n?
1
?
pq
?
anq
n
?
1q
,令bn?
anq
n
,转化为bn?
1?
pq
bn?
1q
,
,an?
1?
1
1n?
1
an?
(),求an32
⑥递推式为an?
2?
pan?
1?
qan(p,q为常数):
将an?
2?
pan?
1?
qan变形为an?
2?
tan?
1?
s(an?
1?
tan),可得出?
s,t,于是{an?
1?
tan}是公比为s的等比数列。
?
s?
t?
p?
st?
?
q
解出
如:
已知{an}中,a1?
1,a2?
2,an?
2?
S1,n?
1?
(3)公式法:
运用an?
?
?
Sn?
Sn?
1,n?
2
23
an?
1?
13
an,求an
2
①已知Sn?
3n?
5n?
1,求an;②已知{an}中,Sn?
3?
2an,求an;
③已知{an}中,a1?
1,an?
五、数列的求和法:
2Sn
2
2Sn?
1
(n?
2),求an
(1)公式法:
①等差(比)数列前n项和公式:
②1?
2?
3?
?
?
n?
;
③1?
2?
3?
?
?
n?
(2)倒序相加(乘)法:
012n
如:
①求和:
Sn?
Cn?
2Cn?
3Cn?
?
?
(n?
1)Cn;
2222
n(n?
1)(2n?
1)
6
;④1?
2?
3?
?
?
n?
[
3333
n(n?
1)
2
]
2
*篇三:
高中数学数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳
1.数列的通项
求数列通项公式的常用方法:
(1)观察与归纳法:
先观察哪些因素随项数n的变化而变化,哪些因素不变:
分析符号、数字、字母与
项数n在变化过程中的联系,初步归纳公式。
(2)公式法:
等差数列与等比数列。
?
S1,(n?
1)(3)利用Sn与an的关系求an:
an?
?
S?
S,(n?
2)n?
1?
n
2.等差数列的定义与性质
定义:
an?
1?
an?
d(d为常数),通项:
an?
a1?
?
n?
1?
d?
am?
(n?
m)d
等差中项:
x,A,y成等差数列?
2A?
x?
y
前n项和Sna1?
an?
n?
?
?
na2n?
n?
1?
d1?
2
性质:
?
an?
是等差数列
(1)若m?
n?
p?
q,则am?
an?
ap?
aq;
(2)数列?
a2n?
1?
?
a2n?
?
a2n?
1?
仍为等差数列,
Sn,S2n?
Sn,S3n?
S2n……仍为等差数列,公差为n2d;
(3)若三个成等差数列,可设为a?
d,a,a?
d
Sn的最值可求二次函数Sn?
an2?
bn的最值;或者求出?
an?
中的正、负分界项,
?
an?
0即:
当a1?
0,d?
0,解不等式组?
可得Sn达到最大值时的n值.?
an?
1?
0
?
an?
0当a1?
0,d?
0,由?
可得Sn达到最小值时的n值.a?
0?
n?
1
.
(3){kan}也成等差数列;(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.
(5)a1?
a2?
?
?
am,am?
1?
am?
1?
?
?
a2m,a2m?
1?
a2m?
1?
?
?
a3m?
仍成等差数列.
(8)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和;
3.等比数列的定义与性质
定义:
an?
1?
q(q为常数,q?
0),an?
a1qn?
1?
amqn?
m.an
等比中项:
x、G、y成等比数列?
G2?
xy,或G?
前n项和:
?
na1(q?
1)?
na1(q?
1)?
?
Sn?
?
a1?
anqa1(1?
qn)?
?
a1n(要注意!
)a1?
q?
(q?
1)?
(q?
1)?
1?
q?
1?
q1?
q1?
q?
?
性质:
?
an?
是等比数列
(1)若m?
n?
p?
q,则am·an?
ap·aq
(2)Sn,S2n?
Sn,S3n?
S2n……仍为等比数列,公比为qn.
注意:
由Sn求an时应注意什么?
n?
1时,a1?
S1;
n?
2时,an?
Sn?
Sn?
1.
(3){|an|}、{kan}成等比数列;{an}、{bn}成等比数列?
{anbn}成等比数列.
(4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.
(5)a1?
a2?
?
?
am,ak?
ak?
1?
?
?
ak?
m?
1,?
成等比数列.
(6)数列?
a2n?
1?
?
a2n?
?
a2n?
1?
仍为等比数列,
(7)p?
q?
m?
n?
bp?
bq?
bm?
bn;2m?
p?
q?
bm2?
bp?
bqSm?
n?
Sm?
qmSn?
Sn?
qnSm.
(8)等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负),等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。
.(9)等差数列与等比数列的联系:
各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列
4.求数列前n项和的常用方法
(1)裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项.
如:
?
an?
是公差为d的等差数列,求?
1
k?
1akak?
1n
解:
由
n111?
11?
?
?
?
?
?
?
d?
0?
ak·ak?
1akak?
dd?
akak?
1?
n?
111?
11?
1?
?
11?
?
11?
1?
?
?
?
?
?
∴?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
……?
?
?
?
?
aadaadaaaaaak?
1kk?
1k?
1k?
1?
2?
3?
n?
1?
?
?
k?
2?
n?
?
1
?
1?
11?
?
?
?
d?
a1an?
1?
[练习]求和:
1?
111?
?
……?
1?
21?
2?
31?
2?
3?
……?
n
1an?
……?
……,Sn?
2?
n?
1
(2)错位相减法
若?
an?
为等差数列,?
bn?
为等比数列,求数列?
anbn?
(差比数列)前n项和,可由Sn?
qSn,求Sn,其中q为?
bn?
的公比.
如:
Sn?
1?
2x?
3x2?
4x3?
……?
nxn?
1
①x·Sn?
x?
2x2?
3x3?
4x4?
……?
?
n?
1?
xn?
1?
nxn
①—②?
1?
x?
Sn?
1?
x?
x2?
……?
xn?
1?
nxn
x?
1时,Sn②?
1?
x?
?
nx?
nn
?
1?
x?
21?
x,x?
1时,Sn?
1?
2?
3?
……?
n?
n?
n?
1?
2
(3)倒序相加法
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.
Sn?
a1?
a2?
……?
an?
1?
an?
?
相加2Sn?
?
a1?
an?
?
?
a2?
an?
1?
?
…?
?
a1?
an?
…Sn?
an?
an?
1?
……?
a2?
a1?
《高中数学数列知识点总结》
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